唤醒结构意识 探寻生长路径*——以圆“垂径定理”的结构化教学设计为例

南京市教学研究 王红兵 南京市鼓楼区教师发展中心 诸士金

“知识结构化才能形成能力，就像散落在地面上的珍珠显示不出它特有的价值一样，只有将散落的珍珠用线串成珍珠链才能让她大放异彩、身价倍增.”[1]因此，从数学知识的教学角度来说，教师首先要对教学内容有一个整体的把握，进而利用结构化的思想去设计教学过程，帮助学生厘清知识结构，促进其知识结构化，逐渐形成数学知识的系统观.这一过程有利于学生自主建立深刻和清晰的学习路径，形成科学的学习方法和理性精神.下面以“圆”中“垂径定理”的内容为素材进行结构化教学设计和分析.

1 垂径定理的结构化特征分析

垂径定理是圆的重要性质，是圆中证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为与圆有关的其他计算、证明、作图等提供重要的方法和依据.垂径定理的结构化特征主要体现在两个方面，即外联模块结构化特征与内部元素结构化特征.

1.1 垂径定理的外联模块结构化

圆有许多重要性质，其中最主要的性质是圆的对称性(轴对称性和旋转不变性)，它是探索其他性质的基础前提.垂径定理正是圆的轴对称性的具体体现(如图1).圆的轴对称性质是圆的一个重要模块，这个模块的探究方法和积累的经验，一方面有利于圆其他类似模块相关知识的探究，另一方面也为图形中与轴对称性相关知识的探究提供参考路径.

图1 垂径定理外联知识模块结构示意图

1.2 垂径定理的内部元素结构化

垂径定理的条件：①过圆心，②垂直于弦.定理的结论有：③平分弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧.事实上，以其中任意两个为条件都可以得出其余结论.由于垂径定理是圆整体的轴对称性反映在圆局部元素特征的具体体现，因此，这里研究圆心、半径(直径)、弦、弧等局部元素的特征需要将这些内部元素以轴对称为线进行结构化(如图2).

图2 垂径定理内部元素结构示意图

2 垂径定理的结构化教学设计

2.1 学情分析

学生虽然已经学习了轴对称等图形变化，但运用图形变化的观念去发现问题、解决问题的意识还不强，因此对于垂径定理的发现和证明，学生可能不容易想到从轴对称的角度去思考.此外，垂径定理的条件与结论比较复杂，条件的表述的方式比较多，部分学生不能把握条件的本质，从而导致对定理的理解不深入.

2.2 教学目标与教学重难点

(1)探索并证明垂径定理，会用垂径定理解决一些简单问题.

(2)经历实验、猜想、概括、推理得出垂径定理的过程，体会圆的轴对称性.

教学重点是垂径定理的探索及初步应用；教学难点是垂径定理的探索.

2.3 教学设计与分析

引言：圆具有怎样的对称性？

设计意图：通过这个问题，既回顾了上节课研究的圆的中心对称性，又引出了圆的轴对称性.

(1)了解圆的轴对称性

问题1圆的对称轴是什么？利用课前剪好的圆形纸片，你能把圆的轴对称性演示给同桌看吗？

师生活动：教师要求学生课前剪好圆形纸片，激发学生从“轴对称性”出发，借助操作直观感受圆的轴对称性.

设计意图：引导学生关注圆的对称轴，在多次、多人折叠的过程中，借助几何直观体会圆的轴对称性，认识到任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.学生从直观的“看”到具体的“做”，经历了从具象的圆到抽象的圆的过程.

追问1：如何解释圆的轴对称性？

视角1：把圆沿直径所在的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合.

视角2：圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上.

追问2：视角1我们通过操作已经观察得到了，你能找出其中的一对对应点吗？

追问3：视角2又如何理解呢？

生1：任取圆上一点(直径两端点除外)，作直径的垂线交圆于另一点，说明这两点到直径的距离相等.

生2：任取圆上一点(直径两端点除外)，作直径的对称点，证明该点在圆上.

设计意图：从两个角度预设学生对圆的轴对称性进行解释.这里是在前面操作感受圆是轴对称图形的基础上进一步明晰几何学习的路径，即既要有基于“看”和“做”下的“合情推理”，也要有“想”和“证”下的“演绎推理”.两个方向，可以组织学生先独立思考，然后开展合作交流.

(2)探索垂径定理

问题2通过折纸活动，我们发现圆有轴对称性，你能尝试证明它吗？

设计意图：前面两种视角是一种思路分析，如何证明圆有轴对称性，需要根据不同的学情在课堂上做出合适的选择.建议在证明“圆是轴对称图形”时，先引导学生厘清“轴对称图形”概念，进而回归到概念上去证明.这里从演示到解释，从图形的标识到证明的尝试，进而把合情推理和演绎推理结合在一起，培养学生思维的严谨性.

问题3在图3中，你还有哪些发现？

师生活动：引导学生聚焦图3，部分学生可能通过连线得到类似图4的图形，从“形结构”上观察，激发学生学会在数学内部结合圆的构成元素展开联想和思考.

图3

图4

设计意图：证明“圆是轴对称图形”的过程中，学生必然要经历对图形以及元素之间关系的梳理.这一过程能够较大程度地激发学生基于问题2中的形结构“模型”进行深层次联想，从而发现更多的结论.这里师生活动旨在凸显数学的思维体验，并为后面发现“垂径定理”的构成条件和结论作铺垫.

追问1：回到图3，你能发现有哪些相等的线段和弧？请用文字语言进行概括.

追问2：如何证明你的发现？

追问3：从图5的各种情形中能得出什么结论？为什么？

图5

设计意图：问题3的三个追问，层次和目的明确.追问1指向厘清已有条件和发现的结论；追问2则是要求证明已经表达清楚的“发现”；追问3则是通过图的变式，将直径、半径、弦心距以及过圆心的直线进行统一，通过分析发现，垂直于弦的不一定必须是直径，也可以是半径、弦心距、过圆心的直线，而它们的“形结构”本质特征是都过圆心.

追问4：不难看出，①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧，垂径定理是以①②作为条件，得到结论③④⑤.我们还能从中选出一些作为条件，其余的作为结论形成真命题吗？

师生活动：教师启发学生先写出命题，然后思考命题是否正确.

设计意图：基于不同的分类组合得到不同的命题，一方面是对“垂径定理”内涵的深度理解，另一方面也是对“垂径定理”外延的其他形式进行辨析.组织师生活动，先写命题，再思考命题是否正确，需要根据学情选择部分或全部命题进行不同程度的证明或说理.追问4是在辨析定理的基础上渗透提出问题的一种思维方式.

图6

(3)运用垂径定理

例1如图6，在⊙O中，弦AB长为8 cm，圆心O到弦AB的距离是3 cm，求圆O的半径.

设计意图：例1重点考查“垂径定理”的应用，难度不大，且图形贴近定理的基本图形.在分析题意的过程中容易激发学生联想到定理，从而更容易结合条件分析出解题思路.

图7

例2如图7，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB为16 m，拱高CD为4 m，那么弓形的半径是多少？

设计意图：从例1中的求线段长到例2的求弓形半径，是一种基于模型一致的问题解决和应用，巧妙地对“垂径定理”进行巩固.

问题4你能综合运用本节课的知识，确定一张圆形纸片的圆心吗？

追问：如果只用直尺和圆规，你能确定它的圆心吗？

设计意图：问题4短短的追问不仅涵盖了本节课的全部知识内容，更有效提升了学生的直观想象和逻辑推理能力.

(4)小结

①本节课是怎样发现和证明垂径定理的？

②垂径定理的条件和结论分别是什么？

③用垂径定理可以求得哪些量？怎样求得？

设计意图：通过小结，帮助学生梳理本节课的核心知识以及应用知识解决问题的方法.

3 结构化教学设计与实施的反思

3.1 结构化教学要以核心素养为导向

课程目标以核心素养为导向，而落实“四基”与“四能”的主阵地是课堂教学，因此必须对知识进行结构化整合，且实施结构化教学必须以核心素养的导向为教学目标.本节课教学目标中“探索并证明垂径定理”，立足于“探索”，显化于“证明”.在经历实验、猜想、概括、推理得出垂径定理的过程中，重在引导学生自主探寻圆中有关垂径定理的外部知识关联结构，以及内部元素结构特征.这样的探寻过程具有鲜明的“逻辑性”，所联想到的知识之间有强烈的“结构化”特征，学生在经历从合情推理到演绎证明的过程中，发展了理性精神，形成了正确的情感、态度和价值观.

3.2 结构化教学要体现结构化的特征

课程标准中要求数学课程内容要反映数学学科的特征，符合学生的发展规律，在内容设计时要凸显出数学知识的结构特征，教学活动的组织要体现数学教育形态结构化安排，学生的学习获得应该形成结构化的认知路径和数学知识.以垂径定理为例，本节课的设计具有较为明显的层次性和多样性，以问题串的形式层层推进，引导学生经历了“看、做、想、证”等符合学生认知规律的数学活动.这样的活动环环相扣，具有结构化特征，在这样的活动中学生也逐步清晰地认识了圆作为轴对称图形的“形结构”特征.

3.3 结构化教学要关注学法的结构化

教学活动是在教师引导下学生主动学习的过程.有效的教学活动是学生学和教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者.结构化教学要求教师一方面提升教的水平，另一方面要关注学生学习的结构化.教师要在“看、做、想、证”等数学活动的组织上下功夫，引导学生经历类似垂径定理这样的数学发现过程；要在“适时分步介入”的问题引导上下功夫，精心预设，在预设中敏锐发现生成资源，及时地发掘生成资源的价值；要在“独立思考、合作交流、师生共研”的教学相长的合作上下功夫，帮助学生克服畏难情绪，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问难，培养学生良好的学习习惯.

总之，以垂径定理的结构化设计和教学实施为例，我们可以看到结构化的知识比碎片化的知识更有利于知识存储与提取，更能有效促进问题的解决.因此，只有紧扣学科知识的内在结构特征进行教学设计，从整体上把握教学的逻辑结构，“教结构”，学生才能“学结构、用结构”.