研磨经典问题，寻根拓展提升——以一道数学质检试题为例

卢燕霞

福建省龙岩市教育科学研究院 (364000)

1 试题析解

(龙岩市2022年高三3月质检第20题)记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a，b，c是三个连续的正整数，且a

(1)求a；

分析：本题意图考查解三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，以及三角变换公式等，考查分类讨论思想、函数与方程思想和转化思想，考查逻辑推理、数学运算、数据分析和数学建模等核心素养.本题的亮点在于已知条件“C=2A”，呈现内容丰富，表现在角的动态变化过程，与正、余弦定理有关，也与二倍角公式有关，还与平几知识有关联；第(2)问的“顺时针旋转”也生动刻画了角的旋转，与角的定义产生联系，形成新角，自然地与三角恒等变换有关联.

图1

(i)如图1，sin∠CAD=

图2

2 题根检索

高考题的题根，或源于教材，或源于历年真题，或源于数学名题等，从中进行改编、整合.关注试题中的题干“三个连续的正整数”、“C=2A”，可以发现该题源于往年高考试题的加工与整合，在教材中也有背景.

高考题根1 (2021年新高考全国Ⅱ第18题)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b=a+1，c=a+2.

(1)若2sinC=3sinA，求△ABC的面积；

(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

高考题根2 (2014年安徽高考理科第16题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B.

(1)求a的值；

教材题根:(必修5第25页复习参考题B组第3题)研究一下，一个三角形能否具有以下两个性质：(1)三边是连续的三个自然数；(2)最大角是最小角的2倍.

3 拓展研磨

在研磨中，解题是师生努力的共同方向，但经典试题隐藏的价值才是真正的宝库，其中包含了解题思想、数学方法和学科核心素养等育人价值.本文试题中出现的“倍角”，其实也隐藏着一个结论，在往年高考题中频频出现，含金量高，其证明过程涉及丰富的数学思想，极大整合了解三角形部分的知识与方法，具有重要的解题指导意义.

结论在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且A=2B，求证：a2-b2=bc.

分析：本题关键点是由角的关系转化为边的关系，正弦定理、余弦定理、射影定理和三角函数的定义都具备边角的转化关系；由A=2B可知a>b，角A可能是锐角，也可能是钝角.

证法1：(平几法)巧作辅助线，利用三角形相似得到比值相等获证.

图3

证法5：(定义法)利用三角函数的定义、点的坐标、二倍角公式推理获证.建系往往有简化计算量的功效，具有简洁、优美的特点，因而通过建系写出各顶点坐标，再建立等量关系，化简表达式，得到命题的结论.

图4

说明：本法实质是利用三角函数的定义；此证法是借助点坐标的不同表达，但它们是等量关系；证明过程中的bcosA=c-acosB的本质是射影定理.

4 拓展应用

倍角关系在解三角形中属于特殊情形，但在高考题中也屡见不鲜，受到命题者的青睐.在解题中若能熟练运用上述结论，就能快速求解有关的边、角问题，准确得到答案(选择、填空题中尤为明显)，这里列举若干题，供大家参考.

真题2 (2012年天津高考理科第6题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知8b=5c，C=2B，则cosC=( ).

说明：不仅在三角形中的倍角关系，在圆锥曲线中也有“倍角”关系，而且隐藏了动点的轨迹问题，能通过倍角得到轨迹是双曲线.

此外，2008年四川高考卷文科第7题、2009年湖南高考卷文科第14题、2013年北京高考卷理科第15题等都属于同类型，请读者查阅研究.

探究已知两定点的坐标分别为A(-1,0)，B(2,0)，动点M满足条件∠MBA=2∠MAB，求动点M的轨迹方程.

高考真题、高质量的模拟题是最好的训练题，是最佳的研磨素材.认真研究经典试题，有利于发现高考命题特点和命题趋势，从中总结规律，探寻解题技巧，研究隐含的思想方法，挖掘相关的变式拓展，便于回归教材，明确考试和复习的方向，更好地驾驭课堂，真正落实“考什么”、“怎么考”、“怎么解”、“为什么这样解”，对培养学生分析问题、解决问题的能力，培养探究意识和批判性思维，培养学科核心素养，提升教育教学质量，都有重要的现实意义.