数值模拟在布儒斯特定律教学中的应用*

胡 莉 席 锋

(重庆工商大学计算机科学与信息工程学院 重庆 400067)

1 引言

光的偏振是指光的振动方向相对于传播方向的不对称性，是横波区别于纵波的明显标志[1].在大学物理光学部分教学中，光的偏振一直是教学的重点和难点.一方面光的偏振是光的重要特性，被广泛应用于日常生活以及物质检测和传感等领域[3-4]；另一方面教材关于相关内容只进行了理论阐述，并不形象直观，学生理解起来比较困难.随着信息技术的不断发展，各种数值模拟软件日渐成熟，功能也日趋完善.因此，将数值模拟引入到大学物理教学中，一方面可以使学生对抽象的理论和概念有感性的认识，促进学生对知识的理解和掌握；同时又可以引导学生通过数值模拟将相关知识和应用相结合，有效提高学生的动手能力和创新能力等[5-9].

基于此，本文以布儒斯特定律为例，展示在光的偏振教学中利用基于有限元分析法(FEM)的Comsol软件进行数值模拟和分析.通过数值模拟清晰地呈现了自然光和线偏光以布儒斯特角入射时在两种不同介质界面的反射和折射特性；进一步根据玻璃片堆原理设计了偏振光束分光器，将理论和应用相结合，进一步促进学生对相关知识的深入理解.

2 布儒斯特定律及物理模型

(a)布儒斯特定律的示意图

3 结果和讨论

为了直观地展示布儒斯特定律，下面分别就入射光为自然光、S偏光(振动垂直于入射面的线偏光)和P偏光(振动平行于入射面的线偏光)3种情形进行模拟讨论.

当入射自然光沿着x方向入射时，其电矢量用相互垂直且大小相等的y方向和z方向分量代替.如图2(a)所示，入射光在两种介质分界面发生反射和折射，反射光线和折射光线相互垂直，反射光强度远小于折射光.为了清楚地展示反射光和折射光的偏振情况，图2(b)和图2(c)分别给出了y方向(P偏振)和z方向(S偏振)的电场模量分布图.如图2(b)所示，y方向的入射光在界面处只产生了折射，而没有反射.由图2(c)可知，z方向的入射光在分界面既发生反射，又产生折射.为了定量描述各光束的强度及分布情况，我们以模型矩形中心为原点，如图1(b)所示，模拟了入射光束、反射光束和透射光束的电场模量在入射面、反射面和折射面的分布情况.如图2(d)所示，入射自然光为高斯光束，其电场强度从中间向两边递减，其中y分量与z分量相等.由图2(e)可知，总的电场模量与z分量基本相等，y方向的分量近似为零.对反射光束所在区域的y分量电场模量进行放大，得如图2(e)中的小插图所示曲线.由插图可知，在反射光中，P偏振并不完全为零，而是中间为零，两边有两个近似相等的两个峰，这和布儒斯特定律不吻合.其原因是在分析时我们将高斯光束看成是平面波分量的线性叠加，所以利用平面波谱来分析高斯光束的传播以及和介质的相互作用.但严格来说高斯光束组合的电磁场光谱强度并不完全遵循几何光学给出的平面波特性，所以在反射光中出现P偏振中间为零两边有双峰的现象，但总的强度弱到可以忽略不计.如图1(b)所示，折射面有两个，其中以紫色线段代表的折射面也有极少的折射光线，由于能量很小，在此忽略不计.图2(f)为红色线段所代表的折射面电场模拟分布情况，由图可知，在折射光中，电场模量y分量与z分量相等.由以上分析可知：当自然光以布儒斯特角入射时，平行于入射面的分量(P偏光)不发生反射，反射光中只有垂直于入射面的分量(S偏光)；而P偏光和S偏光均发生折射.

图2为当入射光为自然光时的模拟的结果，其中(a)为自然光入射时反射光和透射光的电场模量分布图；(b)为自然光入射时入射光、反射光和折射光在y方向的电场模量分布图；(c)为自然光入射时入射光、反射光和折射光在z方向的电场模量分布图；(d)为自然光入射时入射面总电场模量、y方向电场模量和z方向电场模量随位置变化曲线；(e)为自然光入射时反射面总电场模量、y方向电场模量和z方向电场模量随位置变化曲线；(f)为自然光入射时折射面总电场模量、y方向电场模量和z方向电场模量随位置变化曲线.

图2 入射光为自然光时的模拟结果

当入射光为S偏光时，其入射电场只有垂直于入射面方向(z方向)分量，如图3(a)和(d)所示，入射光在分界面同时发生反射和折射；由于入射光束没有平行于入射面的电场分量(y方向)，因此反射光线和折射光线中均无y方向的电场分量，而只有z方向的电场分量，如图3(b)、(c)、(e)、(f)所示.而当入射光为P偏光时，其入射电场只有平行于入射面的分量，如图4(a)所示，反射光强度为零，入射光在界面只发生折射.所有光线只有平行于电场方向的分量[图4(b)]，而没有垂直于电场方向的分量，如图4(c)所示.当对电场分布进行定量分析时，类似图2(b)，由于平面波理论分析高斯光束的近似性，在反射光中出现P偏振中间为零两边有双峰的现象[图4(e)]，但相对入射光[图4(d)]和折射光[图4(e)]，其数值仍然小到可以忽略不计.因此，S偏光和P偏光入射时同样遵循布儒斯特定律.

图3为当入射光为S偏光时的模拟结果，其中(a)为S偏光入射时反射光和透射光的电场模量分布图；(b)为S偏光入射时入射光、反射光和折射光在y方向的电场模量分布图；(c)为S偏光入射时入射光、反射光和折射光在z方向的电场模量分布图；(d)为S偏光入射时入射面总电场模量、y方向电场模量和z方向电场模量随位置变化曲线；(e)为S偏光入射时反射面总电场模量、y方向电场模量和z方向电场模量随位置变化曲线；(f)为S偏光入射时折射面总电场模量、y方向电场模量和z方向电场模量随位置变化曲线.

图3 当入射光为S偏振光时的模拟结果

图4为当入射光为P偏振光时的模拟结果，其中(a)为P偏光入射时反射光和透射光的电场模量分布图；(b)为P偏光入射时入射光、反射光和折射光在y方向的电场模量分布图；(c)为P偏光入射时入射光、反射光和折射光在z方向的电场模量分布图；(d)为P偏光入射时入射面总电场模量、y方向电场模量和z方向电场模量随位置变化曲线；(e)为P偏光入射时反射面总电场模量、y方向电场模量和z方向电场模量随位置变化曲线；(f)为P偏光入射时折射面总电场模量、y方向电场模量和z方向电场模量随位置变化曲线.

图4 当入射光为P偏振光时的模拟结果

4 偏振光束分光器

根据布儒斯特定律，大学物理教材中还介绍了利用玻璃片堆实现偏振光分束的基本原理和方法.基于此，我们设计在直角三角棱镜的斜边涂介质膜的形式来实现偏振光分束，其中介质膜的作用和玻璃片堆的作用一样.利用这种镀膜的直角三棱镜，一方面可以有效地避免鬼影的出现，另一方面透射光束相对于入射光束的平动很小，这样可以简化使用此偏振分束器光学系统的对准.

如图5(a)所示，两个直角棱镜中间镀有多层介质膜(粗线部分)，设两直角棱镜的折射率为n=1.68，介质膜由高折射率的硫化锌(A：ZnS，nk=2.3)和低折射率的氟化镁(B：MgF2，nl=1.38)交替组成(AB)7的多层膜.当入射光从分光器左侧垂直入射时，反射光和透射光分别从上侧和右侧射出，如图5(b)所示.由电场模量图可以看出，透射光只有y方向的电场模量(P偏光)[图5(c)]，而反射光只有z方向的电场模量(S偏光)，如图5(d)所示，从而很好地实现了偏光束分光.

(a)立方体偏振光束分光器示意图

5 结论

本文以布儒斯特定律为例，展示了数值模拟在大学物理光学部分教学中的辅助作用.利用基于有限元分析法的Comsol软件对布儒斯特定律进行数值模拟，清晰地呈现了自然光和线偏光以布儒斯特角入射时在两种介质界面的反射和折射特性；并将光的传播通过电场模量在空间的分布清晰地呈现出来，以图形的方式避免空洞的描述，便于学生获得感性的认知；最后利用布儒斯特定律设计了偏振光束分光器.借助数值模拟，一方面让学生更好地掌握相关知识，另一方面启发学生利用数值模拟对知识的应用进行拓展，从而达到对物理原理更为深刻的认识和理解的目的.