带有非强制项的非线性抛物问题的重整化解

李姝静，许少鹏

（海南大学 理学院，海南 海口 570228）

在本文中主要研究如下带有非强制项的非线性抛物型方程

其中，f∈L1(Q)，u0∈L1(Ω)，Ω是RN中的一个有界开集并且具有Lipschitz 条件∂Ω，N≥2，Q=Ω×(0，T)（T＞0），Qn=Γn×(0，T)，Qd=Γd×(0，T)，Γn和Γd满足以下条件：Γn∪Γd=∂Ω，Γn∩Γd=∅并且σ(Γd)＞0（σ是边界∂Ω上的N-1 维Lebesgue 测度），向量n是边界∂Ω的外法向量.Φ：Q×R→RN是一个Carathéodory 函数并且满足：对于任意的s，有|Φ(x，t，s)|≤c(x，t)|s|γ，其中c和γ是满足依赖于p和N的条件（见下面条件（6）～（8））.研究问题（1）的动机是在特定情况下的均匀化，其中Ω是一个穿孔域，在有孔的边界上有Neumann条件，在其他的边界上有Dirichlet条件.

重整化解由Diperna and Lions 在20 世纪80 年代后期引入，其目的是解决Boltzmann 方程Cauchy 问题整体解的存在性［1-2］.此方法在流体力学极限中、非线性椭圆方程及抛物方程中都有十分重要的应用.如今，非线性科学、物理学、流体力学、弹性力学和图像处理等学科大量出现的数学模型以及来自于工业问题的数学模型通常归结为一些非线性抛物或椭圆等偏微分方程，其重整化解的存在性、唯一性以及解的结构与性质等方面的研究在理论及实际应用中都具有十分重要的意义.笔者主要证明问题（1）重整化解的存在性，此问题区别于其他一般具有可积数据的问题在于-divΦ(x，t，u)没有强制性.当Φ(x，t，u)=0 时，Boccardo 等证明了Dirichlet 边界的抛物问题弱解的存在性［3］，在L1数据或者p＞2-的有界测度下也得到类似结果［4］.在上述文献中，弱解属于，因此在本文中，1 ＜等价于条件p＞2-众所周知弱解在一般情况下不一定具有存在唯一性［5-6］.为了消除p上的限制条件以及保证稳定性，在文中使用了重整化解的框架.

重整化解的概念是1989 年由Diperna 等首先针对一阶方程引入的［1-2］，在针对具有L1数据［7］的抛物问题和一般具有有界测度数据［8］的椭圆问题中得到了发展，并且发展了适用于L1数据的抛物型方程［9-10］.1995年，Bénilan等［11］提出了熵解的概念，也可用于该类型的抛物方程［12］.2001年，Blanchard等证明了下列具有非强制性低阶项div(Φ(u))的非线性抛物问题的重整化解的存在性［10］，其中Φ(u)具有连续性.

2003年，Boccardo G等考虑了下列问题的有界解和无界解［13］，其中u0∈L1(Ω)，E∈(L2(Q))N.

在更一般的情况，如f和u0是有界测度，在c(x，t)=0的情况下［14］，证明了问题的重整化解的存在性.

2006 年，Ben Cheikh Ali 等考虑了下列带有非强制项的非线性椭圆问题在可积数据下的重整化解的存在唯一性［15］，

其中，f∈L1(Ω)，u0∈L1(Ω)，Γn和Γd满足以下条件：Γn∪Γd=∂Ω，Γn∩Γd=∅并且σ(Γd)＞0（σ是边界∂Ω上的N-1维Lebesgue测度），向量n是边界∂Ω的外法向量.

2010年，Di Nardo考虑了下列方程重整化解的存在性［16］，其中f∈L1(Q)，u0∈L1(Ω)，

2011 年，Di Nardo 等在问题（5）的基础上加了一项具有非强制性低阶项b|∇u|δ，其中δ=b∈LN+2，1(Q)，证明了重整化解的存在性［17］.

近几年来，随着研究的深入重整化解有了新的发展，比如Bourahma 等[18]、Gwiazda 等[19]、Li等[20]在Orlicz空间或Musielak-Orlicz 空间中讨论椭圆问题的重整化解和熵解的存在唯一性方面有新的进展；同样的在Orlicz 空间中对抛物问题重整化解和熵解的研究也有了一定的发展［21-22］；Benboubker 等考虑带有Neumann 条件边界的问题，得到了重整化解的存在性［23］；Grossekemper 等得到了具有双重非线性分数阶Laplace 方程的熵解［24］；Teng 等将带有p-Laplace 算子的方程改为带有分数阶p-Laplace 的演化方程，讨论了其重整化解和熵解的性质［25］；Zhang 等不仅得到了熵解和重整化解的存在唯一性，还讨论了熵解和重整化解的等价性［26］.

在本文中，边界并不是纯Dirichlet 问题，而是同时具有Dirichlet 条件和Neumann 条件的混合边界问题.笔者证明了问题（1）的重整化解的存在性.证明步骤如下：首先，引入一个逼近问题，然后根据文献［26-29］中包含的思想推导出其解的梯度的先验估计，其中关键性技巧是本文中的引理1；其次验证满足重整化解的条件（15）；最后运用泛函分析或者实变函数等方法得到逼近解收敛性，从而得到重整化解的存在性.

1 假设和定义

在上述假设下，因为Φ(x，t，u)∉(Lp′(Q))N，上述问题（1）一般不存在弱解，故再考虑重整化解.

定义高度为k的截断函数为

是Tk(r) 的原函数.很显然上述定义的函数是Lipschitz 连续的，有Tk(u)∈Lp(0，T；∇Tk(u)∈(Lp(Q))N，且|Tk| ≤k，|Tk(r)| ≤|r|，Θk(r)≥0，Θk(r)≤k|r|.

要处理可测函数为截断函数的问题，因此需要回顾非常弱梯度的概念.

定义1对任意的定义在Q上的可测函数u，如果对任意的k＞0，有Tk(u)∈Lp(0，T；W1，pΓd(Ω))，那么存在唯一的可测函数v：Q→RN满足

其中，χE是可测集合E的特征函数，定义v为一个广义梯度并记作v=∇u.若u∈L1(0，T；(Ω))，那么v与u的弱导数相同.

利用非常弱梯度的概念可以给出问题（1）的重整化解的定义.

定义2u是定义在Ω×(0，T)上的一个可测函数，是问题（1）的重整化解，如果满足

对任意的φ∈C1()，且φ(x，T)=0，以及对任意的逐点C1且S′具有紧支集的函数S∈W2，∞(R)，u使得下面等式成立

注 特别地，存在M＞0，使得suppS′∈[-M，M]且

引理1［16］设Ω是RN中的一个开集，且具有有限测度，u是一个可测函数，满足对任意的k＞0，

这里的M是一个正常数，则

其中，C是仅依赖于N和p的常数.

2 主要结论及其证明

定理1若假设式（6）～（10）成立，则问题（1）至少存在一个重整化解.

证明第一步：逼近问题.

首先，处理下面关于问题（1）的逼近方程