关联代数上的ξ-Lie导子

姜欣彤

(吉林师范大学数学与计算机学院,吉林长春,130000)

关联代数最初是作为计数组合理论与算术函数理论交叉领域的研究对象,在研究关联代数时一般通过两类重要的映射: 一类是保持某种乘法不变的各种映射,如李同态、李同构、约当同构等; 另一类是由满足某种Leibniz 公式的微分算子构成,如导子、李导子、约当导子等[1],本文就属于后者。近年来,许多学者在关联代数上做出了突出贡献,Yang Y P[2]证明了每个非线性Jordan 导子是标准的,即可以表示为内导子、传递诱导导子和可加诱导导子的和;Fornaroli 等[3]证明了关联代数上可加导子是内导子的充要条件; 周斯名[4]研究了关联代数上的非线性Lie 中心化子的标准形式;Chen Lizhen 等[5]证明了关联代数I(X,R)上每个Jordan 高阶导子是高阶导子。

导子一直是算子代数上研究的热点问题,许多学者研究了各类代数上的线性映射δ:A→A何时为导子的问题。2009年,齐霄霏等[6]首先给出ξ-Lie导子的定义,证明了三角代数上每个可乘双射φ(其中φ(AB-ξBA)=φ(A)φ(B)-ξφ(B)φ(A))都是ξ-Lie 环同构，并刻画了上三角块矩阵代数和套代数上ξ-Lie 可乘双射。之后引起了许多学者对ξ-Lie 导子的兴趣,李彩红等[7]研究了三角代数上零点处ξ-Lie 导子的形式; 刘丹等[8]证明了Banach 空间上ξ-Lie 导子(ξ≠±1)是导子; 王婷等[9]证明了当ξ≠1时,子空间格代数上的ξ-Lie 导子是一个导子。受上述文献的启发,本文给出关联代数上的ξ-Lie 导子的具体形式及系数之间的关系。

1 预备知识

定义1设R是有单位元的交换环,A是R上的代数,设δ:A→A是R-线性映射。如果对任意x,y∈A,有δ(xy)=δ(x)y+xδ(y),则称δ为导子; 如果δ([x,y])=[δ(x),y]+[x,δ(y)],则称δ为Lie 导子,这里[x,y]=xy-yx; 若δ([x,y]ξ)=[δ(x),y]ξ+[x,δ(y)]ξ,则称δ为ξ-Lie 导子(ξ∈R),这里[A,B]ξ=xy-ξyx。显然,当ξ=0 时(0 代表R中零元,后文不再标注),ξ-Lie 导子是一个导子,当ξ=1时(1 代表R中单位元,后文不再标注),ξ-Lie 导子是一个Lie 导子,ξ=-1时,ξ-Lie 导子是一个Jordan 导子。

定义2[10]设X是一个集合,≤是X上的二元关系,若其满足:(1)自反性,x≤x,∀x∈X;(2)传递性,若x≤y,y≤z,则x≤z,∀x,y,z∈X。

此时,称集合X关于二元关系≤是一个预序集。

定义3[11]称预序集是连通的,即对任意x,y∈X,都存在序列{x=x0,x1,…,xn=y}满足xi-1≤xi或xi-1≥xi,∀i={1,…,n}。

定义4[11]设R是含单位元的交换环,(X,)≤是一个局部有限预序集,在R上定义关于X的关联代数I(X,R):={f:X×X→R|f(x,y)=0,若x≤y不成立},代数运算为(f+g)(x,y)=f(x,y)+乘积fg在函数论中被称为卷积。

定义5设X和Y同为实或复线性空间,D⊂X为线性子空间。对于映射T:D→Y,若任意x,y∈D和α,β∈C都有T(αx+βy)=αT(x)+βT(y)成立,则称T是线性算子。

定义6[11]关联代数I(X,R)中的单位元δ满足δ(x,y)=δxy,x≤y,其中δxy∈{0,1}是Kronecker 符号。∀x≤y,定义exy(u,v)=1若(u,v)=(x,y),其他为零。根据乘法为卷积可知

关联代数I(X,R)上有一组基B:={exy|x≤y}。

设D:I(X,R)→I(X,R)是一个R-线性算子且令

引理1[12]设D:I(X,R)→I(X,R)是一个R-线性算子,则D是导子当且仅当D满足D(eij)=满足如下关系式若i≤j≤k。

引理2[12]设R是含有单位元的2-扭自由交换环,关联代数I(X,R)的每个Jordan 导子是导子。

2 主要定理及证明

定理1设(X,≤)是连通的有限预序集,若δ是一个关联代数I(X,R)上的ξ-Lie 导子(ξ≠0,±1),则

证明不失一般性,设i＜j。由eij=[eii,eij]ξ可得

由式(1),对式(4)左乘eii,右乘ejj; 左乘eii,右乘eyy。分别可得

由式(5)和(6)可得对式(8)同时左乘exx,右乘eyy,可得

另一方面,

由式(5)得到式(2)。同理可得,当i＞j时,式(2)仍然成立。

接下来讨论δ(eij)的具体形式。由δ(eij)=δ([eij,ejj]ξ),可得

对式(9)两边同时左乘exx,右乘ejj; 左乘eii,右乘ejj。分别可得

又因为eij=[eii,[eij,ejj]ξ]ξ,由式(1)、(2)、(5)、(6)和(10)可得

对于eij=[[eii,eij]ξ,ejj]ξ,同理可得

因为i≠j,结合式(12)和(13)可得

水源热泵技术作为一种节能环保的制冷供暖方式，不管从能源使用方式，还是技术成熟的角度上都是暖通空调领域值得应用与推广的[3-7]。但如果使用不当，会出现各种各样的问题[8]。在家用地下水源热泵系统的项目中，大多数热泵机组均采用传热效率较高的板式换热器，这种换热器的板片间距小，容易造成堵塞。为解决这一问题，实际工程中普遍采用加装壳管式换热器作为水源与机组换热器之间的中间换热器（见图1）。

另一方面,对式(4)的的等号两边同时左乘ejj,右乘eii,可得由于R是(1 +ξ)扭自由交换环,故式(3)得证,证毕。

定理2设(X,≤)是连通的有限预序集,δ:I(X,R)→I(X,R)是R-线性映射,且δ具有式(2)和(3)形式,则δ是关联代数的一个ξ-Lie 导子(ξ≠0,±1),并且系数满足下列关系

证明δ是ξ-Lie 导子的充要条件是对任意i≤j和k≤l,有δ([eij,ekl]ξ)=[δ(eij),ekl]ξ+[eij,δ(ekl)]ξ成立,可得

下面分成4 种情形展开讨论。

情形1若j≠k且i≠l,式(17)可化简为

可得

情形2若j=k且i≠l,式(1 7)可化简为

可得

情形3若j≠k且i=l,式(17)可化简为

可得

情形4若j=k且i=l,式(17)可化简为

若i=j,则式(17)可写为化简为可得所以式(24)中eii,ejj的系数式(14)、(15)成立。

(1)若k≠i≠l,式(17)可写为由此得到若若l＜i,有

(2)若k≠i=l,式(17)可写为

(3)若k=i≠l,式(17)可写为化简为由此得到若l＜i或i＜l,有

定理3设X是连通的有限预序集,δ是关联代数I(X,R)上的一个ξ-Lie 导子,当ξ≠1 时,δ是一个导子。

证明(1)ξ=-1 ,由引理2 可知,结论成立。

(2)ξ≠-1 ,设δ是一个ξ-Lie 导子,由定理1 和定理2 可得,若i＜j。其中系数,若i≤j≤k,有

设线性算子d满足引理1:(其中系数若所以线性算子d是一个导子。

设线性算子 Δ :=δ-d,满足 Δ(eii)=0,Δ(eij)=0,所以Δ 是一个导子,定理得证。