如何列方程解答应用题

巫慧文

在学习初中数学知识的过程中，我们从 一元一次方程，学习到二元一次方程，又学习 了一元二次方程……方程的内容逐步扩展， 但列方程解应用题始终是整个学习过程中的 一个重点，其目的是考查同学们分析问题和 解决问题的能力.那么，如何正确列出方程解 应用题呢？本文提出了列方程解应用题应注 意的三个要点.

一、合理设置未知元

列方程解应用题的类型千变万化，但只 要设置一个合理的未知数，就能使解题过程 既简洁又易于计算.一般来说，设未知数 x 有 两种方法：一是直接法，就是题目中问什么就 设什么；二是间接法，对于一些复杂的问题， 要先将题目中变量之间隐含的关系找出来， 把与所求问题有关联的中间量设为 x ，待求 出中间量之后，再根据题意算出最后的答案.

例1 商店对某种商品进行调价，按原价 的8折出售，此时商品的利润率是10%，此商 品的进价为1600元.商品的原价是多少？

分析：商品利润≠商品的利润率.本题中 商品进价和商品的利润率都已知，而商品利 润=商品售价-商品进价=商品原价 ×800 0 -商 品进价，由此设未知数列出方程.

解：

說明：本题较为简单，直接将要求的量设 为未知量，准确找出其中的等量关系即可正 确解题.

例2 国家规定存款利息的纳税办法是： 利息税=利息 × 20%，储户取款时由银行代扣代收.若银行一年定期储蓄的年利率为 2.25%，储户取出一年到期的本金及利息时，扣除了利息税36元，则银行向该储户支付的现金是多少元？

分析：要求银行向该储户支付的现金，需由利息税36元求出该储户的本金.

解：

说明：本题数量关系较为复杂，直接设未知数不易表示相等关系，较难列出方程，此时可将不是直接求解的某个量设为未知数，从而使问题容易得解.

二、准确构建等量关系

列方程解应用题的关键是寻找并建立等量关系.建立等量关系的途径有很多，首先可从我们学过的数学公式或熟悉的数量关系入手，比如面积公式、体积公式以及周长公式等，以及路程=速度×时间、总价=单价×数量、利息=本金×利率等数量关系；其次，还可以根据题中的关键句和关键词，确定等量关系并列方程，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等；另外，还可通过不变量、总量等于分量之和等途径建立等量关系.当一些数量关系比较复杂隐蔽时，还可采用数形结合的方法，画出线段图来分析数量关系.

例3如图1，小明家在 A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路 l，AB 是A 到 l 的小路.现新修一条路 AC 到公路 l.小明测量出∠ACD＝31° ， ∠ABD＝45° ， BC＝50m.请你帮小明计算他家到公路 l 的距离AD 的长度？（精确到0.1m；参考数据 tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）.

分析：

解：

答：AD 的长度为75.0m.

说明：解答本题的关键是构造直角三角形，应用三角函数的数量关系来建立等量关系求解.

例4甲、乙两列火车从 A、B 两地相向而行，乙车比甲车早发车1h，甲车比乙车速度每小时快30 km，甲车发车两小时恰好与乙车相遇，相遇后为了错车，甲车放慢了速度，以它原来的速度行驶；而乙车加快了速度，以它原来的倍飞速行驶，结果2 h后，两车距离又等于 A、B 两地之间的距离，求两车相遇前的速度及A、B 两地之间的距离.

分析：设乙的速度是 x 千米，那么甲的速度就是 x+30千米，依据相遇前和相遇后行驶的路程相等列出方程，求出两车的速度，再根据路程=速度×时间即可解答.

解：

答：两车相遇前甲的速度为速度90km/h， 乙的速度为 60km/h；A、B 两地之间的距离为 360km.

说明：有些应用题中的等量关系比较复 杂抽象，要想列出等量关系较困难，我们就可 以用线段来表示相关的数量，再用线段的和 或差来直观地表示等量关系，从线段的和差 关系中列出等式求解.

三、正确解方程并验算

虽然准确列方程是解题中很重要的步 骤，但是也不能忽略方程的运算环节.同学们 要按照解方程的步骤正确求出方程的解，并 要养成代入验算的习惯.一是要将所求得的 未知数的值代入原方程，看等式两端是否相 等，检验方程的解是否正确；二是检查所求得 的未知数的值是否符合题意，不符合题意的 要舍去，仅保留符合题意的解.只有完成验算 的步骤，整个解题过程才算完结.

例 5 某种服装，平均每天销售 20 件，每 件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的 情况下，如果每一件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，则每件应降价多少元？

分析：每件服装的盈利×（原来的销售量+ 增加的销售量）=1600，为了减少库存，计算得 到降价多的数量即可.

解：

说明：列方程解应用题时，在求解后，首 先检验所得解是否正确，还要检验所求解是 否符合题意，本题限定了 x ≤ 10 ，所以要舍去 不合题意的解.

例6 某市体育局要组织一次篮球赛，赛 制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划 安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？

分析：

解：

说明：解一元二次方程时可能会出现两 个解，有的解不符合题意可能存在两种情况： （1）不符合题目要求的取值范围；（2）不符合 实际要求.比如有的解为负数，但时间、工期、 金钱等都不可能是负数.

列方程解答应用题是运用正向思维解决 问题，它比列算式解应用题这种逆向思维的 推理更简单直接.但在列方程求解的过程中 要注意合理设置未知数，准确找到等量关系， 最后还要注意养成验算的习惯.只要做好以 上三点，就能轻松灵活应对各类实际问题.