理想气体压强公式推导方法的优化

方德龙

南京工程学院数理学院 江苏南京 211167

在大学物理教学内容中，气体动理论第一次将研究对象的数量拓展到无法穷尽的地步。虽然每一个粒子的运动几乎随机而不可预测，但是庞大的粒子体系却呈现出明显的统计规律性。合理地利用统计规律是掌握气体动理论的关键。理想气体压强公式是气体动理论的一个基本方程[1-4]，它建立了宏观量和微观量之间的连接。其推导过程是一次牛顿力学与统计规律的结合，通过压强公式的推导可以加强统计概念、统计规律的学习，深入认识压强的实质，并有利于同学们从机械世界观过渡到概率的世界观。

理想气体压强公式的推导并不是一个新鲜的问题，很多学者都做了研究和拓展。有的把长方体容器拓展到其他形状[5]，有的考虑了气体分子的速率分布律[6-7]，有的通过添加假设做了简化推导[1，8-10]。笔者在工科物理教学过程中发现，即便是对于教材中常规的推导方法，很多同学掌握起来也有困难。众所周知，理想气体压强公式的推导过程中涉及的算式并不多，之所以还需要作简化推导，是因为文字描述比较多，很容易缺乏逻辑连贯性以及产生理解上的偏差。因此笔者通过吸取同学们反馈的意见，针对同学们的理解困难点，重新梳理并优化了教材中的推导方法，以及提出图解法，以期能够让同学们更容易掌握理想气体压强公式的推导方法，并更直观地感受大量粒子的统计规律。

1 问题描述和难点分析

假设有一边长分别为lx、ly和lz的长方形容器，其中含有N个同类理想气体分子，每个分子的质量均为m。以器壁A1为例，求在平衡状态时，气体对A1面的压强。

图1 理想气体压强公式的推导

以任意一个气体分子i为研究对象，其x轴方向上的速度分量为vix，在与A1壁的一次完全弹性碰撞前后，其动量改变了2mvix，则根据动量定理有：

(1)

以上内容是同学们易于理解的，但接下来伴随着冲量和平均作用力的引入，很多同学产生了理解上的困惑。为此，文章首先重温一遍冲量和平均作用力的概念。

2 冲量和平均作用力

(2)

这是很多教材引入平均作用力的方式，其中Δt一般取为碰撞前后的时间差，此时对应的平均冲力同学们很容易理解其物理意义。但是一旦把Δt拓宽到碰撞时间以外，同学们就会困惑：两个物体都没有接触，这样求出来的平均作用力有什么物理意义？凭什么还可以依照这个公式求？为此，作者认为有必要重新回顾一下平均作用力的概念。数学上，函数f在区间(a，b)的平均值被定义为：

(3)

应用到力F在时间区间(t1，t2)上的平均值即为：

(4)

3 通过平均作用力求解

在理想气体模型中，单个分子与容器壁的碰撞可以认为是周期性的。我们要求的应是长期的平均作用力，因此平均区间就应该选取周期的整数倍，最简单地，选择一个周期：

(5)

(6)

联立(5)、(6)式得出：

(7)

以上是以一个周期为研究对象，而周期不仅仅是微观上的一个时间段，还是描述整个事件的一个系统参数，与之对应的另一个系统参数是频率，它描述单位时间碰撞的次数。因此我们还可以以单位时间为研究对象，此时(5)式变为：

(8)

也就是说单位时间内的冲量大小就等于平均作用力，那么应该选择哪一段单位时间为研究对象呢？微观上，室温下的气体分子的平均运动速率约为每秒几百米，在一个长一米的容器内，理想气体分子一秒钟其实已经与容器壁碰撞了上百次。所以任意选取一段单位时间，其碰撞次数是差别不大的。但是仅认识到这一点还不够，更应该认识到我们要求的是长期的平均作用力。因此单位时间的碰撞次数不应该是任意选取的，而应该是长期的统计平均值，实际上就是整个事件的频率。一次碰撞产生的冲量为2mvix，所以平均作用力为：

(9)

两种方法求出的平均作用力显然是一样的，所有气体分子的总平均作用力为：

(10)

由于A1壁的面积为lylz，所以气体的压强为：

(11)

对大量气体分子而言，热运动在每个方向上是均一的，因此有

(12)

所以

(13)

这就是理想气体压强公式，它是气体动理论的基本公式之一。压强公式把压强这个宏观量与分子运动速率这个微观量联系起来，从而揭示了压强的微观本质和统计意义。

4 通过图解法求解

图2 图解法求解压强

下面我们继续从图2出发求解合力F。合力F也就是把所有的Fi-t曲线与横轴包围的面积求和后再铺满横轴得到的纵轴值，为此我们可以先把每一个Fi-t曲线与横轴包围的面积铺满横轴，再将对应的纵轴值相加。对于任意一个Fi-t曲线与横轴包围的面积我们可以如图3所示铺满横轴，单次碰撞过程的Fi-t曲线与横轴包围的面积刚好就是一次碰撞所产生的冲量。由此可见每次碰撞的F-t曲线形状并不重要，在动量定理的约束之下，它与横轴包围的面积不会变，那么对结果就没有影响。将该部分面积平铺在一个周期里对应的纵轴值显然为：

(14)

图3 Fi-t曲线与横轴包围的面积铺满横轴

结语

两种方法各有优劣，图解法较为直观，但思路不够简洁；常规方法中以一个周期为研究对象较以单位时间为研究对象更直观一些，它们都较大程度地依赖于同学们对动量定理中平均作用力以及长期平均作用力的理解。笔者在工科教学实践中发现，如果直接介绍以单位时间为研究对象的常规方法，很多同学难以接受。如果在介绍常规方法之前，先重温一遍冲量和平均作用力的概念，必要时辅以图解法，效果会好很多。最后要说明的是，图解法虽然没有提及平均作用力，但其求解过程其实已经反映了平均作用力的思想。对于物理相关专业学生来说，掌握更抽象、更凝练的常规方法还是有必要的，图解法可以作为理解长期平均作用力和大量粒子统计规律的辅助工具。