用旋转引力场分辨中微子的费米子类型

郭家明 ,薛 迅

（1.新疆大学 物理科学与技术学院,乌鲁木齐 830046;2.新疆大学 理论物理中心,乌鲁木齐 830046;3.华东师范大学 物理与电子科学学院,上海 200241;4.华东师范大学重庆研究院,重庆 401120）

0 引言

中微子振荡现象的发现确立了中微子具有质量这一物理学界共识.费米子的质量从运动学上可以分为两种: Dirac 型质量和Majorana 型质量.它们分别对应两种费米子的类型: Dirac 费米子和Majorana 费米子.Majorana[1]在1937 年指出,电中性的自旋 1/2 粒子可用实值波函数描述,其反粒子就是其自身.中微子发现后不久,其就被认为有可能是Majorana 粒子[2].由于无中微子的双β衰变是中微子为Majorana 粒子的特征,寻找无中微子双β衰变的事例就成了甄别中微子费米子类型的首选手段.然而至今为止尚未发现这样的事例,也无法否定其存在[3].中微子质量属于哪一种,即中微子是哪一种费米子,目前从实验和理论这两方面都无法回答.而确定中微子的费米子类型对于解决中微子质量等级问题和确定中微子的质量等级至关重要,也是对中微子质量的“跷跷板”(see-saw) 机制的检验.

20 世纪90 年代开始,出现了用费米子对引力场的响应来分辨Dirac 费米子和Majorana 费米子的研究[4-8].2006 年Singh 等[6]提出设想: 旋转引力源的Lense-Thirring 效应会拖曳参考系标架场旋转,其Dirac 费米子和Majorana 费米子的自旋翻转矩阵元的空间依赖不同,能够区分中微子类型[6].此研究发布之后,很快就有学者指出: 基于一次量子化波函数来处理Majorana 粒子是有问题的,满足电荷共轭变换不变的波函数不可能是自由粒子波函数;Singh 等人讨论的波包[9]在天文尺度下的传播由于波包弥散其意义是不明确的.由于电荷共轭不变的波函数不是确定能动量本征态的自由粒子态,Majorana 粒子在一次量子化框架内无法自洽描述,处理Majorana 粒子必须考虑到电荷共轭不变性,只有在二次量子化框架内才能得到自洽的处理.

文献[10]分别计算了自由Dirac 费米子和Majorana 费米子在渐近平直的Schwarzschild时空中的量子散射.其结果显示,Schwarzschild 时空下Dirac 费米子和Majorana 费米子的散射振幅和散射截面都相同,证明了Schwarzschild 时空中的散射无法区分两种费米子.除此之外,该文在最后还给出了挠率对两种费米子散射矩阵元的影响,其中,Majorana 费米子由于其电荷共轭不变性,挠率的矢量部分不会对Majorana 费米子散射产生影响,只有轴矢挠率会影响Majorana 费米子的散射,而Dirac 费米子会同时受到矢量挠率和轴矢挠率的影响.

广义相对论是无挠的引力理论,时空为确定度规的黎曼流形(Riemann manifold),引力表现为时空的弯曲,时空联络为完全由度规确定的Levi-Civita 联络.但是关于有挠引力的探讨自广义相对论提出后从来没有停止过,理论上关于挠率在引力理论中的角色有两种观点: 一种是将Riemann 时空推广为带挠率的时空,挠率和度规是相互独立的自由度,即黎曼-嘉当(Riemann-Cartan) 时空来描述引力;另一种观点认为挠率提供了引力区别于时空曲率的另一种等价描述[11-12],比如绝对平行引力中,时空曲率为0,引力用挠率描述.而文献[10]中关于挠率对Majorana 费米子和Dirac 费米子的散射矩阵和散射截面的影响对于以上两种观点同样成立,但是对于将挠率认为是引力等效描述的第二种观点,上述结果意味着矢量挠率对应的引力场对费米子的散射可以区分Dirac 费米子和Majorana 费米子,这就为用中微子的引力量子散射效应来区分中微子的费米子类型提供了理论基础.

本文在文献[10]的基础上,将无挠的自旋联络分解为两部分,分别计算了Dirac 费米子和Majorana 费米子对这两个部分的散射振幅,发现由于Majorana 费米子的电荷共轭对称性,自旋联络的其中一部分对Majorana 费米子的散射振幅没有贡献,而对Dirac 费米子的散射振幅有贡献.之后,本文在旋转引力源的Kerr 时空中实际计算了Dirac 费米子和Majorana 费米子的散射振幅,最终发现度规下Majorana 费米子和Dirac 费米子的散射振幅并不相同,而不同的散射振幅可能预示了不同的散射截面,从而预示了Majorana 费米子和Dirac 费米子可能存在的轨迹的区别;并且当引力源的角动量为0 时,Kerr 时空退化为Schwarzschild 时空,同时散射振幅也会回到Schwarzschild 时空时的情况,这与前人的结果一致.

1 Schwarzschild 度规时空对费米子的散射

这里简要介绍Lai 等[10]用二次量子化的框架研究的自由Dirac 费米子和Majorana 费米子在渐近平直Schwarzschild 时空中的量子散射.在弯曲时空背景中,费米子拉格朗日密度(L) 为

其中,Γµab为洛伦兹(Lorentz)联络,Sab为Lorentz 生成元的旋量表示,即

本文中,希腊字母上/下标代表时空坐标的指标,拉丁字母上/下标代表局域平直坐标系指标,都取0,1,2,3.

在Riemann-Cartan 空间中是弯曲时空背景对费米子作用导致的相互作用量.记初态|i〉的粒子动量为自旋为r;末态|f〉的粒子动量为自旋为s.则|i〉→|f〉的跃迁振幅为

其中S为散射矩阵.

对于无挠率的Riemann 时空,使用Dirac 场算符的二次量子化形式

和Majorana 费米子

可以分别得到在引力场中的散射振幅最低阶

其中q=k＇-k为转移四动量,以及

对Schwarzschild 引力场,取各向同性广义坐标,度规形式为

取弱场一阶近似

其中φ(r)=-GM/r.对Dirac 粒子和Majorana 粒子皆有

对具有Schwarzschild 度规的Riemann-Cartan 时空,该时空对Dirac 费米子的散射振幅为

挠率的矢量部分会贡献一个矢量流耦合,而轴矢量部分会贡献一个轴矢量流耦合.同样地,可以写出Majorana 费米子的散射振幅

矢量挠率部分不会出现在Majorana 费米子的散射振幅中,只有轴矢挠率部分会对Majorana 费米子散射振幅有贡献[10].

2 Kerr 引力场对费米子的散射

2.1 一般引力场中的费米子散射

文献[10]对挠率的分析采用了挠率对Lorentz 群不可约表示的分解,将挠率分解为矢量部分和轴矢部分;又由于Majorana 旋量的电荷共轭性质,导致挠率的矢量部分在散射振幅中没有贡献.本文发现如对无挠的自旋联络进行类似的分解,则Majorana 费米子和Dirac 费米子在无挠引力中的散射振幅的形式也会有区别.

采用四标架场,在弱引力背景中,费米子作用量为

式(21)中:Sbc是旋量表示下的Lorentz 生成元,即

将其代回Majorana 费米子的散射矩阵(式(33)),可得

显然,一般度规场对Dirac 粒子和Majorana 粒子的散射振幅是有差别的,这个差别在某些特殊的度规时会给出0 的结果,如文献[10]中的Schwarzschild 度规场情形.但一般而言,可以期望对称性较低的度规场对于Dirac 粒子和Majorana 粒子的散射不同,并且由式(36),这种散射行为的差别是自旋极化依赖的,尤其是Dirac 粒子和Majorana 粒子自旋翻转散射矩阵元的一般形式完全不同,可以据此计算其在具体度规场中的空间依赖形式的差别,作为引力场散射鉴别费米子类型的依据.

2.2 Kerr 时空对两种费米子的散射振幅

Kerr 度规是由带角动量的旋转引力源产生的引力场度规,在宇宙空间较具普适性,小到天体,大至星系,且星系团等其远离源处的时空都可以近似用Kerr 度规描述.具体讨论Kerr 度规时空对Majorana 费米子和Dirac 费米子的散射振幅,对于用引力散射分辨费米子类型的研究具有特别的意义.

取具有轴对称的广义坐标,Kerr 度规可以写成

式(38)—(44)中:G为引力常量,M为引力源质量,a为单位质量的角动量.相应的Kerr 渐近Minkowski 四标架场为

将此四标架场远场近似形式代入Dirac 费米子的散射振幅(式(32)) 和Majorana 费米子的散射振幅(式(35)) 中,第一项为

对式(53)的第一项分部积分,由散射前后能量守恒,k0=0,得到

这里利用了平面波旋量波函数满足的方程

因此,积分的结果为(具体的过程参见附录A)

对式(57)积分,积分过程参见附录A,结果为

进而得到Kerr 度规的引力场对Dirac 费米子与对Majorana 费米子的散射振幅的差别

显然Kerr 引力源的角动量a=0 时,Kerr 度规退化为Schwarzschild 度规,对费米子的散射振幅也会退化到Schwarzschild 度规对费米子的散射振幅,MD-MM退化为0.

本文得到的两种旋量的散射振幅的差别,预示了两种粒子在引力场中的散射截面的差别,从而预示了在引力背景中传播的Majorana 费米子和Dirac 费米子可能存在的轨迹的差别.同时,注意到两种费米子散射振幅的差别正比于(GMa)2,因此质量和角动量很大的天体作为场源产生的引力场对两种费米子的散射有可能可以用来区分费米子类型.

3 结论和展望

本文在前人工作的基础上,得到了Majorana 费米子和Dirac 费米子在引力场中的散射振幅的形式上的区别.之后应用Kerr 度规进行的计算验证了这种形式上的区别会在特定的引力场中对Dirac 费米子和Majorana 费米子的散射振幅中体现出来,并且如果取引力源的角动量为0,则结果会回到Schwarzschild 时空的结果中.

在本文基础上,还有一些问题可以进一步讨论.本文讨论了引力源不带电只有角动量的Kerr 度规的散射振幅,还可以进一步讨论引力源带电情况会对散射振幅和散射截面的影响,还可以更进一步讨论其他度规下的散射振幅和截面.同时,本文证明了Kerr 度规背景下Dirac 费米子和Majorana 费米子的散射振幅会有不同,而粒子在引力中的传播可以看作粒子在传播过程中不断被引力场散射的过程,散射振幅的不同就有机会体现在粒子在引力场中的运动轨迹上,从而为通过引力场区分中微子的费米子类型提供了一种可能的方法.

附录A

式(54)为

式(A1) 的第一项可以写为

式(A2)第一项的积分为

式(A2)第二项积分为

将式(A3)、式(A4)代入式(A2),可得

同理可得式(A1)的其他几项积分,最终可得散射振幅为

同理可得式(58)的第二项为

式(58)的第三项、第四项的积分为

于是,式(58)积分的结果是