基于大小交路的城轨列车开行频率与票价综合优化方法

陈治亚，苏慧杰，徐光明，欧阳灏

(中南大学 交通运输工程学院，湖南 长沙 410075)

城市公共交通系统中包含多种运输方式，其中城市轨道交通以能耗低、运量大、换乘便捷等优势成为城市公共交通的重要支撑和旅客出行的优先选择，承担了大量旅客运输工作，截止到2020年底，城市轨道交通近五年来共输送旅客约971.5亿人次。但随着城轨线网的不断完善，部分线路客流出现时空分布不均衡现象，具体表现为高峰时段与其他时段出行客流量差异性较大和线路部分区间断面客流量突变等。针对上述客流分布特征，为缓解高峰时段客流压力，提升列车运输能力利用率，当前学者主要对城市轨道交通列车开行方案优化、城市轨道交通票价优化及两者的综合优化展开研究。HASSANNAYEBI等[1]在考虑客流出行需求和列车发车时间不固定的基础上，设计两阶段模拟方法生成列车发车时刻表。CANCA等[2]通过分析开行小交路列车对满载率和乘客平均等待时间的影响，构建以小交路列车分担客流最大化为目标的开行方案优化模型。TIRACHINI等[3]以企业运输成本和乘客出行成本最小为目标，以区间车折返站位置和发车频率为决策变量，构建开行区间车的优化模型。DELLE等[4]以运输乘客最大化和运营企业收益最大化为目标，构建开行区间车的公交优化调度模型。代存杰等[5]通过分析乘客出行需求的时空特征，考虑动态客流需求及大、小交路开行模式，从乘客、列车和企业3个角度构建列车开行方案的多目标混合整数非线性优化模型。姚恩建等[6]从城市轨道交通服务的效率和公平特性出发，提出面向列车运能利用和乘客延误度均衡的城市轨道交通大小交路开行方案优化方法。邓连波等[7]从乘客弹性出行需求角度考虑，构建基于弹性需求的多目标双层规划模型，并设计模拟退火算法进行求解，得到线路各运营时段大小交路开行频率、列车编组数量和运营时段时长。ARMSTRONG等[8-9]基于旅客的出行行为，对旅客在不同票价水平下对票价升高或降低的敏感程度展开研究。马芳[10]在计算高峰期阻抗函数时考虑了拥挤效应和换乘延误时间，完善了乘客高峰时期出行的出行费用。周文梁等[11]通过对OD间服务列车进行聚类分级，构造价格-需求弹性函数，构建以客票票价收益最大化为目标的协同优化模型。杨文静[12]在汇总分析国内城市轨道交通客流特征、票制和票价优惠现状基础上，引入需求弹性理论，重点研究北京市轨道交通不同类型乘客的票价敏感性，并提出3种适用的分时票价策略。禹丹丹等[13]基于地铁峰前折扣政策，研究其对乘客出发时间的影响，并测定了不同类别乘客出行发时间对票价变动的敏感程度。邹庆茹等[14]基于票价变动对高峰客流的影响，在考虑了运营企业可承担的收益损失外，构建以列车运力运量最大化为目标的峰前折扣定价方案编制模型。刘文驰等[15]在充分考虑城市公交定价及其发车频率对乘客需求和路径选择影响的情况下，通过构建双层规划模型并对具有弹性需求的城市公交网络进行了票价结构和发车频率的组合优化。在现有研究基础上，本文对城市轨道交通票价和线路大小交路列车开行频率进行综合优化，考虑旅客弹性出行需求，结合旅客的出行时段选择行为，分析不同运营时段内的旅客出行需求，构建双层规划模型，并设计算法进行求解。

1 问题分析

1.1 符号定义

为便于描述城市轨道交通不同运营时段内旅客出行需求，鉴于城市轨道交通线路上下行客流分布特征的相似性，本文仅考虑线路上行方向出行旅客。如图1所示，将城市轨道交通线路记为(N，A)，N和A分别表示线路节点集和区间集，其中N={1，2，…，n}表示沿上行方向进行排列的车站。设定线路开行大小交路，Nˉ为小交路列车运行区间节点集，n1，n2为小交路列车折返站，n1，n2∈Nˉ∈N，Aˉ为小交路列车运行区间集，Aˉ∈A。定义W为旅客出行需求的OD对集合，Wˉ表示小交路区段内旅客出行需求的OD对集合，Wˉ∈W，其中rs表示起点为r终点为s的对OD，rs∈W，且1＜r＜s＜n。

图1 城轨线路多时段开行方案示意图Fig. 1 Schematic diagram of multi- period operation scheme of urban rail line

根据旅客出行需求随时间的变化规律，将城市轨道交通总运营时间划分为若干个运营时段，城市轨道交通列车全日总运营时间为[ts，te]，定义T={t=1，2，…，m}为运营时段集合，其中m表示划分时段个数，每个时段时长为例如Δt取值为1，表示设定1 h为一个时段，并将每个运营时段内首辆车在始发站的发车时间定义为该运营时段的起始时间。为使优化方案与各运营时段旅客出行规律更加吻合，本文以时段为基本单位，研究城市轨道交通列车全日总运营时长范围内多个时段内的列车开行频率及OD出行票价。

定义flt表示t运营时段内l交路的列车开行频率，其中l=1表示大交路列车，l=2表示小交路列车。如图1中所示，不同运营时段内根据实际客流情况确定列车开行方案。每个时段内列车开行频率等于发车时间位于该时段内的所有列车数，例如f11，f12，f13表示发车时间位于1，2，3时段内的大交路列车开行数量，同理f21，f22，f23表示发车时间位于1，2，3时段内的小交路列车开行数量。

对城轨线路客流进行分析，将OD对rs的潜在出行需求记为Qrs，基于OD对rs的期望最小出行费用及客流的弹性需求系数，将OD对rs的弹性出行需求记为qrs，基于不同运营时段内OD对rs的出行费用的差异性，将OD对rs在t运营时段内的出行需求记为。

为便于阐述问题模型，现对本文中优化问题做出相关基本假设：

1) 研究线路各OD之间潜在客流需求已知，不考虑旅客换乘情况。

2) 线路开行大小交路列车车型相同、编组数量相同，列车运行过程中均为站站停。

1.2 旅客出行费用分析

旅客在进行出行时段选择时，通常以出行费用作为选择依据。旅客整个出行过程中，出行费用包括时段固定费用、车票费用、候车时间费用、在车时间费用和旅客在车拥挤费用5个部分。

在城市轨道交通运营时段内，由于不同运营时段对旅客出发的吸引程度存在差异，从而出行客流具有明显的时段特征，即时段固定费用。用量化表达时段t中OD对rs的时段出行固定费用，该费用与旅客出行客流量多少无直接联系，与出行人群类别、出行者职业及出行者不同出行目的分布相关。

旅客车票费用采用票价率和基础票价进行量化表达，t运营时段内OD对rs的车票费用为

式中：pt为t运营时段内票价率；Prs为OD对rs基础票价。

旅客车站候车时间是候车时间费用的具体表现形式，既有研究表明，乘客到达车站的过程可以看作是一个独立于列车到发车站的过程，且到达过程呈均匀分布，乘客的平均候车时间取发车间隔的一半。所以，在t运营时段内出发的OD对rs的候车时长为

旅客的在车时间费用以列车纯运行时间Irs进行量化表达，本文中列车运行速度为固定值，即旅客的在车时间费用仅与出行距离有关。

当运营时段内区间断面客流量大于列车运输能力时，会产生拥挤费用。本文以时段为单位，计算时段内所有旅客的平均在车拥挤感知费用，旅客在车拥挤感知费用由区间拥挤度进行量化表示。

在t运营时段内，区间(k，k+1)的断面客流量为

表示在t运营时段内从k站上车经过区间(k，k+1)的旅客数，计算公式如下

在t运营时段内，区间(k，k+1)的拥挤度可以表示为

式中：α和τ分别表示车厢拥挤系数；tk表示区间(k，k+1)的列车纯运行时间。

综上所述，运营时段t内OD对rs的出行费用为

式中：σ为时间转移参数。

2 双层规划模型构建

城轨线路客流时空分布情况与列车开行频率和票价密切相关，为保证各运营时段内线路列车运输能力和票价与旅客出行需求相匹配，本文构建双层规划模型。上层模型为多时段大小交路列车开行频率及票价综合优化模型，下层模型为基于弹性需求的多时段随机客流分配模型，上层模型对大小交路列车开行频率和票价进行合理优化，下层模型中客流分配结果评价大小交路列车开行频率和票价优化效果，并将优化效果反馈至上层模型，上层模型根据下层模型的反馈信息调整优化方案，最终实现城轨线路多时段下大小交路列车开行频率和票价综合优化。

2.1 基于弹性需求的多时段随机客流分配模型

旅客出行费用大小直接影响乘客的出行行为选择，通过对不同运营时段内出行费用的比较，旅客出行选择可在不同运营时段之间发生转移。以旅客不同时段内的出行费用作为效用函数，表示OD对rs选择时段t出行的效用，采用Logit模型，OD对rs在运营时段t内的出行概率可以表示为：

式中：θ为正标度参数。

当OD对rs在所有时段的出行费用相等时，即所有时段出行费用均为最小出行费用，所有时段被选择的概率均等。记为OD对rs的期望最小出行费用，可以表达为

通过构造旅客弹性出行需求函数描述OD出行需求量与旅客出行费用之间的关系，引入弹性系数，采用指数函数形式对客流需求进行量化表达，OD对rs的可以表示为如下形式：

结合旅客弹性出行需求，线路中多时段间的客流分配过程可由Logit模型进行确定，则OD对rs的旅客在运营时段t内的出行需求可以表示为

基于弹性需求的多时段随机客流分配模型由公式(1)～(14)表示，构造非线性互补问题模型如下：

2.2 多时段大小交路列车开行频率及票价综合优化模型

针对城市轨道交通特性，本文综合优化方案的服务对象为旅客，所以企业效益应从服务旅客效益和企业运营成本支出两方面进行综合考虑，即本文中企业效益通过服务旅客效益和运营成本之差进行表示。其中，以所有旅客的票价成本表示企业的票价收益，表示企业的车票收入，以所有旅客人车公里数表示企业所实行列车开行方案所能提供的客流服务水平，以企业运营成本表示企业维持列车正常运转及服务更多旅客所需的费用成本。

在城市轨道交通列车全日总运营时长范围内，运营企业的票价收益可以表示为

在城市轨道交通列车全日总运营时长范围内，所有旅客人车公里可以表示为

企业运营成本由列车费用和人工费用组成，其中列车费用由列车走行公里数进行量化，人工成本由列车运行时间进行量化，在城市轨道交通列车全日总运营时长范围内，企业运营成本可以表示为

综上所述，多时段大小交路列车开行频率及票价综合优化模型可以表示为

式中：通过下层模型中的客流分配方法求得；drs表示r站与s站之间站间距，km；μ表示每列车公里费用，元/km；ε表示单列车运营费用，元/列；ϑ为费用转换参数；fmax为线路最大发车频率，列/h；fmin为线路最小发车频率，列/h；pˉ和p˭分别表示票价率最小、最大取值。式(19)～(21)为发车频率约束；式(22)为票价率约束，防止票价倒挂。

3 算法设计

双层规划模型是一个NP-Hard问题，一般采取启发式算法进行求解，作为启发式算法之一的遗传算法是模拟自然进化过程搜索最优解的方法，具有较强的适应性，较多研究将其应用于求解列车开行方案问题，因此，本文根据模型特征，设计嵌套Logit随机用户客流分配方法的遗传算法对模型进行求解。主体算法为遗传算法，基于Logit的随机用户客流分配算法用来求解给定列车开行频率和票价下的多时段客流分配问题，同时下层模型得到的客流分配结果作为参数反馈至上层模型，通过上下层模型的反复迭代调整，最终得到最优的大小交路列车开行频率和票价。

3.1 基于Logit的随机用户客流分配算法

输入：城市轨道交通线路(N，A)，OD对rs的潜在出行需求Qrs，小交路运行车站集，小交路列车运行区间集，运营时段集合T，时段固定费用ΔCrst，列车标准载客量M，拥挤度校正系数α，τ，时间转移参数σ，弹性需求系数ωrs，正标度参数θ，收敛精度ε，迭代次数N。t∈T，rs∈W。

输出：OD对rs在t运营时段内的出行需求，OD对rs的弹性出行需求qrs。

步骤1：初始化，n=1；

当t∈T，rs∈W，初始化OD对rs在t运营时段内的出行需求(n)=0；

当rs∈W，初始化OD对rs的弹性出行需求qrs(n)=0；

步骤2：Logit随机用户均衡分配

利用式(1)～(5)计算OD对rs在t时段的出行费用(n)；

利用式(8)计算OD对rs在t时段出行的期望最小出行效用；

利用式(9)得到OD对rs的弹性出行需求(n)；

利用式(7)计算OD对rs的旅客在运营时段t内的出行比例(n)；

利用式(10)计算OD对rs的旅客在运营时段t内的出行需求(n)；

步骤3：MSA流量更新

步骤4：检查收敛性

如果迭代次数n＞N或1＜n＜N满足精度要求

算法停止迭代；

否则n=n+1；进入步骤2。

3.2 遗传算法

染色体编码、解码过程

编码：上层模型决策变量为多时段大、小交路列车开行频率f1t，f2t及多时段票价率pt，均为离散变量，因此，本文采用0-1二进制编码方式对染色体进行编码。

大交路列车开行频率取值范围为(fmin，fmax)，区间长度为d1=fmax-fmin，设定区间精度为m，则区间共包含(d1/m)个取值。二进制串长度n满足2n-1＜(d1/m)＜2n-1，即大交路列车开行频率二进制串长度n1=[log2(d1/m)]+1。同理，小交路列车开行频率二进制串长度n2=[log2(fmax/m)+1]，票价率二进制字符串长度

解码：将二进制字符串转化为十进制的过程为染色体解码过程，即利用区间占比完成该步骤，转换公式可表示如下：

式中：mi，ki，ui分别为大列车开行频率基因、小交路列车开行频率基因和票价率基因对应二进制字符串。

受模型约束(19)～(21)限制，随机生成的初始解可能不满足约束条件，为避免产生不可行解，尽快达到最优解，提出初始染色体生成方案：

步骤1：根据染色体中各基因编码长度随机生成各时段大、小交路列车开行频率f1t，f2t及票价率pt。

步骤2：对随机生成的大、小交路列车开行频率进行判断，若f1t+f2t≤fmax∀t∈T，则满足初始解生成需求，否则令f2t=fmax-f1t，即生成初始解。

遗传算法流程

步骤1：初始化。设定种群规模N，变异概率Pm，交叉概率Pc，迭代次数Lmax。从初始解中选取N个染色体作为父代种群，令初始迭代次数L=0；

步骤2：适应度函数计算。本文中直接将目标函数值作为适应度函数值；

步骤3：选择操作。根据各染色体适应度函数值及轮盘赌策略从父代中选择N个个体构成子代种群，迭代次数L=1；

步骤4：交叉操作。选择单点交叉，给定交叉概率Pc，从子代种群中随机选择2个染色体，生成随 机 数δ∈(0，1)，若δ≤Pc，随 机 产 生 整 数φ∈[1，|φ|]，将2染色体的第φ位至第|φ|位基因进行互换，产生2个新的子代染色体。若δ＞Pc，则不进行交叉操作；

步骤5：变异操作。给定变异概率Pm，产生随机数τ∈(0，1)，若τ≤Pm，则执行变异操作。随机选取种群中某个个体中的某些基因进行二进制等位替换，从而形成新的个体。判断变异后染色体是否满足约束(19)～(21)，若变异后染色体满足相应约束条件且适应度值优于父代，则可直接进入下一次迭代。若不满足约束条件，则对变异后染色体中相应基因位进行调整，如果大、小交路开行频率之和不满足线路最大开行频率，则保持大交路开行频率f1t不变，令小交路列车开行频率f2t=fmax-f1t。调整后的染色体进入下一次迭代；

步骤6：算法终止判断。令L=L+1，若L＞Lmax，停止计算；否则，转入步骤3。

4 算例分析

4.1 算例参数设置

以某条城市轨道交通线路为例，以线路工作日出行客流为基础，线路全长23.1 km，共20个车站，其中小交路区段为第5～15站，小交路区间长度为10.6 km。线路站间距如表1所示，线路运营时间为6:00～23:00，以1 h为时间间隔划分运营时段，共划分17个运营时段，其中2和3时段为早高峰时段，12和13时段为晚高峰时段。

表1 站间距Table 1 Station spacing

基于旅客出行距离对弹性需求系数进行研究，对于短途出行旅客，其可选出行方式较多，公交的可代替性更强，弹性系数值相应较大。而对于长途旅客，依托公交完成整个出行过程通常需要多次换乘且换乘等待时间不稳定，此种情形下城市轨道交通的被替代性较低，弹性系数值相应较小。模型其他参数取值见表2。

表2 模型相关参数设置Table 2 Parameter setting

4.2 优化结果分析

运用Matlab2021a进行编程求解，目标函数取得最优值时，对应得到每个OD对在不同时段的出行需求，得出各个运营时段对应的大、小交路列车开行频率和各个运营时段票价优化率，各运营时段大小交路列车开行频率优化结果见表3，各运营时段票价率优化结果见图2。以OD对 (7, 10)为例，对比模型优化前后同一OD对在不同运营时段内的客流分配情况，对比结果见图3。

图2 各运营时段票价率优化结果Fig. 2 Optimization results of fare rate in each operating period

表3 各运营时段大小交路列车开行频率Table 3 Operation frequency of full-length and short-turn routing trains in different operating hours

显然，从图2票价率优化结果图中可以看出，优化后时段2，3，12和13票价率均在1.5左右，时段7，8和9票价率在1.0附近波动，其余时段票价率均小于0.8，结合图3可以看出，优化后各运营时段内客流增降情况与各运营时段内票价增降趋势相反。从图3中可以看出，优化后，时段2，3，12和13票价提升，使得该时段中部分潜在出行旅客向其他低票价时段转移，有效降低了该时段内的出行客流量。时段7，8和9内票价基本保持不变，因为该时段内旅客出行群体较为固定，客流出行稳定，受票价浮动影响程度较小，所以票价调整前后客流在该时段内的分布浮动较小。其余时段通过降低票价吸引更多旅客选择该时段出行，使得该时段内客流量均有所上升。通过OD对在不同时段间的客流分配情况可以看出，通过调节票价在一定程度上能够起到降低高峰运营时段内出行客流，均衡其他运营时段内出行客流的作用。

图3 OD对(7,10)优化前后各运营时段客流分配情况对比图Fig. 3 Comparison chart of passenger flow distribution in each operation period before and after optimization

为验证线路开行大小交路列车能够充分满足线路大客流区段的旅客出行需求，对优化前后各运营时段内区段客流量与列车运输能力进行对比，对比结果见图4和图5。从图4可以看出，线路客流时空分布不均衡，高峰运营时段内线路实行最大列车发车频率仍无法完全满足该时段内的旅客出行需求，造成高峰运营时段客流量过大，而其他运营时段内列车运输能力远大于旅客出行需求，造成列车运力浪费。从图5可以看出，通过优化票价调节不同运营时段内的客流分布，有效降低各运营时段内最大断面客流量，均衡各运营时段内区段客流量，且通过优化各运营时段大小交路列车开行频率，使列车运输能力与各运营时段内OD对出行需求相匹配。由此可以看出，线路开行大小交路列车能够在充分满足旅客出行需求的基础上，使列车运输能力利用更加合理，调节线路客流在时空方面的分布不均衡。

图4 断面客流量与列车运输能力关系图(优化前)Fig. 4 Section passenger flow and train transport capacity relationship diagram (before optimization)

图5 断面客流量与列车运输能力关系图(优化后)Fig. 5 Section passenger flow and train transport capacity relationship diagram (after optimization)

对求解得到的优化方案与初始方案就行对比，对比结果见表4。其中列车总开行数量增加8.18%，企业票价收益增加18.98%，旅客人车公里增加4.86%，企业运营成本减少16.49%，目标函数值增加10.42%。通过优化前后结果对比可以看出，对城轨线路进行票价综合优化能够在一定程度上吸引更多旅客选择城市轨道交通，有效提升了企业票价收益，提高了旅客人车公里数，同时开行大小交路列车能够在充分满足旅客出行需求的基础上，避免了线路两端区间的列车运输能力浪费，有效降低了企业运营成本。

表4 优化方案与原始方案对比结果分析Table 4 Analysis of comparison results between the optimized scheme and the original scheme

遗传算法迭代收敛图见图6。从图6可以看出，目标函数随迭代次数增长而不断改善，优化目标函数值在迭代150次左右时开始收敛，表明优化算法具备较好的收敛性能。

图6 遗传算法收敛图Fig. 6 Convergence diagram of genetic algorithm

目标函数中ϑ的取值影响运营企业效益和城市轨道旅客输送能力之间的平衡，体现了企业和旅客双方之间的博弈关系，对比ϑ的不同取值对旅客出行总成本和企业收益变化趋势的影响，对比结果图见图7。

从图7可以看出，随着ϑ值的不断增大，旅客出行总成本和企业运行效益均呈下降趋势，ϑ值的不断增大意味着旅客人车公里数在目标函数值中所占比重不断增大，即城轨线路开行列车数量增加。随着城轨线路开行列车数量的不断增加，旅客的出行服务质量得到提升，出行总成本下降，同理，企业的运营成本也逐渐提高，企业运营收益不断降低。

图7 ϑ值对旅客出行总成本和企业收益的影响Fig. 7 Influence of ϑ value on the total cost of passenger travel and enterprise income

5 结论

1) 本文构建双层规划模型对多时段大小交路列车开行频率和票价进行综合优化，优化结果表明，列车开行频率优化结果与客流分配结果得到较好吻合，能够充分满足旅客的出行需求，降低高峰时段最大断面客流量，缓解城轨线路客流时空分布不均衡现状。

2) 由于不同运营时段内旅客出行费用不同，旅客基于广义出行费用函数进行时段选择时会趋向于费用较低的时段出行。分时段优化票价，能够降低高峰运营时段客流量，使OD对在不同运营时段的出行需求分布更为均衡，在一定程度上能够缓解城轨线路客流在时间层面上的分布不均衡现象。

3) 相较于开行单一交路，城轨线路分时段开行大小交路列车能够充分满足不同运营时段内各区段的旅客出行需求，使列车运能与客流需求更加匹配，在一定程度上能够缓解城轨线路客流在空间层面上的分布不均衡现象，起到合理利用列车运能，避免资源浪费的作用。

4) 本文虽然构建了大小交路列车开行频率与票价的综合优化模型，并分析了开行大小交路和进行票价优化对线路客流时空分布的影响，但目前研究仅局限于非换乘客流，没有考虑不同线路间的换乘客流，可将其作为之后的研究内容。