初中数学“二次函数”的教学策略研究

□ 甘肃省张掖市山丹县南关学校 王小东

二次函数是初中数学教学的重要组成部分，它是一种图形结合的函数，具有极强的抽象性，包含函数、数形结合、分类讨论等诸多数学思想。对于初中生而言，不仅需要掌握二次函数的概念、性质与解题方法，还需要综合运用推理、逆向思考、对比分析等多项思维模式解决问题，学习难度较大。鉴于此，本文先是阐述了初中生为何对二次函数的掌握不到位，又详细研究了初中数学“二次函数”的具体教学策略。

一、学生“二次函数”知识点掌握不到位的原因

（一）概念理解不透彻

很多学生对二次函数的概念理解不透彻，将二次函数理解为y=ax2+bx+c（a ≠0）这一等式或坐标系中的抛物线，这就导致学生对于题目中出现y=ax2+bx+c（a ≠0）和抛物线的简单题目，能利用相应的解题方法求解，但是针对题目中未出现y=ax2+bx+c（a ≠0）或抛物线图像的题目，不能联想到该题目也可以利用二次函数来做。学生对二次函数的本质不理解，也就无法在审题过程中识别出题目关于“使用二次函数解题”的暗示，在面对较复杂的二次函数问题时缺乏变通思维，不能活学活用。

（二）函数意识薄弱

二次函数是初中阶段数学学习内容中较难的一部分，也是初中阶段学生函数学习中最复杂的内容，很多学生存在函数意识薄弱的问题，一方面是因为学生在学习一次函数和反比例函数的相关题目、图像和性质都较简单，且大多可以利用方程解题，所以很多同学便没有培养函数意识；另一方面是因为很多学生习惯性使用方程解题，而不选择用函数解题，从而函数意识逐渐被削弱。

（三）数形结合能力欠缺

二次函数的图像形状和大小受二次函数解析式二次项系数、一次项系数和常数项的影响，相较于一次函数和反比例函数来说，图像更复杂、图像变换空间更大、可考查的知识点更多。学生要想学好二次函数，首先要具备较好的数形结合能力，一方面要求学生能通过画出二次函数图像的方式进行解题，另一方面要求学生能够根据题意描述画出对应的二次函数图像，学生只有兼具二次函数各项系数对其性质的影响理论知识和数形结合思想，才能成功解题。

（四）不擅长总结反思

二次函数因为其复杂性和多变性，涉及题目多具有开放性，学生若是在学习过程中不具备总结反思的能力，则无法在做题过程中积累解题经验，也无法提升对二次函数性质的理解。不擅长总结反思是很多学生对“二次函数”知识掌握不好的主要原因，针对具有较强难度和复杂度的内容，学生只有在课下融会贯通、举一反三，才能有效提升掌握程度。学生不擅长总结反思一方面是因为学生没有定期总结学习内容的习惯，从而逐渐丧失总结反思的能力，另一方面是学生学习压力较大，课下时间被题海淹没，缺少总结反思的时间。

二、初中数学“二次函数”的教学策略

（一）创设教学情境，激发学习兴趣

兴趣是最好的老师，要想提升二次函数的教学效果，激发学生的学习兴趣是关键。初中数学教师可以通过创设教学情境激发学生的学习兴趣。首先，初中数学教师要创设新颖有趣且符合青少年兴趣爱好的教学情境。其次，初中数学教师还可以创设有用的教学情境，即让学生意识到学好二次函数能够解决生活中的很多问题，为了让课堂气氛更活跃，让学生们更深刻地体会二次函数的用处，初中数学教师可以邀请班内学生与自己配合。

例如初中数学教师可以在上课前询问是否有同学愿意配合自己开展一个活动，并将举手最积极的同学叫上讲台与自己合作，利用卷尺测量该同学的身高和向上探出手臂时的最高高度，并假设该同学在投铅球的活动中，推出的铅球轨迹恰好与二次函数图像重合，教师提供该二次函数的解析式和该男同学扔铅球时的高度，要求同学们算出该同学所扔铅球能达到的最高高度和扔出的铅球距离。需要注意的是，初中数学教师在创设教学情境时，不仅要考虑教学情境与课程内容的契合度、教学情境的趣味性和有用性，还要注意合理安排教学情境的时间。如果初中数学教师将整节数学课设为教学情境，例如习题课安排学生开展竞赛答题活动，则无须控制教学情境的时间；如果初中数学教师利用教学情境开展课程引入，则应该合理控制教学情境的时间，一般控制在3 至5 分钟，如果有特殊情况可以适当拉长时间，但不应超过10 分钟。

（二）适应课程改革，转变教学方法

新课改要求教师转变角色观，即要求教师不再是教学过程的主导者，而变成和学生地位一致的共同学习者；还要求教师重视学生的学习需求，并为学生解决学习中的问题；要求教师与学生在课堂上开展平等的交流；要求教师立足学生能力发展水平开展教学活动，重视对学生创新能力和实践能力的培养。所以初中数学教师要适应课程改革，及时转变学习方法，提升学生的学习体验，帮助学生克服二次函数学习难的问题。

首先，初中数学教师要重视学生的学习需求，可以通过每节课或定期收集学生的意见改进教学方式和教学内容。例如当学生认真反馈教师课上讲解题目画图太过粗糙，不利于学生理解题目的时候，教师应该及时改进不足，为学生提供更好的学习体验。

其次，初中数学教师应该重视提升学生解决实际问题的能力，而不是做题的能力。一方面，初中数学教师在备课时应该尽可能选取与现实生活联系密切的内容辅助教学；另一方面，为了帮助学生认识到二次函数的有用性，初中数学教师可以通过改编题目的方式提升题干的趣味性和与生活的联系密切度。

最后，初中数学教师应该放弃题海战术，与其让学生将课余时间全用在机械式做题上，不如留给学生总结反思的时间。鉴于很多学生总结反思能力不足，初中数学教师可以要求学生建立改错本，每周安排学生写反思总结周志，帮助学生开展总结反思活动。另外，初中数学教师还要在课堂上强调定期总结反思的意义，提高学生对总结反思工作的重视。

（三）利用信息技术，直观展示图像

二次函数图像与性质的关系是二次函数学习的难点，主要是因为二次函数图像变换较复杂，且学生在学习过程中不能直观地观察到二次函数图像的变化情况。传统的教学过程中，初中数学教师利用直角板等工具在黑板上为同学们展示函数图像，但存在画图不标准、作图时间长等问题。手绘函数图像不仅效率较低，且受教师个人作图 水平的影响较大，而利用几何画板等绘图软件绘制函数图像，图像清晰，教师只需要输入函数解析式即可得到图像，教师还可以通过调解函数图像线条颜色帮助学生更清楚地看到不同函数解析式所对应的图像的区别。利用信息技术直观展示二次函数的图像变化，一方面能丰富课程内容，引起学生的学习兴趣，另一方面能让学生更直观地体会到二次函数的各种性质与二次函数解析式中各项系数之间的关系，从而帮助学生在解题过程中灵活应用二次函数知识。

首先，初中数学教师应该利用最简单的二次函数，即y=ax2（a ≠0）的函数图像做示范，让学生通过观察图像的变化明确二次函数解析式中的二次项系数a 与二次函数图像的抛物线开口方向、大小等性质的关系。二次函数y=ax2（a ≠0）的函数图像较简单，涉及二次函数解析式系数较少，学生容易理解，不会因为学习内容难而丧失学习信心。初中数学教师在此过程中可以与学生开展互动，活跃课堂气氛，可以指定学生定义a 的值或提问学生从二次函数图像中看出来的二次函数的性质。

其次，初中数学教师应该利用函数图像在坐标系中的上下移动，其函数解析式常数项之后加向上移动单位或减向下移动单位的性质，利用y=ax2+t（a ≠0）做示范，让学生通过观察图像的变化明确二次函数解析式中二次项系数和常数项对二次函数图像的影响。

最后，初中数学教师应该利用函数图像在坐标系中的左右移动，其函数解析式常数项之后加向左移动单位或减向右移动单位的性质，利用y=a（x-h)2（a≠0）做示范。

需要注意的是，初中数学教师还可以在讲解练习题的过程中，利用几何画板等绘图软件模拟题干内容，从而帮助学生更直观地理解题干内容，从而提升运用二次函数知识解题的灵活性。例如初中数学教师在讲解如图1所示的题目时，初中数学教师可以通过在黑板或绘图软件中绘制出题干描述的图形情况，帮助学生理解题目。

图1 例题

首先，初中数学教师可以通过黑板或绘图软件绘制出题目所述的直角坐标系和直角△ABC，如图2 所示。其次，教师引导学生根据题意确定二次函数图像的对称轴为直线x=1.5，并要求学生在图上做出符合要求的二次函数图像，分析符合题目要求的二次函数图像的特点，找出符合题目要求的二次函数图像的临界情况。最后，要求学生将符合题目要求的二次函数图像临界情况找出来，并通过将点坐标代入的方式求出a 的取值范围。

图2 题目所述图形

（四）总结数学模型，提高解题效率

以较复杂的函几结合题目为例，该类题目一般是给出动点性质求动点的具体坐标，初中数学教师可以通过课堂示范的方式帮助学生学会如何总结数学模型，然后给出专门设计的习题册，帮助学生总结出解答该类型题目的解题模型。例如，该类题目的解题模型可分为三个步骤，首先，按照题意设动点坐标；其次，分类讨论并按照题意列式计算；最后，根据题目筛选答案。其中分类讨论并按照题意列式计算这一环节，题意不同，其列式方法也有所不同。例如若题目要求动点与两定点构成等腰三角形，则应该分三类讨论，并根据“等腰三角形两边相等”的性质，利用距离公式列式计算；若题目要求动点与两定点构成直角三角形，则应该分三类讨论，并根据直角三角形的勾股定理（a2+b2=c2），利用距离公式列式计算。下面以图3所示题目（3）为例，示范如何使用数学解题模型提高解题效率。

图3 函几结合例题

图3 所示题目（3），通过分析题干特征，可得出该题目是二次函数函几结合题目，可以利用函几结合解题模型提升解题效率。首先，根据题意设动点P 的坐标，题干描述动点P 在x轴上，即点P 横坐标不确定，但纵坐标始终为0，所以点P 坐标可设为（x0，0）；其次，分类讨论且根据题意列式计算，因为题目并没有具体说明等腰△PBC 的顶角顶点的位置，所以P、B、C 三点都有同样作为等腰三角形顶角顶点的概率。根据解题模型，当题目出现动点与两定点构成等腰三角形，则应该根据等腰三角形两边相等的性质，利用距离公式列式计算。

第一种情况：当点P 为等腰△PBC 的等角顶点，则PC=PB，列式为：

解得：x0=0，所以点P 坐标为（0，0）

第二种情况：当点B 为等腰△PBC 的等角顶点，则BC=BP，列式为：

第三种情况：当点C 为等腰△PBC 的等角顶点，则CP=CB，列式为：

解得：x0=±1，，所以点P 坐标为（1，0）或（-1，0）

利用数学模型解题，一方面可以帮助学生快速锁定解题思路，从而提高解题效率，另一方面可以提升学生的归纳总结能力，帮助学生养成创建数学模型解题的习惯，提高创建数学模型的能力，提升数学认知水平。需要注意的是，首先，初中数学教师在课上要通过示范、引导的方式让学生自己总结数学模型，不能直接将数学模型告诉学生；其次，初中数学教师要及时归纳总结，帮助学生全面认识数学模型，即数学模型的适用题目特征、数学模型的应用方式、数学模型应用注意事项。

三、结语

初中数学二次函数的难点主要表现在函数概念、函数图像与性质、二次函数实际应用、数形结合这四个方面，初中学生对函数概念的理解不透彻、函数意识薄弱、数形结合能力欠缺和不擅长总结反思是影响他们学好二次函数的主要原因。针对上述问题，初中数学教师首先应该适应课程改革，转变教学方法，其次可以通过创设教学情境激发学生兴趣，利用信息技术直观展示图像，总结数学模型，帮助学生提高解题效率，不断优化二次函数的教学方法，有效提高学生对二次函数的掌握程度。