畸形波在有限水深中的演化和时频能量研究

罗春莲

（厦门海洋职业技术学院航海学院，福建 厦门 361012）

畸形波是一种具有大波高、能量高度集中的波浪[1]。发生时将严重破坏海洋结构物，严重威胁着人们的生命安全。科学家们开始致力于对畸形波的研究，并取得了丰硕的成果。Mori等人[2]基于YURA港的波浪数据，分析得到畸形波波高与有义波高的最大比值约为2.6；Sand 等人[3]基于北海的波浪数据，分析得到畸形波波高与有效波高的最大比值约为2.9。

现阶段有关有限水深和深水畸形波的规律研究多从B-F 不稳定性出发。Whitham[4]基于B-F 不稳定性推导了守恒型方程，Chu 等人[5]修正了Whitham 方程。Osborne 等人[6]基于三阶非线薛定谔方程研究畸形波，结果表明畸形波是以B-F 不稳定性模式存在的。张运秋[7]改用4 阶NLS 方程，并基于伪谱法，对畸形波进行数值模拟，模拟了更大波陡的畸形波。

上述研究表明，三阶性薛定谔可较好地描述畸形波的演化过程。为更简便地对非线性方程进行研究，避免使用理论方法研究非线性方程的困难性[8]。本文主要通过数值求解NLS 方程，探讨了畸形波生成前后的演化过程，揭示了畸形波的演化规律及频率规律。

1 NLS 方程

作为本文研究的理论背景，对三阶非线性薛定谔方程的推导作阐述[9]。连续性条件：

动力学边界条件：

运动学边界条件：

水底边界条件：

有限水深条件，式（4）转化为以下形式：

方程（4）和（5）依据泰勒级数展开，展开到三阶。

引入尺度变量：

φ和η以ε的展开为：

多尺度展开如下：

将式（9）、（10）和（11）代入式（1）、（2）、（3）和（4）中，推导得式（12）和（13）。

其中，∣A∣为复波包，φ10为平均流势。

当∂/∂y1=0 时，可得如下三阶非线性薛定谔方程（NLSE）：

本文采用伪谱方法求解NLS 方程，其中，伪谱法隐含了周期为2π的空域，周期性条件如下：

A(t,x)的傅里叶变换及逆变换（0＜t＜2π）如下所示：

2 呼吸子解畸形波演化的数值模拟

基于呼吸子解畸形波[1（0]式24），对NLSE数值求解，研究畸形波在有限水深的演化过程。

其中，td表示无因次时间。

图1 畸形波的复波包绝对值

图1 给出了2 种算例下畸形波复波包绝对值在不同时刻的演化过程。研究表明：在有限水深下，畸形波生成时，波高瞬间增大；畸形波消失时，波高瞬间减小，生成和消失具有快速性；算例1中，初始波幅为0.1时，最大波幅约为0.3，算例2 中，初始波幅为0.3 时，最大波高约为0.9，2 个算例皆表面畸形波生成时刻，最大波幅约为平均波幅的3 倍，这也与其他学者研究的相对应。

3 畸形波的时频能量研究

基于上述2 种算例的数值模拟，结合小波变化，进一步研究畸形波从生成到消失过程中，开始位置（x1=-100），聚焦位置（x2=0），消散位置（x3=100）的能量和频率变化。

算例1 与算例2 的能量特征分析表明：畸形波生成前（x1=-100），能量较小，畸形波生成处（x2=0），能量增大，畸形波消失处（x3=100），能量减小；算例2 的初始波幅是算例1 的3 倍，而算例2 谱峰度最大值是算例1 的7 倍，这表明初始波幅越大，畸形波生成时的能量越大。

同时，算例1 与算例2 的时频特征分析表明：畸形波生成前（x1=-100）、畸形波生成处（x2=0）和畸形波消失处（x3=100），波浪能量始终集中在f=0.5Hz 处，频率无变化。

4 结语

1.本文基于伪谱法，通过傅里叶变换和逆变换，将非线性NLS 方程简化为离散化的常微分方程组，实现方程的求解，并进一步研究呼吸子解畸形波在有限水深中的演化规律和时频能量特征。

2.研究表明：在有限水深下，畸形波生成时，波高瞬间增大；畸形波消失时，波高瞬间减小，生成和消失具有快速性；畸形波生成时刻，最大波幅约为平均波幅的3 倍，时频能量谱显示能量集中程度随波高的增大而增大，畸形波消失时，能量集中程度随波高的减小而减小，但波浪能量始终集中在f=0.5Hz 处，频率无变化。