利用LEO卫星的最小误差矢量合成定位算法

王丹瑶，秦红磊，王元琳

利用LEO卫星的最小误差矢量合成定位算法

王丹瑶，秦红磊，王元琳

（北京航空航天大学 电子信息工程学院，北京 100191）

针对利用低地球轨道（LEO）卫星信号进行多普勒定位时，由于缺乏定位误差矢量相关研究而使定位精度较差的问题，对多普勒定位误差矢量特性进行系统性的分析并提出一种最小定位误差矢量合成优化算法：以初始定位结果为中心划定区域网格，计算依次去除各颗卫星后定位误差向量在该卫星速度方向上的投影误差模之和；遍历所有网格，搜索投影误差模之和最大的位置网格作为优化的定位结果。实验结果表明：提出的算法的定位结果误差均值与均方根误差（RMSE）均有减小，其三维定位精度可提升40%以上。

低地球轨道卫星信号；多普勒定位；误差矢量分析；优化算法；遍历网格

0 引言

随着定位导航需求的快速增长，不同的应用场景如城市峡谷信号遮挡[1]、电磁信号干扰[2]等对传统的全球卫星导航系统（global navigation satellite system, GNSS）提出了挑战。在信号遮挡及干扰严重的情况下，接收机无法在短时间内获得导航卫星完整的伪距信息；因此研究利用卫星的多普勒测量结果进行有效的初始定位具有重要意义。这里利用多普勒测量值作为观测结果进行定位的卫星星座不再局限于传统的全球定位系统（global positioning system, GPS）等中轨导航卫星，低轨（low earth orbits, LEO）通信卫星如铱星二代（iridium-next）星座[3]、轨道通信卫星（ORBCOMM）星座[4]等由于卫星部署量大、覆盖范围广、信号功率高等优点，其多普勒定位技术更是成为近年来的研究热点。

目前，多普勒定位方法主要应用于GPS快照定位技术中的初始位置获取[5]与基于低轨通信卫星星座的定位技术研究中。目前各单位的研究结果显示，利用GPS多普勒测量值获取的定位结果初值可有效控制在千米量级[6]，利用30 min采集时间内的7颗iridium-next卫星信号进行多普勒定位，在高程辅助下水平定位精度为200 m左右[7]，利用2颗ORBCOMM卫星进行多普勒定位的精度可达到360 m[8]。可以看出，当前研究主要集中在多普勒定位方法的基本实现上，对多普勒定位误差缺乏理论性的分析，缺少对提高多普勒定位精度的优化算法的研究。

本文旨在对多普勒定位方法中单颗卫星的误差放大因子（即误差矢量的大小）与误差矢量限制的方向进行分析，并提出相应的优化算法来提高定位性能。主要研究：不同轨道高度卫星进行多普勒定位时的单星误差放大因子与卫星和接收机相对位置角度间的关系；多普勒定位中误差矢量限制的方向，并据此设计最小定位误差矢量合成优化算法来提高定位精度。

1 多普勒定位原理

多普勒定位技术即通过卫星相对于用户的相对速度构建定位方程来解算用户位置的技术。世界上最早的全球导航卫星定位系统“子午仪”便是利用多普勒定位技术进行导航定位，由于只包括有限的极地轨道卫星，且需要等待卫星过顶，子午仪系统的定位时间通常是1 h[9]。而现在的卫星星座情况不同：首先天空中总会有卫星可见；其次，每颗定位卫星上已经配备精确同步的芯片级原子钟。这样可以通过卫星进行瞬时或短时间的多普勒定位。下面首先从几何层面分析多普勒定位的原理，接着通过微分方程在代数层面得到更加精确的结果。

用户接收到单颗卫星的多普勒频率即该卫星速度在卫星与用户视距方向上的投影；因此当卫星的位置与速度已知的情况下，由用户接收到该颗卫星信号的多普勒频率即可确定用户位置的范围，即用户在以卫星位置为原点，速度方向为轴，视距方向为母线的圆锥体表面上，如图1所示。因此在考虑用户与卫星频偏的情况下，通过4个以上的圆锥曲面（4颗以上的卫星）即可确定用户的位置[10]。

图1 多普勒定位原理

下面通过对伪距定位方程进行时间微分的方法从严谨的代数层面推导多普勒定位方程。伪距定位原理方程为

伪距方程组考虑测量误差后的线性化微分形式为

至此可得到基于多普勒测量值的7状态多普勒定位方程为

如果只考虑静止状态下的用户定位，那么式（5）中的未知量减少为4个；因此最少利用4颗卫星的多普勒测量值即可得出用户的位置。

2 多普勒定位误差矢量分析

在上一节对于多普勒定位原理的介绍中，只考虑了卫星与接收机间的频率误差项，实际定位中卫星轨道信息误差、大气传播误差、接收机端软硬件测量误差等都会影响最终的定位结果，这些误差直接或间接地影响多普勒测量值精度。其中不同轨道参数与模型造成的卫星轨道信息误差不同[11]，例如利用2行轨道数据（two-line orbital element，TLE）和第四版简化一般扰动模型/第四版简化深空间扰动（simplified general perturbation version 4/simplified deep-space perturbation version 4，SGP4/SDP4）模型进行外推的卫星位置误差可达千米量级[12]，进而造成10 m/s量级的测量误差，这将是多普勒定位方法的最大观测误差源。而大气传播误差与接收机端测量误差则常与信号本身的频率、带宽及信号质量有关，设计合适的信号接收方法一般可使此2项观测误差小于1 m/s。

当根据定位星座卫星的辅助轨道精度、信号参数等信息确定多普勒测量值的观测误差后，系统的定位精度即取决于定位卫星的几何构型。为了简化对定位精度的理论分析，可对定位卫星多普勒测量值的观测误差做以下假设，即各个卫星的测量误差相同且互不相关。构建静态情况下测量误差与定位误差的关系为

进而可推导定位解的误差协方差为

图2 卫星位置相对于接收机的位置表示

然后我们进行定位误差矢量的方向分析。在伪距定位中，卫星相对接收机的视距方向决定这颗卫星限制的误差方向；而在多普勒定位中，卫星速度方向和视距方向构成的直角三角形中的另一条直角边决定该颗卫星限制的误差方向，如图4所示。当卫星处于接收机正上方附近时，其限制的误差方向可以近似看作卫星的运动方向。综上可以看出，卫星仰角越高时其限制水平方向误差的效果越好。

图4 多普勒定位误差矢量方向示意

3 最小误差矢量合成优化定位算法

上述分析可以发现：利用近地轨道进行定位时考虑到定位误差矢量的大小，应尽量选择仰角高的卫星信号；同时可利用定位误差矢量方向的特性将定位结果作为一个局部搜索优化问题。优化方法的思路是：首先利用所有可见星得到初始定位结果，并以该位置为中心划定区域进行网格搜索；去除某颗星后，使定位结果与搜索位置网格的差向量与卫星速度方向上的单位向量叉乘的模最小；考虑到所有卫星后，最终优化结果就是搜索所有投影误差模的和最小的位置网格。该算法的具体流程如图5所示。

图5 最小定位误差矢量合成优化算法流程

具体算法的步骤如下：

1）输入所有可见卫星信号的多普勒观测量捕获结果。

2）通过辅助轨道信息与误差在100 km范围内的先验初始接收机位置计算理论多普勒值，与捕获到的多普勒测量值进行匹配，输出匹配成功的卫星对应的卫星号，并统计捕获到的卫星个数，若匹配到的卫星个数大于4颗，则继续后续操作。

3）首先计算包含所有观测量的定位结果，记为。

5）以的位置为中心，在一定范围内划分网格，记录每个网格点的位置。

7）遍历完所有网格中的位置点后，输出所记录的最小误差对应的位置结果。

4 实验与结果分析

为了验证最小定位误差矢量合成算法的有效性，本文于2021年10月30日在北京某地进行实验。在该固定地点对iridium-next与ORBCOMM信号进行采集，实验设备包括：便携式移动电源、iridium-next与ORBCOMM天线、高速信号采集设备，如图6所示。

图6 实际数据实验设备

实验采集了1.5 h的数据，共捕获到10颗iridium-next卫星与4颗ORBCOMM卫星，捕获结果如图7所示。

针对捕获结果的具体处理流程如下：

1）首先在捕获到的14个卫星中任选5个卫星进行组合。

2）接着从图7捕获结果可以看出在整个采集时间段内，对于每颗卫星都得到了一系列历元捕获结果。因此我们选取卫星组合中各卫星仰角最大处的10个历元进行定位。

3）然后将各个卫星信号历元对应的多普勒测量值与卫星状态信息，分别带入直接多普勒定位算法和本文提出的最小误差矢量合成优化定位算法中得到三维定位结果，并通过用户实际位置坐标分别计算二者的三维定位误差。

4）重复50次步骤1）—步骤3）的工作，并且确保每次步骤1）中的卫星组合不完全相同。

5）2种方法定位结果的50次时间序列比较如图8所示，统计2种方法50次定位结果的误差均值和均方根误差（root mean square error, RMSE），结果如表1所示。

图8 2种方法定位结果的50次时间序列比较

从表1中定位误差统计结果可以看出，本文提出的最小误差矢量合成优化算法可使定位精度优化40%以上，证明了误差矢量分析的有效性。在接收机冷启动情况下，利用直接定位算法和本文提出的优化算法对接收信号从捕获处理到输出最终定位结果的单次计算时间分别为31.7和34.6 s。计算复杂度提高了9.2%，在可接受的范围内。

表1 优化前后定位结果统计

5 结束语

本文针对传统GNSS信号遮挡及干扰严重的情况下，研究利用信号多普勒观测量进行定位的误差矢量特性，对不同轨道高度卫星星座的定位误差矢量大小问题进行分析，同时给出误差矢量方向的描述并设计出可提高定位精度的优化方法。通过实际采集的LEO卫星数据验证了算法的可用性和有效性。相关的实验结果表明：利用本文提出的优化算法进行定位，其三维定位精度可提升40%以上。

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Minimum error vector synthetic positioning algorithm using LEO satellites

WANG Danyao, QIN Honglei, WANG Yuanlin

（School of Electronic and Information, Beihang University, Beijing 100191, China）

Aiming at the problem of the poor positioning accuracy due to lack of research on positioning error vector when Doppler positioning is carried out by using low Earth orbit (LEO) satellite signal, the paper systematically analyzed the characteristics of Doppler positioning error vector, and proposed a minimum positioning error vector synthesis optimization algorithm: the initial positioning result was taken as the center to delimit the regional grid, and the sum of the projection error modules of the positioning error vector in the speed direction of the satellite was calculated after removing each satellite in turn; then all grids were traversed, and the location grids with the largest sum of the projection error modules were searched as the optimized positioning result. Experimental results showed that the mean error and root mean square error (RMSE) of the positioning results of the proposed algorithm would be both reduced, and its three-dimensional positioning accuracy could be improved by more than 40%.

low Earth orbit (LEO) satellite signal; Doppler positioning; error vector analysis; optimization algorithm; traversing the grids

P228

A

2095-4999(2023)01-0074-06

王丹瑶，秦红磊，王元琳. 利用LEO卫星的最小误差矢量合成定位算法[J]. 导航定位学报, 2023, 11(1): 74-79.（WANG Danyao, QIN Honglei, WANG Yuanlin. Minimum error vector synthetic positioning algorithm using LEO satellites[J]. Journal of Navigation and Positioning, 2023, 11(1): 74-79.）DOI:10.16547/j.cnki.10-1096.20230111.

2022-05-10

王丹瑶（1997—），女，河北邢台人，博士研究生，研究方向为低轨卫星信号定位技术的应用等。