电液主动悬架灵敏度分析与自适应跟踪控制

陈 浩 巩明德 赵丁选 张 伟 张 悦 郝春友

1.燕山大学机械工程学院，秦皇岛，0660042.河北省特种运载装备重点实验室，秦皇岛，066004

0 引言

应急救援车辆载重量大，多行驶于非结构路面。悬架系统能够缓冲由不平路面传给车架或车身的冲击载荷，保证车辆的行驶平顺性和操纵稳定性[1-2]，常用悬架包括被动悬架、半主动悬架和主动悬架[3-4]。相比于被动悬架和半主动悬架，主动悬架可根据车辆当前的行驶路况和车身姿态主动地作出相应调整，从而改善车辆的行驶平顺性和稳定性[5]。

主动悬架系统有空气主动悬架、电磁主动悬架和电液主动悬架等[6]，由于应急救援车辆载重量大，因此多采用功重比高、承载能力强的电液主动悬架[7]。相对于小型乘用车应用的电磁主动悬架，液压驱动系统的引入，带来了强非线性、参数时变等液压系统共性问题，加之作用于悬挂单元的载荷谱复杂多变，增大了各悬挂单元的控制难度，因此，只有掌握影响悬挂液压驱动单元控制特性的关键时变参数，才能有针对性地进行相应补偿控制，以提高悬架单元力伺服控制的响应速度与精准性，进而保障由多个悬挂单元组成的整车主动悬挂系统的性能。

灵敏度分析能够定量研究系统参数对系统性能的影响程度[8-10]。FARASAT等[11]建立了电液位置控制系统的四阶线性数学模型，分析了17个参数的一阶轨迹灵敏度结果；KONG等[12]搭建了液压驱动单元五阶线性位置控制模型，使用一阶轨迹灵敏度分析了14个参数对控制性能的影响程度；KONG等[13]利用二阶轨迹灵敏度分析方法研究了液压驱动单元位置控制系统中14个参数对系统输出的影响程度。上述研究成果均针对位置控制进行灵敏度分析，而电液主动悬挂单元为输出力控制，降低了以上灵敏度分析结论的参考价值。

主动悬架的控制策略研究主要有最优控制[14]、模糊控制[15-16]、神经网络控制[17-18]等。文献[14]建立了一个时域最优控制模型，将道路干扰和驾驶员输入结合起来，实现主动悬架系统的最优控制；文献[17]提出了一种用于主动悬架系统的神经网络控制方法，实现对随机道路轮廓的较好跟踪性能。上述研究成果均用于小型乘用车主动悬架系统，而应急救援车辆载重量大、行驶路面崎岖，系统参数复杂耦合变化，对电液主动悬架单元的响应速度和控制精度要求更高。

本文首先建立电液主动悬架作动器力控系统数学模型；其次建立系统的轨迹灵敏度方程，并给出其力阶跃响应对应各主要参数的灵敏度；再次，针对电液主动悬架负载质量大的特点，结合灵敏度分析结果，设计自适应控制器，提高电液主动悬架的力控制精度；最后，通过实验对自适应控制效果进行验证。

1 电液主动悬架系统数学建模

电液主动悬架作动器模型如图1所示，应急救援车辆行驶路面崎岖，外负载力FL具有随机、时变、非线性的特点。当活塞向上运动时，作动器运动为正，阀芯位移为正。

图1 液压作动器模型Fig.1 Model of hydraulic actuator

当活塞向上移动时，滑阀节流口的流量为

(1)

(2)

式中，xv为伺服阀阀芯位移量；w为阀芯口面积梯度；Cd为液压流量系数；ps为系统供油压力；p0为系统回油压力；p1为作动器无杆腔的压力；p2为作动器有杆腔的压力；ρ为系统油液密度。

根据流量连续性方程，作动器无杆腔和有杆腔的流量为

(3)

(4)

式中，Cic、Cec分别为作动器内外泄漏系数；βe为液压油的等效体积弹性模量；V1为无杆腔体积；V2为有杆腔体积。

负载流量方程为

(5)

负载流量方程的另一表达形式为

QL=Kqxv-KcpL

(6)

式中，Kq为流量增益；Kc为流量压力系数；μ为液体的绝对黏度；rc为阀芯与阀套之间的径向间隙。

作动器活塞的受力方程为

(7)

式中，F为作动器驱动力；mt为折算到活塞杆的总质量；A2为有杆腔面积；Bp为负载的黏性阻尼系数；K为负载的弹簧刚度。

将式(5)～式(7)进行拉普拉斯变换后可得

(8)

F(s)=pLA1(s)=mts2xp(s)+Bpsxp(s)+

Kxp(s)+FL

(9)

QL(s)=Kqxv(s)-KcpL(s)

(10)

由式(8)～式(10)可求得xv>0时的作动器输出驱动力：

F(s)=

(11)

同理，可求得xv<0时的作动器输出驱动力：

F(1)(s)=

(12)

将伺服阀简化为二阶振荡环节，其传递函数形式如下：

(13)

式中，Ka为伺服阀控制电路增益；Ks为伺服阀的流量增益；ωsv为伺服阀的相频宽；ζsv为伺服阀的阻尼比。

2 电液主动悬架系统灵敏度仿真分析

高阶灵敏度模型计算十分复杂，因此本文选用常用且精度较好的一阶轨迹灵敏度模型进行电液主动悬架作动器的灵敏度分析。

2.1 作动器力伺服系统灵敏度方程建立

系统状态方程基本形式为

(14)

式中，x为m维状态矢量；u为与b无关的n维输入向量；b为r维参数矢量；t为时间。

伺服阀流量方程为

(15)

式中，Ur为控制指令；F为输出力；KF为力传感器系数；P为比例系数；I为积分系数；D为微分系数。

系统输出的力方程为

(16)

式中，Ap为活塞有效面积；Vt为液压缸的等效容积；Kce为总流量压力系数。

将式(15)和式(16)进行拉普拉斯变换得

(17)

(18)

式中，ur、q、f分别为Ur、Q和F经过拉普拉斯变换后对应的变量。

x=(x1，x2，x3，x4，x5，x6)T

b=(b1，b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8，b9，b10，b11，b12，

b13，b14，b15，b16)T

u=(u)T

由式(15)～式(18)得

求状态方程式(14)对状态矢量x的偏导数，可得系数项为

b13b16))T

求状态方程式(14)对参数矢量b的偏导数，可得自由项为

b3b4x4-b4b6x6)b1b7b8b9，0，0，0)T

2.2 灵敏度函数时间变化曲线与灵敏度分析

利用MATLAB求解灵敏度方程，输入60 kN的阶跃信号，在各参数变化10%的情况下，利用四阶/五阶龙格-库塔法，分析输出力x4对参数bi的灵敏度。灵敏度函数γi随时间变化曲线如图2所示。

图2 灵敏度函数时间变化曲线Fig.2 Time variation curve of sensitivity function

为了进一步表征参数变量bi对作动器系统输出力的影响，定义一种百分比灵敏度指标。

灵敏度矢量Δb的变化会引起其相关状态矢量Δx的改变，代入式(14)，进行泰勒展开：

高阶项

(19)

本文采用状态矢量变化Δx相对其力阶跃量的稳态值xs的百分比来表征各参数变化对状态矢量的影响程度。忽略式(19)中的高阶项，百分比灵敏度指标为

(20)

其中，γi由图2确定。各参数变化10%的情况下，力阶跃响应x4的百分比灵敏度指标最大值如图3所示。

图3 百分比灵敏度指标柱形图Fig.3 Percentage sensitivity index bar chart

由图2和图3可知，当输出力趋于稳态值时，伺服阀固有频率b1、伺服阀阻尼比b2、积分系数b3、力传感器系数b4、比例系数b5、微分系数b6、伺服放大器增益b7、伺服阀流量增益b8、作动器有效容积b12、折算到活塞缸的质量b13、黏性阻尼系数b14、负载刚度b15的轨迹灵敏度函数趋于0，且百分比灵敏度指标均低于4%，上述各参数改变时对力的稳态特性影响较小；流量增益b9、有效体积弹性模量b10、作动器有效面积b11和总流量压力系数b16的轨迹灵敏度函数不趋于0，且百分比灵敏度指标均高于6%，上述4个参数的变化直接影响系统的动态特性，这为电液主动悬架作动器的输出力控制提供理论依据。

3 电液主动悬架单元自适应控制

应急救援车辆行驶路面崎岖，电液主动悬架的输出力要适应不断变化的外负载。由于液压油和作动器结构一经确定，有效体积弹性模量βe和作动器有效面积AP不易改变，因此本节考虑流量增益Kq和总流量压力增益Kce设计模型参考自适应控制器(model reference adaptive control，MRAC)，提高电液主动悬架的力控制精度。

3.1 参考模型的建立

根据灵敏度分析结果，考虑流量增益和总流量压力增益选取最优系数值b2m、b1m和b0m，伺服阀控缸参考模型传递函数如下：

(21)

式中，Fm为参考模型输出力；Xvm为参考模型阀芯位移；a3m、a2m、a1m和a0m为参考模型的系统参数。

3.2 作动器自适应控制器的设计

为满足模型参考自适应控制的要求，建立阀控非对称作动器的模型如下：

(22)

式中，当i=0时，xv>0，作用腔为无杆腔；当i=1时，xv<0，作用腔为有杆腔；Kh为液压弹簧刚度。

由自适应控制理论，被控对象动态微分方程与模型参考动态微分方程为

(23)

A(p)=a3ip3+a2ip2+a1ip+a0i

B(p)=b2ip2+b1ip+b0i

Am(p)=a3mp3+a2mp2+a1mp+a0m

Bm(p)=b2mp2+b1mp+b0m

b=1

由式(21)和式(22)可知m=2，n=3。由自适应控制理论制定二阶标准多项式H(p)=p2+h1p+h0。

因此，主动悬架单元自适应控制模型如图4所示，Γ为对角正定矩阵。

图4 主动悬架单元自适应控制模型Fig.4 Adaptive control model of active suspension unit

3.3 仿真分析

本文研究的电液主动悬架单元安装于三轴应急救援车主动悬架系统中，电液主动悬架单元的跟踪响应速度以及控制精度直接影响整车主动悬架系统的性能，因此本文聚焦电液主动悬架单元，研究模型参考自适应控制效果。

三轴应急救援车质量为36 000 kg，各悬架单元承载约为60 kN，因此采用幅值为60 kN的阶跃信号和频率0.5 Hz、幅值60 kN的方波信号作为仿真输入信号，如图5和图6所示。

(a)输出力 (b)输出力误差图5 阶跃信号输出力与误差Fig.5 Output force and error of step signal

(a)输出力 (b)输出力误差图6 方波信号输出力与误差Fig.6 Output force and error of square wave signal

由图5可知，电液主动悬挂单元在阶跃信号下，PID控制在0.14 s产生了32%的超调量，在0.8 s达到稳定状态；MRAC控制超调量更小，且在0.2 s达到稳定状态，输出力误差更小。由图6可知，在方波信号下，PID控制在1.1 s出现超调，在1.56 s达到稳态，MRAC控制不仅超调量小，且在1.2 s达到稳态，输出力误差也更小。

由于应急救援车辆载重量大、行驶路面崎岖，因此要求电液主动悬架单元能够快速响应且控制精准。由仿真结果可知，本文设计的模型参考自适应控制能够更好地满足整车主动悬架系统的要求，更好地实现各种先进控制算法。

4 实验

悬架作动器实验台如图7所示。主动悬架作动器实验台分为作动台架部分和泵站部分。作动台架包括配重箱、力传感器、悬架作动器和框架等，泵站包括电液伺服阀、油压传感器、液压泵、液压油箱和蓄能器等。实验台参数如表1所示。

(a)作动台架部分 (b)泵站部分图7 主动悬架作动器实验台Fig.7 Active suspension actuator test platform

表1 实验台参数

为进一步验证MRAC控制的有效性，选用四种工况条件对电液主动悬架作动器进行实验，工况一为幅值60 kN的阶跃响应；工况二为幅值60 kN、周期2 s的方波响应；工况三为幅值60 kN、频率0.5 Hz的正弦响应；工况四为幅值60 kN、频率1 Hz的正弦响应。实验输出力结果如图8、图10、图12和图14所示，输出力跟踪误差结果如图9、图11、图13和图15所示。

图8 阶跃响应输出力曲线Fig.8 Output force curve of step response

图9 阶跃响应跟踪误差Fig.9 Tracking error of step response

由图8、图10、图12和图14可知，在各工况下，相比于PID控制，MRAC的响应更快，超调量更小且达到目标信号后输出力波动更小，即MRAC对于输出力的控制精准度更高。图9、图11、图13和图15为各工况下跟踪误差对比图，利用跟踪误差的绝对值平均值Ae和标准差Se评估MARC控制方法的跟踪能力，计算结果如表2所示。

图10 方波响应输出力曲线Fig.10 Output force curve of square wave response

图11 方波响应跟踪误差Fig.11 Tracking error of square wave response

图12 0.5 Hz正弦响应输出力曲线Fig.12 Output force curve of 0.5 Hz sinusoidal response

图13 0.5 Hz正弦响应跟踪误差Fig.13 Tracking error of 0.5 Hz sinusoidal response

图14 1 Hz正弦响应输出力曲线Fig.14 Output force curve of 1 Hz sinusoidal response

图15 1 Hz正弦响应跟踪误差Fig.15 Tracking error of 1 Hz sinusoidal response

由表2可知，在幅值60 kN阶跃响应下，MRAC跟踪误差的绝对值平均值降低了22.2%，标准差降低了20.3%；在幅值60 kN、周期2 s的阶跃响应下，相比于PID控制，MRAC跟踪误差的绝对值平均值降低了9.5%，标准差降低了5.0%；在幅值60 kN、频率0.5 Hz的正弦响应下，相比于PID控制，MRAC跟踪误差的绝对值平均值降低了29.7%，标准差降低了29.2%；在幅值60 kN、频率1 Hz的正弦响应下，相比于PID控制，MRAC跟踪误差的绝对值平均值降低了28.9%，标准差降低了28.2%。由此可知，MRAC有效地提高了电液主动悬架单元的跟踪性能和对输出力的控制精度。电液主动悬架单元是应急救援车辆主动悬架系统的重要组成部分，本文针对电液主动悬架单元提出的MRAC将助力整车主动悬架系统实现各种先进控制算法，更快更精准地执行算法指令。

表2 性能指标对比

5 结论

(1)分析了电液主动悬架输出力对16个参数矢量的灵敏度，其中流量增益b9、有效体积弹性模量b10、作动器有效面积b11和总流量压力增益b16影响较大，其余影响很小。

(2)根据灵敏度分析及电液悬架负载质量大的特点，设计了模型参考自适应控制器，仿真结果表明，与PID控制相比，MRAC不仅超调量更小，而且使系统达到稳态的时间更短，能够更好地满足整车主动悬架系统的要求。

(3)实验结果表明，相比于PID控制，在四种工况下，MRAC跟踪误差的绝对值平均值最大降低了29.7%，标准差最大降低了29.2%。MRAC有效地提高了电液主动悬架单元的跟踪性能和对输出力的控制精度，将助力整车主动悬架系统实现各种先进控制算法。