用数轴法解答集合问题的步骤

袁春娟

数轴法是解答集合问题的常用方法.在解答与一元变量有关的集合问题时，将集合中的点用数轴表示出来，可使问题中的代数关系式以直观的形式呈现出来，给我们分析问题带来很大的便利，有利于提升解题的效率.

用数轴法解答集合问题的步骤：

1.画出数轴，并将一元不等式的端点值在数轴上标注出来，需注意将端点处的空心点与实心点区别开来；

2.根据一元不等式在数轴上画出对应的区域，若有多个一元不等式，可将不等式所对应的区域重合、交叉、分离；

3.根据集合之间关系，找出各个一元不等式所对应区域的并集、交集、补集；

4.将数轴上的区域用不等式表示出来，即可解题.

下面举例说明.

例1.设集合[A=x|-1≤x≤2]，[B=x|m-1≤x≤2m+1]若[B?A]. 求实数[m]的取值范围.

解：需分两种情况讨论：

①当[m-1>2m+1]，即[m<-2]时，[B=?]，此时[B?A]，符合题意；

②当[m-1≤2m+1]，即[m≥-2]时，[B≠?]，

画出数轴，如图1所示.

当集合中的一元一次不等式中含有参数时，x的取值范围随着参数的变化而变化，我们无法在数轴上画出不等式所对应的区域，需对其端点值进行分类讨论，以确定不等式所对应的区域.本题中，需分[m-1>2m+1]、[m-1≤2m+1]两种情况进行讨论，最后取两种情形下x的并集，即可解题.

画出数轴，如图2所示.

则[A?B]所表示的区域即为它们的公共部分，如图2中阴影部分所示.

一般地，[A?B]所对应的区域是数轴上[A、B]所对应区域的公共部分；[?UA]所对应的区域是数轴上[A]所对应区域以外的部分（要注意边界值能否取到）.

例3.已知集合[A=x|10，C=x|m+1

解：由题意可知[B=x∣4x-x2>0=x∣0

因为[x∈B] 是[x∈C]的必要不充分条件，

所以[C?B]，而[C={x∣m+1

①当[C=?]时，[m+1≥2m-1]，即[m≤2]，满足题意；

当涉及多个集合的交集、并集运算时，借助数轴，可直观地呈现出各个集合所表示的区域之间的关系：交叉部分即为集合所表示区域的交集，覆盖的所有区域即为集合所表示区域的并集.

在运用数轴法解题时，要注意：（1）根据集合中不等式的端点值来确定数轴上集合所表示的边界点；（2）确定两个集合之间的关系，往往要比较两个集合所表示的区域所覆盖的长度；（3）不要忽略了开区间、闭区间以及无解的情况.