泛延拓矩阵的极分解与扰动界

何 静, 袁晖坪

(重庆财经学院 软件学院, 重庆 401320)

1 引言与预备知识

矩阵的极分解在数值分析和人工智能等领域应用广泛[1-8], 矩阵的广义逆在随机规划、数理统计等领域有一定的应用[9].许多实际问题都可抽象为关于行(列)的对称图像(矩阵), 若直接分解高阶数据矩阵, 则计算量大、效率低.若充分利用矩阵的行(列)对称性, 寻找矩阵中某一块与其他块之间的结构关系, 则问题极易解决[7-15].文献[12-13]研究了泛延拓矩阵的QR分解和奇异值分解; 文献[6-8]研究了行(列)对称阵、酉对称阵和泛延拓矩阵的极分解.本文讨论泛延拓矩阵的极分解与扰动界, 给出泛延拓矩阵的极分解、广义逆和扰动界的公式和快速算法, 推广了文献[6-8]的相关结果.

用AH,A+分别表示矩阵A的共轭转置阵和Moore-Penrose逆,m×n表示m×n复矩阵集,表示秩为r的m×n复矩阵集, ‖‖F表示Frobenius范数.

定义1[12]设A∈m×n,Q1,Q2,…,Qk-1均为m阶正交阵, 则

称为A的k次泛行延拓矩阵,A称为其母矩阵, 其中Ai=QiA,i=1,2,…,k-1.

定义2[12]设A∈m×n,Q1,Q2,…,Qk-1均为n阶正交阵, 则

C(A;Q1,…,Qk-1)=(A,A2,…,Ak-1)

称为A的k次泛列延拓矩阵,A称为其母矩阵, 其中Ai=AQi,i=1,2,…,k-1.

显然, 泛行(列)延拓矩阵是对文献[8,10-11,6]中的行(列)对称矩阵、行(列)延拓矩阵、行(列)周期对称矩阵和行(列)酉对称矩阵的推广.

2 极分解与广义逆

引理1[15]设A∈m×n, 则对任何酉阵U∈m×m,V∈n×n均有UAV的Moore-Penrose逆：

(UAV)+=VHA+UH.

使得

证明： 因为UUH=UHU=I,QQH=QHQ=I, 所以易验证：

同理可证(P1(U))HP1(U)=Ikm, 故P1(U)为kn阶酉矩阵.又

下面的酉矩阵P1(U)均与定理1相同.

使得

证明： 因为UUH=UHU=I,QQH=QHQ=I, 所以易验证：

同理可证(P2(U))HP2(U)=Ikm, 故P2(U)为kn阶酉矩阵.又

下面的酉矩阵P2(U)均与定理2相同.

定理3设Q1,Q2,…,Qk-1均为n阶正交阵, 正规阵A∈n×n的极分解为A=HU=UH, 其中U为酉阵,H为半正定Hermite阵, 且AAH=H2, 则存在酉阵P1(U)∈kn×kn, 使得

证明： 与定理1的证明类似, 故略.

定理4设Q1,Q2,…,Qk-1均为n阶正交阵, 正规阵A∈n×n的极分解为A=HU=UH, 其中U为酉阵,H为半正定Hermite阵, 且AAH=H2, 则存在酉阵P2(U)∈kn×kn, 使得

证明： 与定理2的证明类似, 故略.

定理1～定理4推广了文献[6-8]中的相关结论.

即PPH=Ikn, 使得

证明： 易证PPH=Ikn, 且

证明： 易证PPH=Ikm, 且

定理5和定理6分别将文献[7]中定理3和定理4的正定矩阵H推广为半正定Hermite阵.

3 泛行(列)延拓矩阵极分解的扰动分析

引理2[7]1) 设A∈m×n,Bij∈n×s,i,j=1,2,…,k, 则

证明： 由定理1、引理2和引理3知：

证明： 与定理7的证明类似, 故略.

泛列延拓矩阵C(A;Q1,…,Qk-1)的极分解也有类似于定理7和定理8的扰动界.

4 泛延拓矩阵的极分解与广义逆算法

步骤1) 求矩阵A的极分解A=UH2；

步骤2) 计算定理1中的酉阵P1(U)；

步骤1) 求矩阵A的的极分解A=H1U；

步骤2) 计算定理2中的酉阵P2(U)；

类似可给出与定理3～定理6相应分解的算法.

5 数值实例

例1在对宽带信号测向研究中, 假设方向矩阵[5]为

使得