数学史融入问题支架式概念教学研究——以“函数”第1课时教学为例*

李欣欣 (江苏省苏州市阳山实验初级中学校 215151)

1 基本情况分析

1.1 学情分析

在学习本节课之前，学生已经掌握用字母表示数、一元一次方程以及位置的变化等内容，在这些内容的基础上，学生已经能够在变量之间建立关系．

1.2 课标解读与教学目标

《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求学生能够探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例[1]．

教学目标 (1)借助情境问题支架，了解常量与变量的意义，能够确定实际问题中的常量与变量；(2)掌握在一个变化过程中函数的概念，能判断两个变量之间是否存在函数关系，能分清函数关系中的自变量与因变量；(3)学会用函数的思想认识世界，用数学的语言描述世界的变化，在数学史的融入过程中增强民族自豪感．

教学重点 认识常量与变量，能够判断在一个变化过程中两个变量之间是否存在函数关系．

教学难点 领悟在函数关系中因变量随自变量变化而变化，确定而确定的关系；能够联系实际生活举例并分析其中的函数关系，发展抽象能力．

2 主要教学过程

2.1 情境引入

情境1 一列高铁从苏州出发，驶向南京，全程约220 km，假设列车始终以200 km/h的速度匀速行驶．在行驶过程中，记行驶时间为t，已行驶的路程为S1，未行驶的路程为S2(0

问题1在列车行驶的过程中，哪些量是没有变化的？哪些量是不断变化的？

生1：行驶时间是没有变化的．

师：行驶过程中的时间是没有变化的？

生1：速度是没有变的，始终是200 km/h，变化的是已行驶的路程S1、未行驶的路程S2．

师：你说得很好，还有要补充的吗？

生1：行驶时间是不断变化的，但是行驶时间是有范围的．

师：还有同学要补充吗？

生2：行驶总路程220 km也是不变的．

师：观察得很仔细，补充得也很完整．在一个变化过程中，我们将数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量[2]．

问题2列车行驶过程中，S1与t，S1与S2之间存在怎样的关系式？

生3：S1+S2=200，S2=200-S1．

师：你描述的是同一个问题的不同表现形式，还有其他的关系式吗？

生4：S1=200t．

问题3在上述的关系式中，两个变量又是如何变化的呢？

生5：S1如果增多了，那么S2就减少了．

师：也就是说如果S1变化，则S2也在变化．同样地，如果S2变化，则S1也在变化．

生6：时间t在增大时，S1也在增大．

师：那么时间能不能一直增大？

生(众)：不能，时间有范围．

师：对，那么我们可以表述为时间t在一定范围内增大，S1也在增大．当时间t确定时，S1也确定．

情境2 爱动手操作的小明同学发现通过适当摆放火柴棒可以搭出小鱼的形状(图1)．

图1

问题1填写表1．

表1

生7：搭一条小鱼用了2+6=8根火柴棒，搭二条小鱼用了2+6×2=14根火柴棒，搭三条小鱼用了2+6×3=20根火柴棒，搭n条小鱼用了(2+6n)根火柴棒．

师：你的回答全部正确，那么对于最后一个表达式，有没有同学有不一样的表达形式的？

生8：我认为也可以用8+6(n-1)来表示，可以解释为搭一条小鱼用了8根火柴棒，搭两条小鱼用了8+6×1根火柴棒，搭三条小鱼用了8+6×2根火柴棒，那么搭n条小鱼用了8+6(n-1)根火柴棒．

师：解释得非常好，虽然我们化简后的形式是一致的，但是思考的角度不同．

问题2这个情境中的常量与变量分别是什么？

生9：常量是6根火柴棒，每增加一条小鱼，都增加6根火柴棒．

生10：变量是小鱼条数和火柴棒根数．

问题3对于一个确定的n值，对应的s有几个？你能说说n与s这两个变量是如何变化的吗？

生11：对应的s有一个．

师：更精准地说，是有……？

生(众)：对应的s有唯一的一个．

师：这也就反映了n与s这两个变量是如何变化的呢？

生12：当n确定时，s也就确定；当n变化时，s也就变化．

情境3 图2表示的是苏州近几年参加中考的学生人数．

图2 参加中考人数

问题1图2中的变量是什么？

生13：变量是年份和参加中考的人数．

师：此时的两个变量之间还能写出关系式吗？

生(众)：不能．

问题2根据图2中的数据，你能说一说2020年和2021年参加中考的人数吗？对于一个确定的中考年份，参加中考的人数有几个与之对应？

生(众)：2020年有83 329人参加中考，2021年有82 936人参加中考．对于一个确定的中考年份，参加中考的人数有唯一的值与之对应．

问题3年份与参加中考人数两个变量是如何变化的？

生14：随着年份的增大，参加中考的人数在增多．

师：是这样的变化吗？

生15：从2020年到2021年，年份在增大，但是参加中考的人数在减少．

师：那这两个变量之间的关系应该如何描述呢？

生15：应该是参加中考人数随着年份的变化而变化，同样参加中考人数随着年份的确定而确定．

师：我们再一起来感受一下这个词“变化而变化、确定而确定”，刚才的同学描述得很准确．其实随着年份的增大，参加中考的人数可能也会不断减少或者增多减少交替，这是无法预测的，因此我们只能说是参加中考人数随着年份的变化而变化．

情境4 石头投入平静的水面会形成圆形的水波向外扩散，圆的面积设为S，周长设为C，半径设为r．

问题1问题中的变量有哪些？

生16：圆的面积S，圆的周长C，圆的半径r．

师：在这个问题中，变量之间还存在着和前面一样的关系吗？

生(众)：存在．

师：这里你能写出两个变量之间的关系式吗？

生17：S=πr2，C=2πr．

问题2这个问题中也存在像上面一样的关系吗？

师：你能不能和前面一样帮助我们分析一下两个表达式中变量之间的关系？

生17：面积和周长随半径的变化而变化，确定而确定．

设计意图前3个情境借助生活问题、数学问题，搭建问题支架，引导学生理解在一个变化过程中两个变量之间的关系．通过解析式、列表、图象等方法，多维度感悟函数的表达方式．最后一个情境，让学生发散思维，主动探究变量之间存在的关系，提升学生学科素养．

2.2 归纳总结

师：从上面的4个情境中，同学们能否总结出它们的共同点？

生18：都含有变量，而且一个变量会随着另一个变量变化而变化，确定而确定．

师：还有吗？

生19：都是研究两个变量之间的关系．

生18：一个变量与另一个变量是对应的．

设计意图让学生提炼总结4个情境的共同点，为生成概念作铺垫．

2.3 生成概念

师：满足上述关系的两个变量是如何定义的呢？首先前提条件是什么？

生(众)：在一个变化的过程中两个变量之间的关系．

师：很好，一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数[2]，其中x是自变量，y是因变量．

师：我们来看一下这个定义，哪些是关键词？

生20：我认为是变化的过程，两个变量，唯一对应．

师：我们一起再来感受一下函数的定义．

设计意图利用2.2总结的共同点，引导学生自然地生成函数概念．

2.4 情境再现

师：再回顾前面的4个情境，你能说说每个情境中自变量和因变量分别是什么吗？哪一个变量是哪一个变量的函数呢？

生21：在情境1中S1是自变量，S2是因变量，S2是S1的函数．

师：有没有和他想法不一样的？

生22：S2是自变量，S1是因变量，S1可以是S2的函数．

师：这里能否说明S1或S2一定是自变量？

生(众)：没有，都可以．

生23：第二个式子中自变量是t，因变量是S1，S1是t的函数．

生23：情境2中n是自变量，s是因变量，s是n的函数．

生24：情境3中年份是自变量，参加中考的人数是因变量，参加中考的人数是年份的函数．

生24：r是自变量，C是因变量，C是r的函数；r是自变量，S是因变量，S是r的函数．

设计意图再次回顾前面学习的情境，加深对函数概念的理解．

2.5 模型应用

师：我们的生活中是否存在函数的模型呢？小组讨论，一会儿请同学们说一说．

生25：超市每天的营业额随着时间的变化而变化，营业额是自变量．

师：请你再思考，营业额是自变量吗？

生25：时间是自变量，营业额是因变量，营业额是时间的函数．

生26：煮饭时，放多少米是自变量，放多少水是因变量，放的水量是米量的函数．

师：很不错，这位同学善于观察我们生活中的知识．

生27：一个修正带用完的部分是自变量，没有用的是因变量，没有用的修正带是已经使用的修正带的函数．

生28：一个人的身高是年龄的函数．

生29：平面镜在反射光时，反射角是入射角的函数．

生30：买水果时，花费的金额是购买数量的函数．

生31：水在煮沸过程中，水的温度随时间的变化而变化，所以水的温度是时间的函数．

生32：家中用来记录时间的沙漏，漏下的沙子是自变量，没有漏完的沙子是因变量，没有漏完的沙子是已经漏下沙子的函数．

师：其实我们的生活中到处都存在着函数关系，需要我们从数学的角度去思考生活中的问题，这样一定会收获颇丰．

设计意图让学生通过观察思考，举出生活中函数的例子，将函数概念运用于实际生活，在加深函数概念理解的同时，感悟数学与生活的紧密联系．

2.6 追根溯源

师：同学们，你们知道“函数”一词在古代中国最早是由谁提出的吗？我们一起来了解一下函数的发展历史吧．1859年，清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，首次将function一词翻译为函数并引入我国．其中函通含，李善兰将函数翻译为“凡式中含天，为天之函数”．古代将天、地、人、物对应于未知数，故可以解释为凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数[3]．

师：在古代中国函数一词虽是翻译过来的，但其实早就有运用函数思想的例子了，比如我们熟知的二十四节气表(图3)．

图3

师：在图3中，我们可以发现每个节气日期不是固定不变的，每一个节气日期是随年份变化而变化的，我们可以说每一个节气日期是年份的函数；同样节气是随太阳到达黄经的度数变化而变化的，所以节气是太阳到达黄经度数的函数．

设计意图将数学史融入数学课堂，让学生了解古代中国函数发展的历史，激发学生学习数学的好奇心．

2.7 总结课堂(略)

3 课堂反馈与教学感悟

3.1 问卷反馈

通过本节课的学习，45%的学生认为函数这节课难度简单，55%的学生认为难度一般；88%的学生能够清楚地说出什么是函数，45%的学生认为完全可以将函数关系解释给其他人听，48%的学生觉得基本可以将函数关系解释给别人听；70%的学生很期待接下来的函数学习，20%的学生期待接下来的学习但又忐忑担心学不好．在如何学好函数的方式上，学生提出了可以多读与函数有关的数学历史著作、向老师请教、自己查阅资料等，也有一些学生认为通过多做练习可以更好地学好函数．从问卷的结果来看，大部分学生在本节课中掌握得较好，能够将函数的关系解释清楚．从课堂情况来看，他们积极参与，能够用生活中的实例解释函数关系，充分地将生活实际与数学相结合．有了本节课的铺垫，学生对学好一次函数、反比例函数、二次函数等其他函数也更有信心．在学习函数方式上，有部分学生提到了可以通过阅读与函数有关的数学历史著作，充分地说明了数学史融入课堂产生了积极有效的影响，对学生学好数学是大有裨益的．

3.2 教学感悟

(1)紧扣课标要求，搭建问题支架.根据课标的要求，本节课设置了4个主要情境，在每个情境基础上搭建适切的问题支架，由易到难，助推学生的自主思考与探究．在第四个情境展示出来时，即使不出现前面具有引导性的问题，学生也能认识到第四个情境的意义是什么，这就是问题支架式教学的优势所在，助力学生主动思考，激发学生学习兴趣．

(2)注重概念生成，强化概念理解.函数是一个很抽象的概念，因此本节课借助了大量情境让学生理解并感知.在函数概念生成后，不急于做题，而是回头看，充分利用好这些情境，带领学生再学习之前情境中存在的函数关系，进而强化对函数概念的理解．函数概念来源于生活模型，在充分学习函数概念后，让学生思考并举出生活中存在的函数关系例子以继续加深对函数概念的理解，感悟函数关系在生活中是无处不在的，综合数学运算和数学抽象等素养，帮助学生在自己的脑海中建立相应的数学概念[4]．

(3)融入数学历史，加强德育渗透.在教学过程中，要让学生知其然并知其所以然，因此函数概念的产生以及名称的含义是需要教师解释清楚的．在这里引入清代数学家李善兰和函数之间的故事，推动本节课的教学更上一个层次，也让学生近距离感受古代数学家的智慧．借助非物质文化遗产代表作二十四节气，向学生展示古人在编制二十四节气时就已经在运用函数的思想了．古人在生产农耕时，仔细观察天体运行，将日期、气候、太阳到达黄经度数等方面变化规律形成了科学的知识体系，由此可见数学与生活是紧密相关的．借此鼓励学生用数学的眼光看待世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言描述世界，增强学生学习数学的自信心，培养学生的民族自豪感，将德育渗透在日常的每一节课中．