机械臂参数优化数学模型及参数影响分析研究

王开帅，朱玉全

（1.江苏食品药品职业技术学院 基础教学部，江苏 淮安 223003；2.江苏大学计算机科学与通信工程学院，江苏 镇江 212013）

1 引言

随着机器人发展，机器人得到了广泛的应用。为提高农业的自动化水平和减少人力劳动工作强度，学者们将机器人用于农业工程，并进行了深入研究[1]。文献[2]设计一种夹剪苹果采摘机的机械臂，文献[3]设计出了一种枸杞采摘的智能双机械臂结构的采摘机器人，文献[4]基于机器视觉设计了番茄智能采摘机器人，文献[5]设计了葡萄采摘4−DOF机械臂。机械臂是采摘机器人关键组成要素，文献[6]采用SA−PSO算法优化了油茶果采摘机械结构参数；文献[7]采用MATLAB优化工具箱实现了果蔬采摘机械臂的参数优化；文献[8]基于参数化分析方法优化了苹果采摘机器人结构参数；文献[9]基于WORKBENCH实现了对香蕉采摘机械手夹持装置的优化；文献[10]设计了欠驱动机构黄瓜采摘机械臂，并采用二次多项式建立了设计参数与优化目标之间的数学模型，实现了参数的优化。

文献[10]建立的数学模型的精度是实现机构参数优化的关键；代理模型技术是建立设计参数与优化目标之间数学模型的有效办法，常用的代理模型有响应面、KRIGING、RBF等，针对文献[10]中的欠驱动机构的优化问题，提出了一种基于混合蛙跳算法改进的KRIGING代理模型技术来建立设计参数与优化目标之间的数学模型，利用KRIGING模型建立设计参数与滑道摆动角度峰值之间的数学模型。

通过混合蛙跳算法优化传统kriging 模型变异函数的参数，提高建立的数学模型精度，为参数优化和分析提供更加准确的数学模型；最后基于建立的参数优化数学模型，分析了滑块驱动速度、滑轨高度、滑轨倾角单独变化和交叉变化时对滑道摆动角度峰值的影响，为设计的参数选择提供依据。

2 机构运动分析

采摘机械臂主要由切刀、摆动气缸、上层机械臂、直线滑台、下层机械臂、滑轨、滚轮、轴、后连杆、前连杆、护板及滑道等组成[10]；机构的运动矢量图[10]，如图1所示。

图1 采摘机械臂机构矢量图Fig.1 Vector Diagram of Picking Manipulator Mechanism

如图1可知，采摘机械臂主要由5个构件组成，其中活动构件4个，5个运动副均为低副，则其自由度则为：

该机构中原动件的数量S=1，则有F=2 >S=1，机构属于欠驱动机构。根据矢量运算，

为利用复数矢量法进行机构分，将式（2）表达成复数形式则有：

根据欧拉公式，则式（3）则可以表达为：

根据式（6）和式（7），可以得到构件4的滑动位移：

由式（9）可知，构件4的运动由V1，h，l2，τ决定；但h=sinβ=常数，则件4的运动由V1，l2，τ决定。因此V1，l2，τ则作为设计变量。V1，l2，τ的取值范围为：

3 基于混合蛙跳算法改进kriging模型

3.1 KRIGING模型

KRG（克里金）在拟合函数时，将未知函数看成是某个静态随机过程的具体实现，即对于任意位置的x，对应的函数值Y(x)被一个随机函数y(x)代替，而y(x)只是Y(x)的可能结果之一。其插值结果定义为已知样本函数响应值的线性加权，即：

式中：fj(x)—基函数，一般为多项式；

βj—相对应的系数；

Z(x)是一个静态随机过程，其满足均值为0，方差为σ2。

且对于设计空间内不同两点处所对应的随机变量之间的协方差为：

其中，R(xi，xj)—相关性函数，它表示不同位置处随机变量之间的相关性，常用的相关性函数为高斯型函数。为保证Kriging预测值与真实函数值之间的均方根误差（RMSE）最小，可得到Kriging模型的近似表达式：

式中：F—由基函数向量组成的矩阵；

—KRG模型系数的最小二乘估计值；

R—相关性矩阵；

Ns—样本点数。

式中：θ—KRG模型的超参数，它可以通过极大似然估计法求解优化问题来确定：

3.2 基于混合蛙跳算法改进的kriging模型模

Kevin Lanes 和Mustafa Eusuff 于2003 年提出了混合蛙跳算法（SFLA）［11］，它是一种具有较强局部搜索能力全局搜索能力启发式智能算法；这种算法的有效性不倚赖问题，适用于复杂工程问题求解［11−12］。其实现目标优化步骤为：

（1）初始化：包括种群大小F、种群个数m和步长；随机产生包含F只青蛙的群体，并计算每只青蛙的适应度；假设（fx）是一S维函数，在其空间中产生F个体为S纬空间的一个解(i=1，2，…F)。

（2）子种群划分：适应度大小的值对整个蛙群进行排序并分解为m个族群，计算每个解的目标函数值f(xi)(i=1，2，…F)，按照降序将目标函数值进行排列，一个子群中，用xb和xw分别表示目标函数值最好和最差对就有解，xg用来表示目标函数最优值对应的解。

（3）局部搜索：每个族群执行it次局部搜索以更新本族群的最差解（记为xw），在迭代过程中，其更新公式为：

其中，rand（）—（0～1）之间的随机数；Di—青蛙的移动步长，Dmax表示允许青蛙移动的最大距离。

（4）子种群混合：所有族群完成局部搜索后，将所有青蛙混合在一起重新分组，当次迭代结束；

（5）终止条件判断：满足收敛条件则终止，否则重新排序并划分族群，然后继续执行（3）局部搜索。

4 基于改进的kriging模型机械臂摆动优化数学模型

4.1 基于代理模型的欠驱动机构参数分析流程

基于近似模型的建立机械臂摆动优化数学模型和实现参数分析主要包括了确定变量及其水平取值、DOE 实验设计与采样、近似模型建立与误差验证、参数分析等步骤，具体流程，如图2所示。

图2 基于混合蛙跳−kriging模型的欠驱动机构参数分析流程Fig.2 Parameter Analysis Flow of Underactuated Mechanism Based on Shuffled Frog Leaping Algorithm−Kriging Model

4.2 试验设计

对V1，l2，τ三个参数在其取值范围间之，采用均匀试验设计方法进行试验设计，其试验设计结果及响应值（滑道摆动峰峰值），如表1所示。

表1 均匀试验设计及响应结果Tab.1 Uniform Test Design and Response Results

4.3 数值仿真

为验证提出算法的有效性，在MATLAB 数字仿真平台实现了应该算法，并将这里的算法与文献[10]中的多项式回归拟合方法进行对比；这里的算法与文献[10]中的方式的相关系数（R2）均方根误差（RMSE）以及相对最大绝对误差（RMAE）评价指标情况，如表2所示。

表2 优化前后评价指标情况Tab.2 Evaluation Index Before and After Optimization

从表2中可以看出，与文献[10]中的利用多项式回归拟合方法建立的参数优化数学模型相比较，提出的基于SFLA算法改进的kriging算法相关系数R2，相对最大绝对误差（RMAE），最大绝对误差（RMAE）均得到了改进，则说改进的算法的全局近似能力，局部近似能力得到了提高，精度更高。文献[10]和这里算法建立数学模型发后的残差图，如图3、图4所示。

图3 文献[10]的残差图Fig.3 Residual Diagram of Literature[10]

图4 这里提出方法的残差图Fig.4 Residual Diagram of Proposed Method

图中可以看出，基于文献[10]的方法建立的模型其误差在（−5E−3，5E−3）之间，而基于这里算法的建立的模型其误差在（−1E−15，1E−15）之间；且本文算法的误差分布相对比较集中，而文献[10]的误差比较分散；综上所述建立的机械臂滑块驱动速度、滑轨高度、滑轨倾角与滑道摆动角度峰值之间的参数优化数学模型精度更高，误差更小，为参数优化提供更加精确的数学模型。

5 设计参数对滑道摆动角度峰值的影响

在4.2建立的数学模型的基础上，讨论V1，l2，τ三个参数在其取值范围变化时对滑道摆动角度峰值的影响，滑块驱动速度、滑轨高度、滑轨倾角单独变化时对滑道摆动角度峰值的影响，如图5所示。

其中，滑块驱动速度单独变化时对滑道摆动角度峰值的影响，如图5（a）所示。滑轨倾角单独变化时对滑道摆动角度峰值的影响，如图5（b）所示。滑轨高度单独变化时对滑道摆动角度峰值的影响，如图5（c）所示。

从图5可以看出，V1，l2，τ三个参数在其取值范围由小变大的时，滑道摆动角度峰值变化呈现变小再变大的变化趋势，滑轨倾角引起，滑道摆动角度峰值变化幅度最大，其次是驱动速度，变化幅度最小的是滑轨高度。

图5 参数单独变化时对滑道摆动角度峰值的影响Fig.5 Influence of Parameters on the Swing Angle Slide Value

滑块驱动速度、滑轨高度、滑轨倾角交叉变化时对滑道摆动角度峰值影响等高线图，如图6所示。

图6 参数交叉变化时对滑道摆动角度峰值影响等高线图Fig.6 Contour Map of Influence of Parameter Cross Change on the Swing Angle Slide Value

其中，滑块驱动速度−滑轨倾角交叉变化时对滑道摆动角度峰值影响等高线图，如图6（a）所示。滑块驱动速度−滑轨高度交叉变化时对滑道摆动角度峰值影响等高线图，如图6（b）所示。滑轨倾角−滑轨高度交叉变化时对滑道摆动角度峰值影响等高线图，如图6（c）所示。

其次是滑块驱动速度−滑轨倾角交叉变化，引起滑道摆动角度峰值变化小的是滑块驱动速度−滑轨高度交叉变化。等高线的间距越小，则说明滑块驱动速度、滑轨高度、滑轨倾角两两之间具有相互增强作用。

6 结论

针对欠驱动机构运动的不确定性引起的采摘机械臂滑道大幅度摆动现象导致的机构运动不稳定性的问题，为优化机械臂参数，减少滑道摆动角度峰峰值，提出了一种基于代理模型技术来建立设计参数与优化目标之间的数学模型。

同时，提出了一种基于混合蛙跳算法的kriging 模型优化方法，通过混合蛙跳算法优化传统kriging模型变异函数的参数，提高kriging模型的建模精度。

（1）改进后的算法其相关系数（R2），均方根误差（RMSE）以及相对最大绝对误差（RMAE）均得到了不同程度的改良，提高了传统kriging 算法的全局近似能力，减少了局部误差，提升了拟合精度。

（2）与文献[10]相比较，本文所提出的算法具有更高的精度，为实现机械臂参数优化，解决欠驱动机构运动的不确定性引起的采摘机械臂滑道大幅度摆动现象导致的机构运动不稳定性的问题，提供更加精确参数优化数学模型。

（3）滑块驱动速度、滑轨高度、滑轨倾角三个参数在其取值范围由小变大的时，滑道摆动角度峰值变化呈现变小再变大的变化趋势，引起滑道摆动角度峰值变化幅度由大到小的顺序为滑轨倾角、驱动速度、滑轨高度。

（4）交叉变化引起的滑道摆动角度峰值由大到小的顺序为滑轨倾角−滑轨高度、滑块驱动速度−滑轨倾角、滑块驱动速度−滑轨高度。