解答三角函数问题需注意的两个要点

欧修祝

三角函数问题的难度虽然不大，但是命题的形式很多，常见的有化简三角函数式、求三角函数的解析式、求三角函数的值、判断三角函数的单调性、求三角函数的最值等.解答三角函数问题，不仅需熟练运用三角函数知识，还需要把握一些解题的要点.笔者认为主要抓以下两个要点.

一、灵活运用三角恒等变换的技巧

在解答三角函数问题时，通常要对已知关系式或目标式进行化简、变形，这就需要用到一些三角恒等变换的技巧.在进行三角恒等变换时，往往要选用合适的公式进行“变角”“变名”“变式”，以使问题中的角、函数名称、次数统一.常用的三角恒等变换的技巧有：弦切互化、“1”的代换、升幂与降幂、换元.

1. 弦切互化

而[sin2θ+cos2θ=sin2θ+4sin2θ=5sin2θ=1]，

解得[sinθ=55]或[sinθ=-55]（舍去），

2. “1”的代换

我们知道，[sin2θ+cos2θ=1]、[sin90o=1]、[cos0o=1]、[tan45o=1].因此在进行三角恒等变换时，可将这些等于“1”的式子代入三角函数式中，即可改变三角函数式的形式，配凑出能使用公式化简的式子.

我们将目标式除以“1”，并用[sin2θ+cos2θ=1]进行代换，即可将目标式中的函数名称统一，从而快速求得函数式的值.

3. 升幂与降幂

4. 换元

当题目中的三角函数式较为复杂时，通常可采用换元法，将较为复杂的式子用一个新元代替，即可改变三角函数式的结构形式，这样便可选用合适的公式将其快速化简.

[12（sinθ+cosθ）=35sinθcosθ]，

仔细观察，可发现[12（sinθ+cosθ）=35sinθcosθ]中含有[sinθ、cosθ]的和与积，由此可联想到同角的三角函数平方和关系式[sin2θ+cos2θ=1]，于是令[sinθ+cosθ=t]，即可通过换元，将函数式化为只含有t的式子，通过解方程便可求得t以及[tan2θ]的值

总之，进行三角恒等变换时，需仔细观察各个角、函数名称、幂之间的差别，利用两角和差公式、辅助角公式等把角进行合理的变换，利用诱导公式、二倍角公式等把不同的函数名称统一.

二、利用三角函数的图象和性质辅助解题

在解答三角函数问题时，要学会利用三角函数的图象和性质来辅助解题.三角函数问题中的三角函数式都可化为[f（x）=Asin（ωx+?）+B]、[f（x）=Acos（ωx+?）+B]、[f（x）=Atan（ωx+?）+B（A，ω>0）]的形式，那么在解题時，就可以将题目中的三角函数的图象视为y=sinx、y=cosx、y=tanx的一部分或在其基础上进行伸缩、平移、翻折得到的，即可根据y=sinx、y=cosx、y=tanx的单调性、奇偶性、对称性、周期性来快速求得问题的答案.

例5.（2023年高考新课标Ⅰ卷）已知函数[f（x）=cosωx-1（ω>0）]在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则[ω]的取值范围是______.

解：因为[x∈0，2π]，所以[ωx∈0，2ωπ]，

令[f（x）=0]，则[cosωx=1]有3个根，

令[t=ωx]，则[cost=1]有3个根，其中[t∈0，2ωπ]，

画出余弦函数[y=cost]的图象，如图所示，

由图可知[4π≤2ωπ<6π]，故[2≤ω<3].

在解答本题时，我们直接根据[y=cost]的图象就可以判断出函数[f（x）=cosωx-1（ω>0）]的周期和零点，从而快速求得[ω]的取值范围.将y=sinx、y=cosx、y=tanx的图象进行变换，即可得到[f（x）=Asin（ωx+?）+B]、[f（x）=Acos（ωx+?）+B]、[f（x）=Atan（ωx+?）+B（A，ω>0）]的图象，这样就能获得问题的答案.

同学们只有抓住解题的要点，灵活运用三角恒等变换的技巧，利用三角函数的性质和图象，才能快捷、准确地解答三角函数问题.