数形结合思想在高中数学教学中的运用

林满连

(福建省上杭县第一中学，福建 龙岩 364200)

函数性质、函数零点、平面向量、导数、圆锥曲线是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点.为提高学生学习这些知识的效率，增强其运用数形结合解题的能力与意识，可提前合理的设计教学计划，采取积极地、有针对性措施为学生做好数形结合应用的示范.

1 用于函数性质教学中

高中数学中函数性质主要包括：单调性、奇偶性、周期性等.在讲解这些内容时为使学生更好地理解，为其学会灵活运用做好铺垫，要注重运用多媒体技术为学生展示相关的函数图象，引导学生将函数性质与函数图象的特点对应起来，在脑海中中形成清晰的模型，帮助其理解对应的数学表达式.

例1已知定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=|x-m|-m对任意的实数x均有f(x+1)≥f(x)，则实数m的取值范围( ).

解析该题较为抽象，运用数形结合更容易理解题意与解题.根据题干描述运用函数奇偶性画出函数图象，再结合图象等价转化要求解的问题，通过解不等式求m的取值范围.

图1

2 用于函数零点教学中

函数零点是高中数学中一个非常重要的概念.正确理解函数零点概念是解答相关习题的基础.教学实践中为获得良好的教学效果，通过数形结合的应用，展示常见函数图象，剖析函数零点，使学生理解零点并不是点，而是函数图象与x轴交点的横坐标，其与对应方程的根相等.另外，借助函数图象帮助学习者构建函数零点个数与函数图象交点的对应关系，使其在以后解题中能够进行正确的等价转化.

解析将函数f(x)看做两个函数，其零点个数对应函数图象在给定区间的交点个数.结合函数图象确定m的取值范围以及三个零点之间的关系，借助不等式知识分析出其取值范围.

课堂上围绕以下问题与学习者进行互动，指引学习者尽快地找到解题思路，高效地作答：(1)可将函数f(x)拆分成哪两个函数？(2)函数图象中怎样体现三个不同的零点？(3)函数零点之间有什么关系？最终学习者经过思考运用数形结合顺利得出正确答案.

图2

3 用于平面向量教学中

平面向量是高中数学的重要知识点，其中平面向量的加减法体现的正是数形结合，而且部分平面向量习题运用数形结合可有效降低解题难度，确保问题得以顺利高效突破.

例3已知a，b，c为三个平面向量，其中向量a，b的夹角为60°且模均为2.若c2-2a·c+3=0，则|b+c|的最小值为( ).

解析该题如采用常规思路，计算较为繁琐，不容易得出正确答案.如运用数形结合，可有效降低计算难度.根据已知条件找到向量之间的关系.通过设出对应向量，将向量问题转化为对应的图形问题，即，分析出向量c表示的是圆，而后借助数形结合便可直观地确定|b+c|的最小值.

图3

4 用于导数教学中

导数是研究函数性质的一个重要工具.一些数学习题既可以单独考查学习者掌握导数知识的情况，也可以函数为背景考查学习者运用导数知识解决问题的灵活程度.

A.0 B.(3-ln2)ln2 C.1 D.e

解析根据给出的分段函数以及已知条件画出对应图象，确定相关参数取值范围.通过换元构造新的函数，借助导数研究新构造函数性质，得出其最大值.

函数f(x)的图象如图4所示，因若f(a)=f(b)，且a≠b，由图可设0≤a<1，b>1，令f(a)=f(b)=t，则易得01，tet>0，而0<2t≤2，则h′(t)>0，则在给定区间上h(t)单调递增，h(t)max=h(1)=e，即bf(a)+af(b)的最大值为e，选择D项.

图4

5 用于圆锥曲线教学中

圆锥曲线在高中数学中的重要性不言而喻.其突出特点是计算量大.对于部分圆锥曲线习题而言一味的进行计算反而会走不少的弯路，而且难以保证最终求得结果的正确性.根据题干内容画出相关图形，从几何角度进行分析，挖掘隐含条件，构建相关参数之间的关系，达到顺利解题的目标.

图5

高中数学理论知识讲解中要注重数形结合的应用，可帮助学习者理解重点与难点，给其留下深刻印象，提高其课堂学习效率.同时，在习题教学中围绕习题展示数形结合的应用，可使学习者尽快地找到解题思路，降低运算难度，使其少走弯路，节省做题时间，因此，教学实践中应将数形结合纳入教学的重要内容，并结合教学内容采取切实可行措施，将数形结合渗透至教学活动中，使学习者掌握这种高效的学习方法和解题方法.