含未知磁滞输入的机械臂系统预设性能控制

杨朋举，刘 烨，黄小刚，王承茂

(上海工程技术大学电子电气工程学院，上海 201620)

0 引言

近几十年来，机械臂因其质量轻、能耗低、灵敏度高等优点而被广泛应用于工业、医疗及航天等领域[1]。目前，学者已提出众多与机械臂相关的控制策略，主要包括反演控制[2]、滑模控制[3]、无源控制[4]和容错控制[5]等。其中反演控制因在非线性项处理方面独具优势，逐渐成为设计非线性系统控制器的有力工具，但因其需对虚拟控制率反复求导而促使系统微分项不断膨胀，最终导致复杂性爆炸问题。为解决该问题，文献[6]提出利用一阶滤波器估计虚拟控制率导数的动态面控制策略，极大降低了控制器设计难度。在此基础上，文献[7]将该策略应用于含非线性项及扰动的机械臂控制器设计，而文献[8]进一步将未知饱和输入考虑在内，消除了饱和输入对执行器的影响。然而，上述文献均未考虑执行器受其内部磁滞效应的影响。

在实际应用中，磁滞效应广泛存在于工业设备以及物理系统，如继电器[9]、电磁场[10]、含智能材质的传感器[11]以及执行器[12]等。机械臂作为常见的工业设备，其执行器通常因内部存在智能结构而深受磁滞效应影响，这极大影响系统输出精度，甚至导致闭环系统失稳，故消除磁滞效应以提高控制精度成为研究重点。目前，存在2种解决磁滞问题的控制策略：一种是构建磁滞逆过程，并将其级联至系统输入端[13]；另一种是采用鲁棒控制策略消除磁滞现象[14]。因磁滞逆构建过程复杂，且其输出量又对内部参数敏感，故上述鲁棒策略更具优势。近年来，学者已采用鲁棒策略提出众多高效方案，并设计一系列磁滞模型，如Bouc-Wen磁滞[14]、PI磁滞[15]和类间隙磁滞[16]等。虽然上述方案能有效消除磁滞特性对系统执行器的影响，但其均致力于改善系统的稳态性能而未考虑瞬态性能问题。

为了确保系统的瞬态性能，文献[17]提出一种预设性能控制策略，通过转换跟踪误差获取新的误差变量，据此设计自适应控制器。在此基础上，文献[18]构造一种新型误差转换函数，并将其应用于机械臂控制器的设计以约束跟踪误差的超调量，但此函数在误差转换时需求逆函数，此时可能导致奇异性问题，促使跟踪误差跃界并造成系统失稳。为了解决该问题，文献[19]使用Funnel变量约束跟踪误差的收敛特性，放宽了对系统阶数的限制，而文献[20]进一步构造新Funnel变量以解决传统Funnel变量的不可微问题。虽然对非线性系统预设性能控制的研究已相当深入，但对机械臂磁滞系统的预设性能动态面控制的研究较少，其难点在于能消除磁滞影响且能确保预设性能的控制器设计。

针对含未知磁滞输入的单连杆机械臂系统，提出一种神经网络动态面预设性能控制策略。对于工业生产中常用的机械臂控制系统，从同时提高其稳态和瞬态性能的角度出发，在其执行器内含智能材料的情况下，仍然能对其保持高精度的控制。利用Bouc-Wen模型描述系统执行器内的磁滞现象，结合自适应技术在线消除磁滞特性的影响；采用动态面策略设计控制器，避免传统反演策略固有的微分膨胀问题，从而极大地降低控制器的设计难度；利用Funnel变量和性能边界函数约束系统位置跟踪误差的收敛特性，确保该误差收敛至预定范围。

1 问题描述

考虑含未知磁滞输入的单连杆机械臂，如图1所示。根据拉格朗日建模方法，其动力学方程[8]为

图1 单连杆机械臂

(1)

本文选取Bouc-Wen磁滞模型描述机械臂执行器内的磁滞现象，其数学定义[14]为

H(u)=ε*ζ*u+(1-ε*)ζ*ξ*

(2)

式中：ε*为刚度比，0<ε*<1；ζ*为与伪自然频率相关的正参数；ξ*为辅助变量，其导数为

(3)

式中：ϑ*和φ*分别为用于描述滞环形状和振幅大小的设计参数，ϑ*>|φ*|；λ*为滞环曲线的光滑性参数，其能够控制滞环曲线从初始斜率至渐近斜率的过渡光滑性，λ≥1。

该模型滞环特性曲线如图2所示，此时需满足ξ*(0)=0，u(t)=4sin(2t)，ε*=0.25，ζ*=15，ϑ*=2，λ*=1和φ*=0.25。

图2 Bouc-Wen滞环特性曲线

(4)

式中y为系统输出。

控制目标是消除未知磁滞输入的影响，确保系统输出跟踪参考轨迹，使闭环系统内全部信号达到半全局有界，并同时改善系统稳态与瞬态性能。为达到此目标，引入如下假设与引理：

引理1[8]：利用径向基神经网络(RBFNN)将定义在紧集内的未知光滑函数f(φ)估计为

f(φ)=W*TΨ(φ)+δ(φ)

(5)

(6)

式中ϑl和ζl分别为节点l的基宽度以及中心向量。

|ξ*(t)|≤max{|ξ*(0)|,1/(ϑ*+φ*)1/λ*}

(7)

式中ξ*(0)是ξ*的初值。

2 动态面控制器设计

动态面控制策略沿用传统递归设计理念，将高阶系统分解为低阶系统，逐步为低阶系统设计虚拟控制率，并使用滤波器估计虚拟控制率导数，最终推出实际控制量。为便于设计，进行如下变换：

(8)

系统控制结构如图3所示。

图3 控制结构图

详细设计步骤如下：

第1步：对位置跟踪误差e1进行变换得到新误差变量z1，其可被称作Funnel变量[20]，其定义为

(9)

式中：yd为连杆位置的参考轨迹输出量；Fω为控制系统的性能边界函数，其定义为

Fω(t)=(ρ0-ρ∞)exp(-β*t)+ρ∞

(10)

式中：ρ0、ρ∞和β*分别为Fω的初值、终值和指数函数的收敛率；|e1(0)|

根据式(9)，得

(11)

将虚拟控制率α1设计为

(12)

式中c1为正设计参数。

为了规避反演法固有的“微分膨胀”问题，利用如下一阶滤波器对α1进行滤波：

(13)

式中σ1为时间常数，σ1>0。

根据式(8)和式(13)，得

(14)

(15)

利用不等式

(16)

并结合式(11)～式(14)，对式(15)求导，得

(17)

第2步：根据式(4)和式(8)，z2的导数为

(18)

式中：η=K/(ML2)；f1(φ1)=-F(x2)/(ML2)。

根据引理1，利用RBFNN将f1(φ1)估计为

(19)

式中：φ1=x2；|δ1(φ1)|≤λ1,λ1为未知正常数。

利用杨氏不等式，得

(20)

将α2设计为

α2=-[c2z2+(η2+1)z2/2-ηx1-gsinx1/L+

(21)

将其自适应率设计为

(22)

对α2滤波，即

(23)

式中σ2为时间常数，σ2>0。

根据式(8)和式(23)，得

(24)

(25)

利用不等式

(26)

并结合式(18)～式(24)，对式(25)求导，得

(27)

第3步：根据式(4)和式(8)，z3的导数为

(28)

其次，将该步的虚拟控制率α3设计为

(29)

式中c3为正参数。

对α3进行滤波，即

(30)

式中σ3为时间常数，σ3>0。

根据式(8)和式(30)，得

(31)

(32)

利用不等式

(33)

并结合式(28)～式(31)，对式(32)求导得

(34)

第4步：根据式(4)和式(8)，z4的导数为

(35)

(36)

利用杨氏不等式，得

(37)

将系统的实际控制量u设计为

(38)

将其自适应率分别设计为

(39)

然后，将该步的Lyapunov函数选取为

(40)

利用不等式

(41)

并结合式(35)～式(39)对式(40)求导，得

(42)

3 稳定性分析

将该方案的稳定性分析以定理形式给出，如下所示：

证明：为了方便分析，不妨令Z=[z1,z2,z3,z4]，S=[s1,s2,s3]，并定义如下紧集：

(43)

式中R0和R1均为正常数。

将整个系统Lyapunov函数选取为V=V1+V2+V3+V4。利用不等式

(44)

结合式(17)、式(27)、式(34)以及式(42)对V求导，令1/σk-1≥0(k=1,2,3)，得

(45)

并对式(45)求解，得

0≤V(t)≤υ/(2θ)+[V(0)-υ/(2θ)]exp(-2θt)

(46)

其说明整个闭环系统内所有信号均能达半全局有界。

根据式(9)和式(46)，得

(47)

4 仿真研究

表1 机械臂系统参数

仿真结果如图4～图7所示。图4是连杆跟踪参考轨迹的响应曲线。图5是连杆位置跟踪误差及其性能边界的变化曲线。图6是本文控制方案的电机控制力矩响应曲线。根据图4～图5，可见本文预设性能动态面控制器不仅能降低跟踪误差的最大超调量，且能改善系统的稳态性能。为进一步展示本文控制器的抗磁滞性能，在保持现有条件不变的情况下，与无磁滞补偿的控制器对比。仿真结果如图7所示，可见本文控制器能消除执行器内磁滞效应的影响，进而有效改善控制系统的稳态性能。

图4 连杆位置输出量及其参考轨迹

图5 连杆位置跟踪误差及其性能边界

图6 电机控制力矩

图7 连杆位置跟踪误差

5 结论

针对含未知磁滞输入的单连杆机械臂系统，本文提出一种神经网络预设性能动态面控制方案。首先利用磁滞模型描述系统执行器内的未知磁滞现象，其次利用神经网络逼近系统内的未知函数，同时利用Funnel变量和性能边界函数约束跟踪误差最大超调量，据此采用动态面策略设计控制器。结果表明该控制器能使闭环系统内全部信号达半全局有界，并能保证跟踪误差的预设性能。仿真结果显示此方案能有效消除磁滞效应对系统执行器的影响，并能同时改善系统的稳态及瞬态性能。