高中生数学抽象素养现状的测评研究与分析

汪留屿

【摘 要】《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。数学抽象作为六个数学学科核心素养之一，不仅在很大程度上反映了数学学科核心素养的整体水平，而且直接影响其他数学核心素养的发展。为了研究高中生数学抽象素养的现状和影响因素，文章通过设计测评框架、编制测评试题、实施测评环节、分析测评结果、形成研究结论五个步骤对南通市T校343名学生进行测评，最后得到有关数学抽象素养的研究结论。

【关键词】核心素养；数学抽象；数学教学

一、引言

为应对21世纪教育面临的挑战，国际21世纪教育委员会向联合国教科文组织提交了报告《教育——财富蕴藏其中》，这个报告首次提出了四个“学会”，即学会认知、学习做事、学会共处、学会成为自己，这四个“学会”为21世纪的人才培养提供了方向［1］。2014年，教育部颁布了《关于全面深化课程改革 落实立德树人根本任务的意见》（以下简称《意见》），《意见》提出要研究制定学生发展核心素养体系和学业质量标准，把对学生的发展要求具体化，深入回答“培养什么人、怎样培养人”的问题［2］。因此，无论是联合国教科文组织，还是我国教育部，都提出要培养适合时代需求的人才。《意见》还把具体人才的培养转化为核心素养的培养，具体到各个学科及各个学段，研究核心素养已成为时代主题。《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课程标准（2017年版）》）把数学学科核心素养分为六个部分：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这六个核心素养既相互独立，又相互交融，但六个数学核心素养之间的关系怎样？彼此地位如何？这里并没有明确说明。

《课程标准（2017年版）》指出，数学抽象是指通过对数量关系和空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养，主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征［3］。可见，数学抽象素养能够反映数学的本质特征。张淑梅等人通过对2016年教育部普通高中数学课程标准测评组有关专家编制的七套试卷的测评结果进行分析，发现六大核心素养之间具有显著的相关性，数学抽象作为基础素养，直接影响其他数学核心素养的水平［4］。可以说，数学抽象的水平在很大程度上能够体现数学核心素养的整体水平，因此在六个数学核心素养中，地位显著，研究意义突出。

目前，对数学抽象的研究主要分为以下四个方面：（1）数学抽象与课堂教学的融合；（2）数学抽象的培养与提升；（3）数学抽象的内涵分析及水平划分；（4）数学抽象的测评研究。其中，研究最多的是前两种，后两种由于理论知识缺乏、实际操作困难等原因研究不多。尤其是对数学抽象的测评研究，由于各地区、各学段、各年级学生的所学内容和知识水平不一，因此在相关试题的编制上难度很大、研究较少，研究结论也难以统一。本文尝试通过研究分析数学抽象素养的具体表现，并进行差异性分析，形成研究结论，为一线教师提供教学建议。

二、研究设计

（一）研究方法

本研究采用质性研究和量化研究相结合的研究方法。质性研究是通过搜索中国知网等数据库查阅与数学抽象素养有关的文献资料，进而设计数学抽象素养的测评框架；量化研究是采用限时闭卷测验的方式测评高中生的数学抽象素养，并对测试结果进行编码、统计和分析，从而得到研究结论。

（二）研究对象

本研究选择南通市某中学的学生作为研究对象，共计343人，具体见表1。

（三）研究工具

1.高中生数学抽象素养测评框架

研究根据《课程标准（2017年版）》设计测评框架，将数学抽象素养分为三个水平，从“情境与问题”“知识与技能”“思想与方法”“交流与表达”四个认知维度来划分数学抽象素养，并对其中的部分内容进行修改和诠释（见表2）。

2.高中生数学抽象素养试题编制

试题主要从高一所学的知识中进行筛选，考查内容及来源见表3。预测试的结果表明，学生普遍在“交流与表达”的试题中表现较差，难以有效检测，因此，正式测试只测试前三个维度，具体情况见表4。

三、测试结果统计与分析

（一）试卷信度和效度分析

本研究运用SPSS软件，对343份有效試卷在4道测试题（共9道小题）中所得分数进行信度和效度分析。由于数学抽象本身是一个比较抽象的概念，在测试时难免会存在测量不到位的情况，因此在信度和效度上的要求应略低于一般问卷。研究采用[α]信度系数来分析整个试卷内部一致性信度，试卷总得分的信度系数为0.709，大于0.7，信度良好，说明测试结果具有较强的可靠性。

此外，研究还利用SPSS软件进行因子分析，选择KMO和Bartletts检验，可以得出显著性水平为0.000，小于0.05，同时KMO的值为0.734，大于0.7，说明问卷的结构效度良好。

（二）数学抽象素养总体分析

本次测试卷总分40分，经统计，T校343名高中生总平均分为24.20分，得分率为60.5%。对学生的具体得分情况进行统计分析，试卷总分40分，以总分的[1/4]，[1/2]，[3/4]作为分界线，分为0—10、11—20、21—30、31—40四组（如图1）。其中，有36.44%的学生得分在31分及以上，有27.99%的学生得分在21分到30分之间，有28.57%的学生得分在11分到20分之间，有7.00%的学生得分在10分及以下。因此，在本次高中生数学抽象测试中，有超过[1/3]的学生得分表现优秀，仅有不到[1/10]的学生得分表现很差，总体表现不错。

由于各题总分设置有所不同，因此本研究在各题具体分数后还添加了得分率，即平均得分除以满分分数再乘以100%（如图2）。

从图中可知，得分率最高的三道题分别是第四题第一问、第四题第二问和第一题第二问，而这三小问都在水平一中，可见，学生对水平一的内容掌握较好。而得分率最低的三道题分别是第四题第四问、第四题第三问和第三题第二问，而这三小问都在水平三中，可见，学生对水平三的掌握较弱。因此，这基本符合学生的学习情况，也从侧面说明了测评框架的合理性。

根据统计结果，本研究进一步分析高中生数学抽象素养各水平及各维度上的具体表现。

从表5可以发现，有78.75%的学生达到水平一，有64.64%的学生达到水平二，有40.64%的学生达到水平三，總体表现不错。

从表6可以发现，被测试学生维度一（情境与问题）得分率为68.54%，维度二（知识与技能）得分率为72.50%，维度三（思想与方法）得分率为39.54%。其中，维度二的得分率最高，说明学生对基本知识技能掌握得很好；维度三的得分率最低，说明学生对思想方法的理解不足。

总的来说，T校绝大多数学生的数学抽象素养都达到了水平一的程度，还有一小部分学生的数学抽象素养达到了水平三的程度，学生对基本知识的掌握较好，对思想方法的理解较弱，总体表现不错。

（三）高中生数学抽象素养的差异分析

1.高中生数学抽象素养的年级差异分析

研究选择T校高一创新班72人，高二创新班68人进行测试，高一创新班总均分为29.59分，高二创新班总均分为30.65分，差距不大，对两个班级在各水平及各维度上的得分进行均值比较。

从表7可以发现，高二创新班在各水平的平均分均高于高一创新班，但差距很小。

从表8可以发现，高二创新班在维度一（情境与问题）上的得分高于高一创新班，但在维度二（知识与技能）和维度三（思想与方法）上的得分都较低，这说明高二学生在新情境中解决问题的能力较强，但在基础知识和基本方法上的掌握程度较低，可能和复习迎考有关。

为了探究不同年级学生在数学抽象素养上的表现是否具有显著性差异，对其进行显著性检验（见表9）。

从表9可以发现，水平一的P值等于0.313，水平二的P值等于0.895，水平三的P值等于0.206，均大于0.05，故各水平上不存在显著性差异。维度一的P值等于0.000，维度二的P值等于0.015，存在显著性差异，维度三的P值等于0.776，无显著性差异。总的来说，可以认为高一、高二学生数学抽象素养的水平不存在显著性差异，但高一学生对基础知识的掌握更好，高二学生对问题情境的处理更强。

2.高中生数学抽象素养的性别差异分析

研究选择T校女生169人与男生174人进行测试，女生的总平均分为21.21分，男生的总平均分为27.02分，对男女生在各水平及各维度上的得分进行均值比较。

从表10可以发现，男生在各水平上的平均分均高于女生，随着水平的升高，差距逐渐增大。

从表11可以发现，男生在各维度上的平均分均高于女生，维度一（情境与问题）差距较大，维度二（知识与技能）和维度三（思想与方法）差距不大，这说明男生在新情境中处理问题的能力较强。

为了探究不同性别学生在数学抽象素养上的表现是否具有显著性差异，对其进行显著性检验（见表12）。

从表12可以发现，三个水平和三个维度的P值均小于0.05，故存在显著性差异。因此，可以认为不同性别高中生的数学抽象素养存在显著性差异，男生的数学抽象素养更高，尤其擅长从新情境中解决问题。

3.高中生数学抽象素养的文理差异分析

研究根据T校文理生比例选择高二理科班（以下简称理科班）133人与高二文科班（以下简称文科班）70人进行测试，理科班总平均分为21.91分，文科班总平均分为16.54分，对文理生在各水平及各维度上的得分进行均值比较。

从表13可以发现，理科班学生在各水平上得分均高于文科班学生，随着水平的升高，优势更加明显。

从表14可以发现，理科班在各维度上得分均高于文科班，在维度一（情境与问题）上差距最大，在维度三（思想与方法）上差距最小。这说明理科生在新情境中解决问题的能力较强，而在思想方法的理解上，文理生差异较小。

为了探究文理科学生在数学抽象素养各个水平及维度上的表现是否具有显著性差异，对其进行显著性检验。研究发现，水平一P值大于0.05，水平二和水平三的P值均小于0.05，因此，文理科学生在水平二和水平三上存在显著性差异。维度一和维度二的P值均小于0.05，维度三的P值大于0.05，因此，文理科学生在维度一和维度二上存在显著性差异。总的来说，文理科高中生在数学抽象素养上的表现存在显著性差异，理科生对基本知识的掌握和处理问题情境的能力更强。

四、研究结论及教学建议

（一）研究结论

1. T校高中生数学抽象素养整体情况良好，绝大多数学生的数学抽象素养达到水平一，其中将近[13]的学生能够达到水平三。

2.高一、高二学生的数学抽象素养不存在显著性差异，两者对思想与方法的理解程度接近，高一学生对基础知识的掌握更好，高二学生在新情境中处理问题的能力更强，这可能和高二学生复习备考、知识遗忘有关，总体差异较小。

3.高中男女学生的数学抽象素养存在显著性差异，男生数学抽象素养的平均水平明显高于女生，尤其是处理新情境问题的能力优势显著。

4.高中文理科学生的数学抽象素养存在显著性差异，选修物理的理科生数学抽象素养的平均水平明显高于选修历史的文科生，尤其是对基本知识的掌握和处理新问题情境的能力，理科生优势明显，这或许和理科生中男生比例较大有关。

（二）教学建议

1.围绕核心素养，制订教学目标

研究结论表明，高一、高二学生的数学抽象素养不存在显著性差异，尽管高二学生存在知识遗忘或备考复习等情况，但依然表明学生在经历了一年的学习后，数学抽象素养并没有得到较大提升。

数学学科核心素养是数学课程目标的重要内涵，形成于数学学习的整个过程中，具有阶段性、连续性、整合性等特点。不同于具体数学知识的教学，数学学科核心素养的培养不依赖于某几节课的教学，而是渗透在整个高中教学过程中，而且难以在短期内实施有效评价。因此，数学教师在设计教学前，必须深入理解数学学科核心素养的具体内涵、价值及表现，明晰六个数学学科核心素养在不同水平及不同维度上的大体要求。数学教师要结合特定的教学任务，把握数学学科核心素养与具体教学内容的联系，思考相应数学学科核心素养在教学中的生长点，并据此制订教学目标，包括章节目标、单元目标乃至课堂目标，明确这些目标对实现数学学科核心素养的贡献。如制订函数章节的教学目标时，除了知识技能与思想方法层面，还需让学生在理解函数概念和性质的过程中提升数学抽象素养，在解决数形结合问题时提升直观想象素养，在实现函数、方程及不等式的转化中提升逻辑推理素养，在解决实际问题的过程中提升数学建模和数学运算素养等。

2.关注学生特点，改进教学模式

研究结论表明，学生数学抽象素养的水平受多个因素影响，例如与性别、选科等因素都有关系。男生数学抽象素养的平均水平高于女生，尤其擅长处理新情境问题，选修物理的学生数学抽象素养的平均水平高于选修历史的学生，对基础知识的掌握更好。

在新高考模式下，除了传统意义上以成绩区分班级差异，性别、选科、组合等也成为极具参考意义的因素，而班级特点是开展一切教学活动的出发点。在设计教学前，数学教师需要认识班级间的差异，了解学生的学习起点，把握班级的学情特点，并以此作为选择班级教学模式的依据。我们常用的数学教学模式包括以教师讲解为主导的讲授教学模式，以提出问题、启发讨论为核心的启发式教学模式，以问题为线索贯穿课堂的问题解决教学模式和以提出问题、学生多途径探究为主的探究教学模式等。尽管这些教学模式特色鲜明、理论丰富、操作清晰，但由于班级差异，教师在运用教学模式时还需稍加改进，要结合班级特点适当增加或减少某些环节和内容，以符合实际班情。如在导数的教学中，女生多的班级要适当增加情境的数量，降低问题的难度，多让学生在处理问题过程中体会导数的含义，实现对导数概念的深入理解。

3.优化教学环节，深化思想方法

研究结论表明，学生在数学抽象维度三“思想与方法”上的表现最差，这说明，学生对数学思想的理解、对基本方法的掌握较弱，究其原因，一方面是数学思想方法本身抽象程度高，学习难度大；另一方面是由于数学教师在教学中重视程度不足，教学方法不佳。

数学思想与方法是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识和基本看法，通常蕴含在数学概念、原理、命题的抽象过程及数学问题解决的过程中。数学思想方法是基于数学知识又高于数学知识的一种隐性知识，是一种高度抽象的产物，要在反复的体验和实践中才能使学生逐渐认识和理解，进而转化为个体认知结构中的稳定成分。因此，数学思想方法的教学依赖于教师的教学设计，需要通过创造情境激发学习兴趣，提出问题引发积极思考，开展活动促进深度探究，让学生在整个学习过程中由浅入深、由表及里地逐步感受数学思想方法的内涵与价值，实现数学思想方法的内化。如在学习空间向量时，数学教师可以先创设情境引入空间向量的概念，接着提出问题“可以从哪些角度研究空间向量？”，激发学生思考，进而回忆平面向量的知识结构，最后开展活动“推广空间向量的线性运算”，实现类比思想的教学与深化［5］。

参考文献：

［1］滕珺. 21世纪核心素养 外国人怎么说［N］.中国教育报，2016-03-04（6）.

［2］教育部关于全面深化课程改革 落实立德树人根本任务的意见［EB/OL］.（2014-03-30）［2022-10-12］http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A26/jcj_kcjcgh/201404/t20140408_167226.html？pphlnglnohdbaiek.

［3］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2017.

［4］张淑梅，何雅涵，保继光.高中数学核心素养的统计分析［J］.课程?教材?教法，2017（10）：50-55.

［5］汪留嶼.基于数学抽象的高中数学章节起始课教学设计：以“空间向量与立体几何”为例［J］.中学教研（数学），2022（6）：30-34.

（责任编辑：陆顺演）