融通数学史料 提升文化素养

梁富升

数学史是研究数学产生与发展、反映数学文化的历史，是数学知识、技能和思想方法的重要载体，也是实现数学学科育人的基本抓手。教师要在教学中有意识地渗透数学史，帮助学生深入理解数学，提升文化素养。

一、敏锐挖掘史料素材

数学名题“鸡兔同笼”流传千古，蕴含着丰富的数学思想方法。设计《鸡兔同笼》教学方案时，笔者从教学目标和学生特点入手，筛选学生感兴趣的相关历史文化知识和典型问题情境，精心设计教学环节，打造充满文化韵味的数学课堂。

课堂上，笔者先播放介绍《孙子算经》的视频，引出鸡兔同笼问题；接着引导学生通过列表法、画图法、假设法解决鸡兔同笼问题；然后，根据学情适当“加料”，用“古人是怎样解决鸡兔同笼问题的”引出抬腿法，打开学生思路，丰富学生视野；再拓展呈现由鸡兔同笼问题演变而来的“龟鹤算”等问题，引导学生将模型演绎到真实问题解决中，使学生的思维走向深入，体验情境变化而模型不变；最后，通过文学素材中相关问题的解决实现拓展应用，促使学生进一步内化模型，感受经典名题的魅力。

二、精心设计教学过程

1.动手操作，呈现基本模型

鸡兔同笼问题是集趣味性、思考性、人文性于一体的素材，教师应根据学生的认知起点，先引导学生利用列表、画图的方法直观理解问题模型，再由图示解题过渡到抽象的假设法解题。

课始，在学生理解题意的基础上，笔者先给学生充分思考和交流的时间，让学生自己想办法解答。学生通过猜想、计算，发现同样的头数下，鸡和兔的数量不同，脚数也不同。然后，笔者以学生的猜想为基础，引出列表法。学生通过不断调整鸡和兔的数量，一步步推导、汇报结果，最终得出“8个头的情况下，3只鸡和5只兔共有26只脚”。在此过程中，学生理解了题目所蕴含的“变与不变”的规律。

通过列表梳理，学生发现列表法有一定的局限性。笔者顺势引出画图法，引导学生用简单的图示把解决问题的过程画出来，使学生内在的思维过程转化为外显的图示，深化学生对问题的理解。课堂上，笔者先设计了“画脚”环节，并引导：“我们用‘〇表示头，‘|表示脚。鸡有2只脚，兔有4只脚，鸡的脚数比兔的少，同学们能画出鸡和兔的只数吗？”学生尝试画图后发现：全部画鸡，脚数少了；全部画兔，脚数多了。然后，笔者引导学生通过添加脚数，把鸡变成兔；通过减少脚数，把兔变成鸡。学生通过画图发现：每减少一只兔、增加一只鸡，可以减少2只脚；每增加一只兔、减少一只鸡，可以增加2只脚。最后，笔者引导学生在画图理解的基础上，运用极端假设法列出算式。如假设全是鸡，共有“8×2=16”只脚，比实际少了“26-16=10”只脚，因为一只兔比一只鸡多两只脚，所以兔有“10÷2=5”只，鸡有“8-5=3”只。学生在“画数学”的过程中发现了数学的有趣，提升了思维能力，建构了问题模型。

2.结合史料，贯通问题理解

在学生掌握了用列表法、画图法、假设法解决鸡兔同笼问题后，教师创设了如下趣味情境，激发学生进一步探究的兴趣，帮助学生洞悉问题本质，了解古人解决鸡兔同笼问题的方法——抬腿法，提升这道数学名题的教学价值。

课堂上，笔者用“你知道古人是如何解决鸡兔同笼问题的吗？”引出抬腿法，引导学生模拟演练古人的解题过程。抬腿法分为“兔子抬脚扮成鸡”和“给鸡装脚扮成兔”两种情境。

情境一：兔子抬脚扮成鸡

课堂上，笔者提问：假设这些兔可以与人交流并且训练有素，老师一吹口哨，所有的兔就抬起两只脚，那么所有的兔就都扮成了什么？学生回答：扮成了鸡。笔者追问：此时35只鸡一共有多少只脚？比原来少了多少只脚？学生回答：35只鸡一共有70只脚，比原来少了24只脚。笔者质疑：为什么会少了24只脚？根据少了的脚数，你能得出兔的只数吗？学生思考后回答：每只兔都抬起2只脚，这些抬起的脚就是比原来少了的脚，所以用24除以2就可以求出兔的只数，兔有12只，那么鸡就是23只。

情境二：给鸡装脚扮成兔

同理，笔者提问：假设老师给每只鸡另外装上两只脚，那么所有的鸡就都扮成了什么？学生回答：扮成了兔。笔者追问：这样，35只兔一共有多少只脚？比原来多了多少只脚？学生回答：35只兔一共有140只脚，比原来多了46只脚。笔者质疑：为什么会多出这么多只脚呢？学生很快得出：鸡在假扮兔，每只鸡多装了2只脚，23只鸡正好多装了46只脚，所以鸡有23只，兔有12只。

3.拓展情境，建构问题模型

“鸡兔同笼”问题的教学过程就是相关数学史的演绎和创生过程。笔者以练习为载体，在教学中引入植树情境和“龟鹤算”问题，帮助学生透过不同的情境把握问题的本质，建构问题模型；体验数学探索与创造的过程，形成质疑精神。

首先，笔者出示植树的问题情境：“新星小学‘环保卫士小分队的12人参加植树活动。男生每人栽了3棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男生、女生各有几人？”独立思考后，大部分学生认为此题是“鸡兔同笼”问题，少部分学生存在疑惑。笔者进一步引导：如果是“鸡兔同笼”问题，那问题中一定存在“脚数”和“头数”，题目中哪个数量相当于“头数”？哪个数量相当于“脚数”？学生小组合作找“脚数”和“头数”，然后汇报：人数即头数，棵数即脚数。在此基础上，笔者引导学生理解“鸡兔同笼”问题不仅仅是涉及鸡和兔的具体问题，而是一类问题，从而让学生转换思维，关注问题的本质，寻求这类问题的统一解法，形成深度的数学理解。

其次，笔者出示“龜鹤算”问题，“有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？”，并引导：日本所说的龟、鹤和我们所说的鸡、兔有联系吗？学生通过鸡兔同笼问题的模型转换明白了：龟是4只脚，相当于兔；鹤是2只脚，相当于鸡；“鸡兔同笼”只是这一类问题的统称。紧接着，笔者介绍日本的“龟鹤算”问题就是从我国的“鸡兔同笼”问题演变而来的，激发了学生的民族自豪感。

三、真实素材拓展应用

为了引导学生应用“鸡兔同笼”问题模型解决更多这种类型的问题，笔者引入文学作品中的真实素材，设计了如下课后拓展练习。

清代李汝珍的小说《镜花缘》中，众女猜灯谜的情境蕴含着两个问题：

楼阁上挂满了五颜六色、形态不同的两种灯，第一种是1盏大灯下挂2盏小灯；第二种是1盏大灯下挂4盏小灯。大灯一共有360盏，小灯一共有1200盏。问两种灯各有多少盏？

楼阁上挂满了五颜六色、形态不同的两种灯，第一种是3盏大灯下挂6盏小灯；第二种是3盏大灯下挂18盏小灯。大灯一共有396盏，小灯一共有1440盏。问两种灯各有多少盏？

文中的才女兰芬是怎样解决这两个问题的？她的解法与“鸡兔同笼”的解法有何异同？

这两个问题本质上是相同的。学生通过查阅资料，发现才女兰芬是借鉴《孙子算经》中的“半足法”解决以上问题的。以第一题为例，兰芬先将小灯数量减半，再用小灯数量的一半减去大灯的数量，最后得出第一种灯有120盏，第二种灯有240盏。学生通过对问题的再加工，深化了“鸡兔同笼”问题模型的建构，感受到数学名题的魅力。

（作者单位：咸宁市嘉鱼县实验小学）