巧构同构式，妙解不等式问题

杨树林

同构式是变量不同，结构、形式相同的代数式.在解答不等式问题时，若能根据不等式构造出同构式，则可通过构造函数，将问题转化为函数单调性问题、最值问题来求解，这样就能快速获得问题的答案.那么如何构造同构式呢？下面一起来探讨.

一、通过移项、添项、拆项，构造同构式

在解题时，可将不等式两边的式子进行移项、添项、拆项，使不等式两侧式子的结构相同、形式一致，便能将不等式左右两边的式子视为自变量不同的函数式，即[f（x1）<>f（x2）]，再根据函数的单调性来比较出这两个函数式的大小.

例1.若[2x-2y<3-x-3-y]，则（     ）.

A. [ln（y-x+1）>0]       B. [ln（y-x+1）<0]

C. [ln|x-y|>0]              D. [ln|x-y|<0]

解：将[2x-2y<3-x-3-y]，移项可得[2x-3-x<2y-3-y]，

设[f（x）=2x-3-x]，

则不等式可化为[f（x）

易知[f（x）]在[R]上是增函数，

则[x1]，[ln（y-x+1）>0]，

故本题的正确答案为A选项.

仔细观察，可发现不等式左右两边的式子都为指数式，只是指数不同，于是将不等式左右两边的式子移项，得[2x-3-x<2y-3-y]，构造函数[f（x）=2x-3-x]，即可将问题转化为判断当[f（x）

例2.若[0

所以[f′（x）]在[（0，+∞）]上单调递增.

显然[g（x）]在[（0，1）]上单调递减，

故当[0f（x2）]，

对于双变量不等式问题，可通过移项、添项、拆项，把两个变量分别置于不等式的两侧，化为结构相同的式子，进而构造出函数，利用函数的单调性证明不等式.

二、通过放缩构造同构式

例3.若[2a+log2a=4b+2log4b]，则（     ）.

A. [a>2b]          B. [a<2b]          C. [a>b2]          D. [a

解：由于[4b+2log4b=22b+log2b<22b+log22b]，

所以[2a+log2a<22b+log22b]，

設[f（x）=2x+log2x]，则[f（a）

所以[f（x）]在[（0，+∞）]上单调递增，

则[a<2b]，所以选择B选项.

我们知道loga（M·N）=logaM+logaN，则log22·b=log22+log2b=1+log2b，所以由不等式的可加性可知，[log2b

例4.设[a>0，b>0]，[e]是自然对数的底数.若[ea+2a=eb+3b]，证明：[a>b].

证明：由于[a>0，b>0]，

则[ea+2a=eb+3b>eb+2b]，

设函数[f（x）=ex+2x（x>0）]，则[f（a）>f（b）]，

又因为[f′（x）=ex+2>0]，

所以[f（x）]在[（0，+∞）]上单调递增，所以[a>b]，

当[a>0，b>0]时，由不等式的可乘性可知[3b>2b]，可得[ea+2a=eb+3b>eb+2b]，这样便构造出同构式.再构造出函数[f（x）=ex+2x（x>0）]，研究函数的单调性，就能比较出a、b的大小.

三、通过取对数构造同构式

对于含有指数式、对数式的不等式，往往可以考虑对不等式两边的式子或某个式子取数式，即可通过对数运算，将指数式转化为对数式，进而构造出同构式和函数，再利用对数函数以及新函数的单调性来解题.

例5.已知[n>m>0]，求证：[（1+m）n>（1+n）m].

证明：因为[n>m>0]，

所以[（1+m）n>0]，[（1+n）m>0]，

所以要证明[（1+m）n>（1+n）m]，

只需证明[ln（1+m）n>ln（1+n）m]，

即证明[nln（1+m）>mln（1+n）]，

从而可知[f（x）]在[（0，+∞）]上单调递减，

又因为[n>m>0]，所以[f（n）

由此证得[（1+m）n>（1+n）m].

要证明[f（x）≥0]，

即证明[ex≥e（lnx+1）]，

则需证明[ex≥elnex]，

在不等式的两侧同时乘以[x（x>0）]，

得[xex≥eln（ex）ln（ex）].

设[g（x）=xex（x>0）]，则[g（x）≥g（ln（ex））]，

又因为[g（x）=ex（x+1）>0]，[g（x）]在[（0，+∞）]上单调递增，

所以[x≥ln（ex）]，即证明[x≥lnx+1]，

显然上式成立，则命题得证.

我们知道[b=alogab]，则[x=elnx]，于是在不等式[ex≥eln（ex）]的两侧同时乘以[x（x>0）]，得[xex≥eln（ex）ln（ex）].此时不等式两边的式子即为同构式，即可构造出函数，通过研究其导函数，判断出函数的单调性.

可见，运用同构法解答不等式问题，需仔细研究不等式的结构特征，通过对比、类比、配凑，对其进行合理的变形，使不等式中出现同构式，以构造出合适的函数，从而简捷、高效地解答问题.