怎样利用轴对称知识解答最短路径问题

魏乐

最短路径问题是生活中常见的实际问 题，如在修路、修管道、建水泵站等方面都有 着广泛的應用.学习了轴对称的相关知识后， 同学们就可以利用轴对称的性质解决生活中 的最短路径问题.下面列举几类最短路径问 题，举例予以说明.

一、两点一轴型

两点一轴型，即已知一条直线及在直线 同侧或异侧的两个定点，在直线上求一点，使 个这点到所给两个定点的距离的和最短.解 答这类问题，一般利用“三角形任意两边之和 大于第三边”来确定最短路径. 当两个定点位 于直线异侧时，连接两点与直线的交点即为 所求路线最短的点；当两点位于直线同侧时， 可通过轴对称变换，作一点关于直线的对称 点，把同侧两点转化为异侧两点来求解.

例1 某供电部门准备在输电主干线l上 连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落 成的 A、B 两个居民小区送电.已知居民小区 A、B 分别到主干线 l 的距离 AA1＝2km，BB1＝ 1km，且A1B1＝4km.

（1）如果居民小区 A、B 在主干线 l 的两 旁，如图1所示，那么分支点M在什么地方时 总线路最短？最短线路的长度是多少千米？

（2）如果居民小区 A、B 在主干线 l 的同 旁，如图2所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与A2的距离是多 少千米？

分析：（1）连接 AB，构造直角三角形，由 勾股定理求得 AB 的值；（2）作 B 点关于直线 l 的对称点 B2，连接 AB2 交直线 l 于点 M，此 处即为分支点.

解：

二、一点两轴型

一点两轴型，即已知两条直线及在这两 条直线之间的一个定点，在每条直线上各求 一点，使所得三角形的周长最短.解答这一类 型问题，一般是分别作出这个定点关于两条 直线的对称点，然后连接所作的两个对称点， 所得线段与直线的交点即为所求的点.

例2

分析：（1）利用轴对称变换得出 P 点关于 OA，OB 的对称点，进而得出行走路线；（2）利 用等边三角形的判定方法以及其性质得出此 人行走的最短路线长为 P′P ″ 进而得出答案.

解：

答：

三、两点两轴型

两点两轴型，即已知两条直线及两个定点，在每条直线上各求一点，使所得折线的长度最短.解答这类问题依然是利用“两点之间，线段最短”来确定所要求的点及路线，通过轴对称变换，把几个线段和的最小值问题转化为一条线段来求解.即分别作两个点关于两条线的对称点，再连接两个对称点，所得线段与两直线的交点为最短路径的两个点.

例3我区有很多美丽的自然风光，最著名的是青龙大峡谷（A）和文佛奇峰山（B），它们位于笔直的高速公路X 同侧，AB＝50km，A、 B 到直线 x 的距离分别为10km 和40km，另一条省级公路 Y 与高速公路 X 垂直，B 到直线 Y 的距离为30km，请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 P、Q，使 P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.

分析：

解：

以上三种类型的最短路径问题的解法， 都是作定点关于已知直线的对称点，然后依 据“两点之间，线段最短”“垂线段最短”等结 论确定所要求的点或路线，只不过在作对称 点的方法上有所区别.同学们只要准确识别 了问题模型，解题就会变得简单易行.