端部旋转的圆柱形容器内的Stokes流*

王尕平，刘竟慧

（大连交通大学 土木工程学院，辽宁 大连 116028）

引言

端部旋转所引起的容器内的流动问题是流体力学的经典内容之一，它被关注的原因在于两个方面：理论上，它使得能够在有限形状规则的求解域中得到N-S 方程的精确解，从而能够解析地研究流场的一些变化规律；工程上，它所产生的二次流对于工业过程的实现具有重要的作用，如涡轮机、化学反应器和磁盘存储工业等.许多学者在中等Reynolds 数范围内研究了这个问题.Pao[1]、Bertelà和Gori[2]、Duck[3]采用有限差分法研究了单端、两端部旋转的圆柱形容器内的流线、速度场、压强场等随Reynolds 数Re=ΩR2/ν、外形比A=h/R(R为端部半径，Ω为端部旋转的角速度，h为圆柱容器的高度，ν为流体的运动黏性系数）的变化规律.Dijkstra 和Van Heijst[4]从数值和实验两方面研究了小外形比条件下端部反向旋转的容器内流场的漩涡结构和驻点随两端部速度比的变化规律.Vogel[5]采用系统的实验研究了单端旋转圆柱容器内的涡破裂现象.Escudier[6]验证并发展了Vogel 的实验，在其基础上研究了容器外形比和Reynolds 数对涡破裂的影响规律.Valentine 和Jahnke[7]研究了两端部以相同角速度旋转时容器内涡破裂与单端旋转的不同规律.Gelfgat 等[8]研究了被限制的旋转流中的漩涡分离流的触发机理，他们认为局部离心力的最大值是流场中循环区域形成的主要原因.此外，Kahouadji和Witkowski[9]通过数值和实验探讨了底部旋转、上部为自由液面的圆柱形容器内流动的稳定性、流场中二次漩涡产生和消失的机理.Mukherjee 和Steinberg[10]通过实验研究了上部转盘驱动的圆柱形容器中的流场结构和转盘上的摩擦因数随Reynolds 数的变化规律.

以上研究揭示了中等Reynolds 数范围内端部旋转容器中的一些流动规律，关于Stokes 流的研究却较少见.近年来，对偶方法在力学领域得到了许多应用，如弹性力学、结构力学、动力学、最优控制、流体力学等[11-16]，展示了该方法的广泛适用性，同时也得到了许多有意义的成果.本文将z坐标模拟为时间，将对偶方法引入到端部旋转的圆柱形容器内的流动问题，并对容器内的流动进行了研究.研究结果展示了不同外形比和不同端部旋转条件下，流场的速度分布、应力分布，揭示了Stokes 流的一些特点.

1 对 偶 方 法

1.1 柱坐标系下Stokes 流问题的基本描述和对偶方程

当流动的特征尺度和特征速度很小或者运动黏度很大时，相应的Reynolds 数很小（即Re≪1），此时流体的惯性力与黏性力相比可以忽略不计，这种流动称为Stokes 流.

端部旋转驱动的圆柱形容器内流体的流动可视为空间柱坐标系(r,θ,z)下的轴对称(∂/∂θ=0)问题.ur，uθ和uz分别表示径向速度分量、环向速度分量和轴向速度分量.根据流动的特点，径向和轴向流动速度均为零，则速度可表示为u={0,uθ,0}T.流动区域如图1所示，圆柱形容器的半径为a，高度为h，原点O位于圆柱形容器的左端圆心处，容器的侧边固定，则有

当容器的单端或两端部旋转时，将驱动容器内的流体运动.图1所示为圆柱形容器的左端部以角速度 Ω旋转.若容器的左端和右端均旋转，则为两端旋转的容器内的流动问题.

图1 圆柱形容器的几何示意图Fig.1 The geometry of the cylindrical container

流体的本构方程为

式中 µ为动力黏性系数，pres为压强.由于该流动的特殊性，不可压流体的连续方程自动满足，流体的控制方程为

将z坐标模拟为时间,并引入记号则相应的Lagrange 函数为

引入对偶变量

由上式可以看出对偶变量是同应力相关的物理量，称其为广义应力.记速度和其对偶变量的矢量形式为q={uθ}，p={p},则可引入Hamilton 函数：

对上式应用变分，有

则可得到Hamilton 对偶方程

和齐次侧边界条件(1).方程(8)的具体形式为

式 中微分算子Dr=∂/∂r，Dθ=∂/∂θ.可以看出，方程(9)由柱坐标系下流体的本构方程和控制方程组成.

1.2 共轭辛正交归一关系

定义w={q,p}T为全状态向量,则对偶方程(9)可以写为

式中H为Hamilton 算子阵.分离变量，方程(10)的解可写成如下形式：

定义辛内积：

并且本征解之间存在着共轭辛正交归一关系：

由于解空间的完备性[17]，任意空间状态向量w总是可以展开成本征解的线性组合：

1.3 零本征解

如果本征解λ=0，则方程(12)为

方程(17)的具体形式为

在边界条件(1)下求解上式，可得到零本征解：

然而，当r=0时，容器轴线上流体的速度应为有限值，因此上式中的常数C=0，即式(19)是零解.并且由此可知，不存在一阶约当形式的本征解满足因此问题不存在零本征解.

1.4 非零本征解及问题解的形式

本征值λ ≠0时，

Hψ=λψ.（20）

上式展开为

其对应的非零本征解为

将上式代入边界条件(1)，则可得到

由上式可解得 λm.

由于 λm为实数，且非零本征解总是以辛共轭的形式出现，因此由非零本征解的线性组合表示的非零本征值解的具体形式为

1.5 端部条件和展开系数

取容器的半径a为 特征长度，µ为特征动力黏度，为特征时间，将各物理量无量纲化.以R，Z分别表示r，z方向的无量纲坐标；Uθ表示θ方向的无量纲速度；表示无量纲切应力.容器的外形比A=h/a也是容器的无量纲高度，无量纲非零本征值为ηm=aλm.为了方便，做如下约定：下文中以 λm表示无量纲非零本征值.

端部旋转问题的解应满足容器两端(Z=0,Z=A)的两个端部速度条件：

将方程(24)代入边界条件(25)中得

式(27)中的系数表达式为

将展开式(26)在N项后截断，得到一个由 2N个方程组成的方程组(27).求解该方程组，可解出 2N个展开系数从而得到问题的近似解.在实际计算中，N越大，所得近似解的精度越高.定义平均误差为式中Uθ(Rk)|Z=0表示计算得到的速度，Uθ|Z=0表示给定的边界速度.取M=100，这表示在R∈[0,1)区间上取100 个等分点（R=1 点除外是因为该点速度自动为零）.当N=50时，本文中所给算例的平均误差均小于0.02，因此在计算中取N=50.

2 计算结果及分析

2.1 单端旋转的无限长容器内的流动

考虑单端旋转的无限长圆柱形容器内的流动，容器左端旋转，则端部条件为

图2 给出了距离旋转端Z=6的距离范围内，容器内流体的速度、应力等高线.从图中可以看出，在旋转端与容器壁面交界处附近区域，流体的速度较大，而在远离旋转端区域，流体的速度迅速减小，这说明了Stokes 流问题中边界的影响不能及远的特点.端部旋转时，虽然端部的速度Uθ（Uθ=R）随着R的增加而增大，但在R=0处速度为零，且由于圆柱形容器的壁面是静止的，因此在容器内，横截面上流体速度的最大值在01区域，一直稳定在此位置.事实上，由式(24)可以看出，容器内远离端部边界处，流动是由低阶项决定的，即的最大值位置位于R≈1/2处.应力的整体分布与速度类似，最大值位于旋转端部与容器壁面交界处，在远离旋转端部区域，横截面上最大应力位于R≈1/2附近.这是因为在交界处，旋转端部的速度为Uθ|R=1=1，静容器的壁面速度为零，流体的速度由Uθ|R=1=1快速降为零，从而使交界处的速度梯度最大；随着距离交界处的距离增大，流体的速 度梯度越来越小，应力 τ¯zθ也随之减小，并且横截面上应力的最大值也稳定在固定位置.

图2 无限长容器内的流动：(a)速度U θ等高线；(b)应力 zθ等高线Fig.2 The flow in the semi-infinite cylindrical container:(a)the contours of velocity U θ;(b)the contours of stress zθ

2.2 两端部同向同速旋转的容器内的流动

考虑两端部同向旋转的圆柱形容器内的流动，两端部旋转的角速度为ΩZ=0=ΩZ=A=1，则端部条件为

分别取容器的外形比（无量纲高度）A=1,2,6，计算流场的速度分布情况.图3 给出了不同外形比A时，流场速度Uθ的等高线图.从图中可以看出，与一端旋转的无限长圆柱形容器内的流动相似，速度Uθ随着距离端部距离的增加而迅速减小，当容器外形比A增加时，旋转端部对距离端部较远处的流动影响较小，并且在距离端部单位距离内，速度Uθ均衰减到2%左右.值得注意的是：虽然流场中的流动是由于两端部同步同速旋转而引起的，但是，流场内的流动并不是与端部边界的运动相一致的，而是沿着轴向衰减，远离端部处，速度沿着径向呈类似于抛物线分布；在流场内部，速度均不为零；在半径R≈0.5的环形面附近位置，流体的速度最大.此外，容器两端部同向旋转时，容器内流体的速度分布关于Z=A/2对称分布.

图3 两端部以角速度Ω=1同向旋转时，不同外形比的容器内流动速度U θ的等高线：(a)A=1；(b)A=2；(c)A=6Fig.3 The contours of velocity U θ in cylindrical containers with two ends rotating at the same angular velocity Ω=1 and different geometric aspect ratios:(a)A =1;(b)A=2;(c)A=6

2.3 两端部反向同速旋转的容器内的流动

考虑两端部反向旋转的圆柱形容器内的流动.两端部旋转角速度−ΩZ=0=ΩZ=A=1，问题的端部条件为

与两端部同向同速旋转的容器内的流动问题相同，分别取容器的外形比（无量纲高度）A=1,2,6，计算流场的速度分布情况.图4 给出了A=1,2,6时，流场中速度Uθ的等高线图.由图3 和图4 可以看出，两端部反向旋转与同向旋转两种情况下，流场的速度分布既有相似之处，也有明显的不同.相似之处在于速度Uθ随距离边界距离的增加而迅速减小，并且在远离端部的地方，流体的速度最大值的位置在半径R≈0.5环形面位置.不同之处在于：首先，两端部反向旋转问题中，在Z=A/2截面上，流体速度Uθ=0，此截面也是左右两部分流体运动方向不同的分界面，而在两端部同向运动问题中，不存在这样一个截面.其次，在两端部反向旋转问题中，整个流场中的流体运动速度是关于Z=A/2截面反对称分布；而在两端部同向旋转问题中，整个流场速度关于Z=A/2截面对称分布.

图4 两端部以角速度Ω=1反向旋转时，不同外形比的容器内流动速度U θ的等高线：(a)A=1；(b)A=2；(c)A=6Fig.4 The contours of velocity U θ in cylindrical containers with two ends counter rotating at angular velocity Ω=1 and different geometric aspect ratios:(a)A=1;(b)A=2;(c)A=6

2.4 端部为应力条件时容器内的流动

考虑一端旋转的无限长圆柱形容器内的流动.容器左端旋转、右端静止.问题的端部条件以应力形式给出：

图5 给出了端部剪切应力以抛物线形式给出时，流场的速度和应力分布情况.由图中可以看出，端部为应力条件时，流场的速度和应力的衰减特性、远离端部边界处的速度和应力分布特性与端部为速度条件时非常相似.事实上，对于容器中的低Reynolds 数流而言，无论端部为速度条件还是应力条件，它们均是为流体的运动提供动力，而Stokes 流本身的特性决定了流场速度和应力的分布特性.

图5 端部应力条件时，外形比为A=6的容器内的流动：(a)速度U θ等高线；(b)应力 zθ等高线Fig.5 With stress condition at the end,the flow in the cylindrical container for A=6:(a)the contours of velocityU θ;(b)the contours of stresszθ

3 结论

本文通过将z坐标模拟为时间，建立Hamilton 对偶方程.利用本征解空间的完备性和本征解之间的共轭辛正交关系，给出了问题解的展开形式、并求得问题的解.对不同端部旋转条件下的圆柱形容器内流体的流动情况的研究结果显示：

1）边界对容器内流体速度和应力的影响随着距离边界距离的增加而减弱.容器的外形比A越大，旋转端部对容器内部流体的影响就越小，反之则越大.

2）容器两端部同向旋转时，容器内流体的速度分布关于Z=A/2对称分布，且容器内流体的速度均不为零；而容器两端部反向旋转时，流场的速度关于Z=A/2反对称分布，且在横截面Z=A/2上，流体的流动速度为零.

3）容器端部旋转时，流场内部的流动并不是与端部边界的运动同步，流体最大速度在径向的位置随着距离端部距离的增加而逐渐向流场内部移动，远离端部边界处，流动速度的最大值位于半径R≈0.5处.

4）当端部条件以应力形式给出时，流场的速度和应力分布与端部为速度条件时相似.