由一道圆锥曲线题引发的思考

晏伟

一、试题呈现

[P（0，2）]，过[R]的直线[l]交椭圆[C]于[A]，[B]两点，直线[PA]，[PB]分别与椭圆交于[M]，[N]两点，证明：直线[MN]的斜率为定值.

二、解法探究

题中涉及两个定点[R]、[P]，四条直线[l]、[PA]、[PB]、[MN]，点线之间的位置关系较多，需先借助图形来理清题目中点线之间的位置关系.解答这类问题主要有两种思路：利用韦达定理和点差法.

解法1：利用韦达定理.

若直线[l]的斜率不存在，则直线[l]的方程为[x=-1]，

将其与椭圆的方程联立得[（3-2y1）x2+2x1（y1-2）x+x12=0]，

由于直线的斜率是不确定的，所以需分斜率存在和不存在两种情况讨论，分别根据一元二次方程、韦达定理、直线的斜率公式求得直线[PA]、[MN]的方程.

解法2：点差法.

设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，[M（x3，y3）]，[N（x4，y4）]，

因为[A（x1，y1）]，[M（x3，y3）]在椭圆上，

化简得[λx2-μx1=μ-λ].

注意到[M]、[A]、[P]三点共线，[N]、[B]、[P]三点共线，以及[R]、[A]、[B]三点共线，于是利用向量的共线定理建立关系式，再利用[A]和[M]以及[B]和[N]的横坐标关系[x1+λx3=0]、[x2+λx4=0]，将[M]和[N]的横坐标之差转化为[A]和[B]的横坐标的关系式，即可运用点差法求得直线MN的斜率.

三、推广与延伸

证明：如图3，因为[l0]是圆[O]的切线，

由圆的切割线定理可知[RQ2=RA?RB]，

又因为[R]为[QP]的中点，所以[RP2=RA?RB]，

所以[ΔARP] ∽ [ΔPRB]，则[∠APR=∠RBP].

又[∠AMN=∠ABN]，所以[∠AMN=∠APR]，

所以[MN//l0 .]

若橢圆[C]在点[Q]处的切线[l0]的斜率存在，

我们知道，在仿射变换下，直线平行关系始终保持不变，而经过仿射变换后，椭圆变成了圆，因此，只需要证明圆中的命题成立，即可证明该结论在椭圆中也成立.

结论2.如图4，已知抛物线[C ： y2=2px（p>0）]，[Q（x0，y0）]是抛物线[C]上任意一点，抛物线[C]在点[Q]处的切线为[l0]，点[R]，[P]是切线[l0]上的任意两点，且[QR=RP].过[R]作直线交抛物线[C]于[A]，[B]两点，直线[PA]，[PB]分别与抛物线[C]交于[M]，[N]两点，则[MN//l0]，若切线[l0]的斜率存在，则

证明：设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，[M（x3，y3）]，[N（x4，y4）]，[P（s，t）]，

所以直线[AM]的方程为[2px-（y1+y3）y+y1y3=0]，

因为直线[AM]经过点[P（s，t）]，所以[2ps-（y1+y3）t+y1y3=0]，

同理，直线[AB]的方程为[2px-（y1+y2）y+y1y2=0]，

因为点[R]在直线[AB]上，

所以直线[MN//l0].

当切线[l0]的斜率存在时，

将椭圆换成抛物线，在相同的条件下，也可以得出类似的结论.

解答这类问题过程中的运算量较大，运用这些结论，可以有效提升解题的效率.我们从一道题出发，探究其本质，对其进行推广、延伸，不仅能熟悉其通性通法，还有利于培养探究和分析能力.