求数列和的几种思路

王艳玲

数列的前[n]项和问题具有较强的综合性，对同学们的分析、运算能力有较高的要求.解答数列的前[n]项和问题的方法很多，如利用等差、等比数列的前n项和公式，还有错位相减法、并项求和法、裂项相消法、分类讨论法等.下面结合实例，简单介绍一下求解数列前[n]项和问题常用的几种思路.

一、错位相减

当题目中出现形如[an?bn]（其中[an]为等差数列，[bn]为等比数列）的数列时，可以利用错位相减法求数列的前[n]項和.先将数列的每一项都乘以数列[bn]的公比[q]；再将该数列与原数列中同次的项相减，即可将问题转化为求等比数列的前n项和.

例1.设[Sn]为数列[an]的前[n]项和，已知[a2=1，2Sn=nan]，

（1）求[an]的通项公式；

二、分类讨论

有些递推关系中[an]前面的系数为[（-1）n]，或各项为绝对值时，就需要运用分类讨论法解题.先分别讨论奇偶项、正负项的递推关系，分奇数项、偶数项，或正项、负项进行分类讨论；再分组进行求和，就能顺利得到数列的通项公式、前[n]项和.

例2.设[Sn]为等差数列[an]的前[n]项和，已知[a2=11，S10=40]，

（1）求数列[an]的通项公式；

（2）求数列[an]的前[n]项和[Tn].

解：（1）数列[an]的通项公式为[an=13-2（n-1）=15-2n]；（过程略）

当[n≤7]时，[an>0]，

可得[Tn=|a1|+|a2|+???+|an|=a1+a2+???+an=Sn=14n-n2]；

当[n≥8]时，[an<0]，

可得[Tn=|a1|+|a2|+???+|an|]

[=（a1+a2+???+a7）-（a8+???+an）]

[=S7-（Sn-S7）=2S7-Sn]

[=2（14×7-72）-（14n-n2）=n2-14n+98]，

数列[an]的各项均为绝对值，需先讨论[an]的符号，以去掉绝对值符号.仔细研究可发现，当[n≤7]时[an>0]，当[n≥8]时[an<0]，于是采用分类讨论法，分[n≤7]和[n≥8]两种情况分别进行讨论，再根据等差数列的前n项和公式进行求和，即可解题.

三、裂项相消

（1）求数列[an]的通项公式；

解：（1）数列[an]的通项公式为[an=2n]；（过程略）

（2）由（1）知，[an=2n（n∈N*）]，

四、并项求和

对于有些数列，通过拆分、重组，可化为具有某种特殊性质的数列，此时，便可以采用并项求和法，先将这些项并为几组，再分组进行求和，最后再汇总所得的结果.运用并项求和法解题，需重点研究数列的各项， 可尝试将其中的某些项合并，以找到其中的规律，确定解题的思路.

例4.已知数列[an]满足[a1=1]，点[（n，an+an+1）]在函数[y=kx+1]的图象上，其中[k]为常数，且[k≠0].

（1）若[a1，a2，a4]成等比数列，求[k]的值；

（2）当[k=3]时，求数列[an]的前[2n]项的和[S2n].

解：（1）由[an+an+1=kn+1]，

可得[a1+a2=k+1]，[a2+a3=2k+1]，[a3+a4=3k+1]，

所以[a2=k，a3=k+1，a4=2k].

又因为[a1，a2，a4]成等比数列，

所以[a22=a1a4]，则[k2=2k]，

因为[k≠0]，所以[k=2]；

（2）当[k=3]时，[an+an+1=3n+1]，

可得[a1+a2=4]，[a3+a4=10]，[a5+a6=16]，[???]，[a2n-1+a2n=3（2n-1）+1].

所以[S2n=a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a2n-1+a2n]

仔细观察数列的通项公式[an+an+1=3n+1]，可发现规律：[a1+a2=4]，[a3+a4=10]，[a5+a6=16]，[???]，[a2n-1+a2n=3（2n-1）+1].于是将数列中相邻的两项合并在一起求和，再根据等差数列的前n项和公式进行计算，即可运用并项求和法求得数列的和.

可见，错位相减法、分类讨论法、裂项相消法、并项求和法的特点、适应情形、解题思路均不相同.对此，同学们要多加练习，掌握这些常用求和方法的应用技巧，根据数列的特征选择与之相应的方法进行求解，以提高解题的效率.