如何比较二次函数值的大小

毛长俊

二次函数是初中数学中的一个重难点， 也是未来高中数学中的一个重要内容.比较 二次函数值的大小问题一直是中考的热点问 题.它一方面考查了同学们对二次函数的图 象和性质的掌握情况，另一方面也考查了同 学们对数形结合、分类讨论等重要思想方法 的灵活运用能力.同学们要熟悉这类问题的 各种类型，熟练运用多种方法解题.

一、运用二次函数的增减性比较大小

利用函数的增减性比较函数值的大小， 首先要观察函数对应的自变量的值是否在对 称轴的同一侧，如果不在同一侧，则需要利用 对称性将所有的点转化到同一侧去，然后利 用增减性比较大小.具体地，可以先判断二次 函数 y = ax - +bx + c的开口方向，再判断二次 函数值的大小.如果 a > 0 ，那么抛物线开口向 上，顶点为最低点，在对称轴左侧，y 随 x 的 增大而减小，在对称轴右侧，y 随 x 的增大而 增大；如果 a < 0 ，抛物线开口向下，顶点为最 高点，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大， 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小.

例1

分析：求出抛物线的对称轴和开口方向， 然后根据二次函数的对称性和增减性，即可 求出答案.

解：

例2

分析：

解：

评注：利用函数的增减性比较函数值的 大小，首先要明确抛物线的开口方向，找出对 称轴，然后确保所有要比较的自变量的值都在对称轴的同侧，最后利用函数的增減性比 较大小.这种比较大小的方法，不必计算出对 应的函数值，是从二次函数的性质的角度解 答问题.

二、运用距离的大小比较大小

如果二次函数的对称轴是给定的，或通 过计算可以求出对称轴，那么我们可以利用 比较各点到对称轴的距离的方法来比较函数 值的大小. 首先，将二次函数 y = ax 2 + bx +c 化 成 y = a（x - h） 2 +k 的形式，根据开口方向和对 称轴画出函数图象的示意图，找到题目中所 求点在 x 轴上的位置，然后按照：①对于开口 向上的抛物线，离对称轴越近，点越低，y 值 越小；离对称轴越远，点越高，y 值越大；②对 于开口向下的抛物线，离对称轴越近，点越 高，y 值越大；离对称轴越远，点越低，y 值越 小去进行比较.

例3

分析：

解：

例4

分析：由抛物线的解析式可知，抛物线开 口向下，对称轴为 x = 1，m 是二次函数值的最 大值，根据 x1 < 1 < x2 ，x1 + x2 > 2 ，即可判断点 B（x2，y2） 离对称轴较近，由此即可得出结果.

解：

评注：虽然初中数学教材中没有提及运 用距离的大小比较的方法来判断二次函数值 的大小，但是根据二次函数的增减性，我们可 以延伸出这一方法.利用这种方法比较大小， 不必计算出对应的函数值，也不需要考虑点 的位置（同侧或异侧），而是从“形”的角度解 答问题.