回归数学本源,发展核心素养——2023 年高考新课标全国I 卷第7 题和20 题的启示

广东省梅州市五华县教师发展中心(514400) 宋淮南

本文通过对2023 年高考新课标全国I 卷第7 题和20 题的分析,结合《中国高考评价体系》、《普通高中数学课程标准》的要求和教材、教师用书进行分析,旨在强调在教学中应回归数学的本源,促进学生核心素养的发展.

1 试题的呈现与分析

1.1 2023 年高考新课标全国I 卷第7 题 记Sn为数列{an}的前n项和,设甲: {an}为等差数列;乙:为等差数列,则( )

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

1.1.1 解答过程

解: 甲: {an} 为等差数列, 设其首项为a1, 公差为d, 则, 因此为等差数列, 则甲是乙的充分条件; 反之, 乙:为等差数列, 即为常数,设为t,即,则Sn=nan+1-t·n(n+1),有Sn-1= (n-1)an-t·n(n-1),n≥2, 两式相减得:an=nan+1-(n-1)an-2tn,即an+1-an=2t,对n=1也成立,因此{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件,C 正确.

1.1.2 解答反思

本题以等差数列为出发点考查充要条件的推证,要求考生判别充分性和必要性,然后分别进行证明,解决问题的关键是利用等差数列的概念和特点进行推理论证,重点考查逻辑推理素养.

1.2 2023 年高考新课标全国I 卷第20 题 设等差数列{an}的公差为d,且d＞1. 令,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.

(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;

(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.

1.2.1 解答过程

解: (1)∵3a2=3a1+a3,∴3d=a1+2d,解得a1=d,∴S3= 3a2= 3(a1+d) = 6d,又,即2d2-7d+3=0,解得d=3 或(舍去),∴an=a1+(n-1)·d=3n.

(2)解法1: ∵{bn}为等差数列,∴2b2=b1+b3,即,即,解得a1=d或a1= 2d, ∵d＞1, ∴an＞0, 又S99-T99= 99, 由等差数列性质知, 99a50-99b50= 99,即a50-b50=1,∴,即,解 得a50= 51 或a50= -50(舍 去) 当a1= 2d时,a50=a1+49d= 51d= 51, 解得d= 1, 与d＞1 矛盾,无解; 当a1=d时,a50=a1+ 49d= 50d= 51, 解得.

1.2.2 解答反思

对于第(1)问,考生需要利用等差数列的基本量列方程求解(体现了方程的思想的应用).

对于第(2)问,因为{bn}为等差数列,则b1,b2,b3三者构成等差数列,体现了从一般到特殊的思想,从而减少运算的难度和推理过程,易得到首项和公差的关系,再利用等差数列的性质,然后分类讨论解题(体现了分类讨论的思想),须多次化简和因式分解解方程,学生要有较强计算能力(考查逻辑推理和数学运算的素养).

1.2.3 (2) 解法2: 因为{bn} 为等差数列, 则(关于n的一次型) , 所以a1-d=0 或d=a1-d即a1=d或a1=2d,下同解法1.

当an=d(n+1)时,所以. 又S99-T99= 99,由等差数列性质知, 99a50-99b50= 99, 即a50-b50= 1,,51d2-d-50 = 0,所以(不合,舍去)或d=1(不合,舍去)

1.2.4 解答反思

解法2 和解法3 均是根据{an}、{bn}都是等差数列,从而an、bn均是关于关于n的一次型(体现了函数的思想),进而到达简化运算的目的. 也需要考生通过观察式子的特点,会把式子中的分子n2+n分解成n(n+1),从中展现数学运算和逻辑推理的素养.

2 符合高考评价体系

该试题命制落实中国高考评价体系中“一核四层四翼”的考查要求,突出强调对等差数列的概念、等差数列性质、等差数列前n项和的公式等基础知识的深入理解和灵活掌握,注重考查学科知识的综合应用能力,促进考教衔接,引导学生提高在校学习效率,避免机械、无效的学习.

3 依据课程标准要求

教师应认真研究课程标准,准确把握课标对教学内容的要求,促进学生素养的提升. 实际上“课标”对等差数列方面的内容也提出这样的要求.

3.1 理解等差数列的概念和通项公式的意义.

3.2 探索并掌握等差数列的前项和的公式,理解等差数列的通项公式与前n项和的公式的关系.

3.3 体会等差数列与一次函数的关系.

4 紧扣教材教师用书

用好教材中的“边空”、“思考”、“探究”等栏目,有利于提升学生的逻辑推理和探究能力,对教材、教师用书中的典型例(习)题和课标中的教学与评价案例进行研究,有利于培养学生的综合能力与创新能力.

4.1 教材中的“思考”的栏目

4.1.1 教材选择性必修第二册第21 页“边空”提出的问题: 对于等差数列{an}的相关量a1,an,d,n,Sn,已知几个量就可以确定其他量? 这里强调基本量和基本法,渗透了方程的思想.

4.1.2 教材选择性必修第二册第14 页设置了思考栏目,思考:

观察等差数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?

由于an=a1+ (n- 1)d=dn+ (a1-d) 所以当d0 时, 等差数列{an} 的第n项an是一次函数f(x) =dx+ (a1-d)(x∈R) 当x=n的函数值, 即an=f(n).

探究等差数列与一次函数的关系,体会数列是一类特殊的函数,体现函数的思想.

4.2 教材、教参中例(习)题

4.2.1 教材选择性必修第二册第25 页(习题4.2 综合运用)第7 题: 已知Sn是等差数列{an}的前n项和.

(2)设Tn为数列的前前n项和,若S4=12,S8=40,求Tn.

4.2.2 普通高中教科书教选择性必修第二册师教学用书第85 页(本章学业水平测试题第13 题)

设数列差{an}满足a1+3a2+···+(2n-1)an=n.

(1)求数列{an}的通项公式;

本题主要通过数学问题情境评价学生对递推数列、数列的裂项求和等基础知识与基本技能的了解程度,通过运用化归与转化的思想和裂项相消的方法评价学生的运算求解能力.

4.2.3 2022 年高考新课标全国I 卷第17 题 记Sn为数列{an}的前n项和,已知是公差为的等差数列.

(1)求{an}的通项公式;

从中可以看出,2022 年高考和2023 年高考数列题在这里都可以找到他的原型,只要重视对这些问题的探究,学生就比较容易解决这两年高考的数列题.

5 结束语

我们应依据课程标准、结合高考评价体系实施教学,创设良好的问题情境培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力. 采用启发式、探究式等方式引导学生进行观察、归纳、类比、迁移等活动,让学生获得基本活动体验.重视基本概念、定理的教学. 科学使用教材,充分利用教材中的“探究”、“思考”等栏目引导学生进行思考与探究,挖掘教材、教参等的典型例(习)题并进行适当的改编、变式,提高学生的综合能力. 重视基本概念的理解与掌握, 强化定理、公式、结论的推导,加强通性通法的应用,这样才更有利于让高中数学的教学回归到数学本源,学生的核心素养才能得到更好的发展.