在操作中思考 在思考中感悟

◇潘 娇 （江苏：昆山经济技术开发区世茂小学）

数学家佛莱登塔尔曾经说过，“再创造”是数学学习的唯一正确的方法，并进一步指出“学一个活动的最好方法就是做”。新修订的《义务教育数学课程标准》也再次明确了“数学实验”的价值和功能。三角形是小学阶段重要的学习内容。《三角形的三边关系》一课，是学生认识三角形的基本特征之后，对三角形“边”基本特征的初次研究，也是后续数学学习的重要基础。《三角形的三边关系》这一课，重点不在于学生对这一结论的简单记忆，而是要让学生经历学习过程，让学生在实验活动中思考，在思考中感悟，促进数学思维的生长。

一、在操作活动中发现问题，提出猜测

有效的数学学习必须依托学生的数学现实和生活现实，而问题情境则可以引发学生对身边数学发现的强烈求知欲。小学生从一年级开始就初步认识了三角形等平面图形，后来又进一步认识了线段、角、长方形和正方形等的特征，四年级又深入地认识了三角形的特征及其边和角的规律。学生学习的重点不是对“三边关系”这一结论的简单记忆，而是通过对“三角形三边关系”的活动探究，掌握数学探究活动的基本思想和基本方法。

【教学片段1】

师：三角形是一个怎样的图形？

师：围一个三角形，你觉得需要几根小棒？是不是3根小棒一定能围成三角形呢？（让学生猜）

师：你们的疑问，我也有，那我们今天就来探究一下。我给大家准备了一个材料袋，里面有8厘米、5 厘米、4 厘米、2 厘米小棒各1 根，小棒上贴好了它的长度，请你们同桌两人为一组进行小组活动。

活动要求：

从材料袋中，每次任意选取3 根小棒围一围，看能否围成三角形。

同桌两人合作，一位学生动手围，另一位学生及时做好记录。

对于“3 根小棒是不是都能围成三角形”这个问题，有的学生借助生活经验就能回答，但有的学生受其生活经历的局限可能会存在疑惑。数学猜想是数学探究的基础，同时是数学探究的动力。小学生在数学学习的过程中，经常会根据自己原有的生活经验对数学新知进行猜想。但这些猜想仅是学生的主观想象，教师需要根据教学内容及学生的原有经验，为他们提供能够引发更多数学猜想的学习素材。这样，他们就能够在数学猜想的过程中自主提出研究的问题，从而产生数学探究的内在驱动力。利用这种内在驱动力，让学生意识到：当我们产生猜想的时候，就应该动手操作试一试。在操作中，学生发现任意选的3 根小棒有的能围成三角形，有的不能，继而引发学生思考：3 根小棒能否围成三角形和这3 根小棒的什么有关？通过刚才的尝试操作，学生很容易就知道能否围成三角形和3 根小棒的长度有关，进而提出下一个研究问题：3 根小棒的长度有什么关系时，能围成三角形？

二、在操作活动中整理分析数据，得出结论

让学生自主进行实验操作，并在操作中引发认知冲突：原来并不是任意3 根小棒都能围成三角形，那么能围成三角形的3 根小棒的长度存在什么关系呢？在操作中，学生已经从围不成的3根小棒中体会到“不够围”，这里很容易想到和“小棒的长度有关”。学生自己从数学实验中发现疑惑，更能调动他们的探究兴趣，从而更主动地参与接下来的探究活动。

【教学片段2】

师：那3根小棒的长度之间有什么关系就能围成三角形呢？发现了什么？和同桌说一说。

师：谁来交流？

生：两条短的小棒长度的和大于第三边时，能围成三角形；当两条短的小棒长度的和小于第三边时，就围不成了。

师：说得真好！能有这样的发现真是太不容易了。能用表格中的数据来证明你的发现吗？

生：围成的情况里4+5>8，2+4>5。

师：那为什么在不能围成的情况中，也有8+5＞2呢？

生：要用较短两条边的长度的和与第三条边比较。围不成的情况5+2<8，2+4<8。

师：通过计算、比较，发现，3 根小棒要围成三角形，两根较短的小棒长度的和要大于第三根小棒。

在学生进行小组活动操作时，教师观察到大多数学生会将最长的那根小棒横放，然后将较短的两根小棒分别连接到这根最长小棒的两端，以连接处为中心，旋转较短的小棒，尝试使它们连接。因此，学生操作过程中已经感受到：要使3 根小棒围成三角形，就要使较短的两根小棒能够连起来，而要连起来，这两根小棒的长度之和就要比第三根长。再结合对表格里数据的整理分析、计算验证，学生很容易发现，围成三角形的条件是：“在三角形中，较短的两边之和大于第三边。”

三、在操作活动中反思修改，完善结论

我国现行的几版教材都用“任意两边之和大于第三边”来描述“三角形的三边关系”，可是我们发现：在判断3 条线段能否围成三角形的时候，最快捷的方法就是判断两条较短线段之和是否大于第三条线段。那么是否还有继续揭示“任意”的必要呢？答案是肯定的。在教学中，我们要注意“任意两边之和大于第三边”才是“三角形三边之间的关系”的基础认识，这个基础认识对于后续初高中的数学学习尤为重要。虽然仅是两字之差，但在教学中我们发现，由“较短”过渡到“任意”非常困难。因为学生已经先入为主地认为，只要知道两条短边之和与第三边的长度就可以直接判断。这时候他们更多关注的是两条短边与最长边的长短关系，而不是三角形三边之间的关系。为了避开短边与长边的干扰，笔者这里提前借用了“用字母表示”的相关知识，让学生继续探究下一个问题：在不知道三边具体长度的情况下，怎样的三边关系一定能围成三角形？

【教学片段3】

师：我这里有一些线段，请你快速地判断一下能围成三角形吗？下面我们开始看谁的判断速度快，用打钩的手势表示能围成，用打叉的手势表示不能围成。准备好了吗？

2厘米、2厘米、5厘米

4厘米、7厘米、5厘米

5厘米、6厘米、4厘米

a厘米、b厘米、c厘米

师：你们怎么了？

生：只有字母，我们不知道长度，不好判断。

师：当我们已经知道3 条线段的长度时，我们先看哪两条是短边，哪条是长边，通过比较较短两边长度的和与第三边的长度来判断是否能围成三角形。现在这里的a、b、c不知道具体是多长，你能找到较短的是哪两条？最长的是哪一条吗？

师：如果现在告诉你，它们一定能围成三角形，请你想一想，这三条边之间会有怎样的关系呢？同桌讨论。

生：假如c最长，那么a+b>c。

师：那c一定是最长的吗？你觉得还有其他的算式吗？

生：假如b最长，那么a+c>b；假如a最长，那么b+c>a。

师：你们做了三种假设，如果c不是最长的，那么它和其他两边的关系又是怎么样的呢？a、b呢？请你结合表格中的数据研究一下。

师：谁来说一说？

生：能围成三角形的三条线段，随便哪两条加起来都要大于第三边。

师：随便哪两条边的长度加起来都比第三边大，我们就说三角形任意两边长度的和大于第三边。

根据学生原有的经验，能够根据两条短边的和是否大于第三条边，来快速地判断3 条线段能否围成三角形。但是当不知道3 条边的具体长度时，怎样确保能够围成呢？学生很聪明，他们提出了假设的想法，但“假设”的前提如果不存在，3 条线段是不是还存在两边之和大于第三边的关系呢？我们需要借助刚才整理在表格中的实验数据继续分析。经过分析学生发现：不管哪两条边，它们的和都会大于第三条边。从已知三边的长度跨越到未知三边的长度存在难度，因此借用表中具体的数据进行说明更易使学生理解，从而得出结论：三角形任意两边之和大于第三边。

四、在操作活动中深度应用，提升素养

动手操作和实验不是数学教学的目的，教学的目的是通过有序的实验操作发现初步的规律，形成数学的猜想，然后通过解释、思辨、说理、证明等活动，让学生在严谨的推理活动中逐步获得数学的思想方法，进而掌握数学规律的本质。探索数学规律的目的是获得知识技能、发展数学思维和感悟数学思想、形成理性精神，而在问题解决中应用数学规律，能有效地达到这一目的。

【教学片段4】

师：刚才我们研究了能围成三角形的情况，现在我们来看这种情况。（8 厘米、5 厘米、2 厘米）你们观察一下，这三根线段现在一条直线上，想象一下，把2 厘米这一根线段慢慢延伸，你觉得延长几厘米，能围成三角形？那如果延长1厘米会是怎样的情况呢？5 厘米、3 厘米、8 厘米能围成三角形吗？

生：不能，还是在一条直线上。

师：看来要围成三角形，两条短边之和必须大于第三边，小于和等于是不行的。是不是只要大于3厘米就行呢？

师：你们想一想，当3 厘米继续延长，这条5 厘米的线段会怎样？（往上转）当5厘米的线段继续往上转动，这条线段会变长，再转过去，这条边还会变长。是不是一直变长，就都能围成三角形？

生：不是，13厘米的时候，在一条直线上，又不能围成三角形了。这条线段还要小于13厘米。

师：当已知的两条线段是8 厘米、5 厘米时，第三条线段的取值范围是3厘米＜第三边＜13厘米

师：你们观察一下3 厘米和13 厘米，有什么特点？

生：这里的3 厘米是两边长度的差，这里的13厘米是两边长度的和，所以第三边的长度应该大于两边长度的差，小于两边长度的和。

借助动态课件，让学生通过观察5 厘米、3 厘米、8 厘米三根小棒首尾相连围成的图形，发现这三根小棒在同一条直线上，不能围成三角形，进一步完善了三角形的三边关系——等于和小于都不行。观察一条短边继续延伸，然后让学生进行空间想象，推理得到：三角形的第三边的长度应该大于两边长度的差，小于两边长度的和。至此，数学规律和应用推向了深层，学生真正实现了深度学习。

在探究学习的过程中，应具有严谨而明确的学习逻辑，那就是：从简单出发，向本质迈进；从猜想出发，用实验验证；从现象出发，往规律探寻。只有充分围绕课程标准中所提到的学生空间观念形成的诸要素，在动手实践中探索规律，在探索规律中发展思维，在发展思维中形成能力，我们的数学课堂教学才是真正有效的，学生的数学核心素养才能有效提升。