留学生“微积分”课程思政融入的实践与思考

成 敏，冯 玮，南 哲

（浙江工业大学 理学院，浙江 杭州 310023）

微积分是一门研究运动与变化的学科，是数学中的一门基础学科。微积分理论的实用性非常强，是研究各种科学的工具，是学生终身学习最重要的数学基础。因此，我校为一年级留学生特别开设了全英文“微积分”公共基础课。

“微积分”课程的学时相对比较多，而且面向全校留学生授课。对从世界各地来到我校的留学生新生来说，他们对“微积分”课程的重视程度非常高，并满怀激情、浓厚兴趣和学习动力。因此，以“微积分”课程为重要基础课的平台，因势利导，融入思政教育，对于后续的留学生学风建设十分有益［1］。

随着经济社会的发展和进步，国家加大了本科院校人才培养力度，对留学生的人才培养也提出了目标和要求。优秀的高素质国际人才既要拥有扎实的专业知识和技能，还要有强烈的社会责任感、深厚的人文底蕴，做好中外合作的桥梁。因此，在完成“微积分”教学任务的同时，充分发挥教师的主导作用，尽力挖掘教学内容中富含的思想性和教育性元素，使留学生在学到知识的同时，树立正确的世界观、人生观和价值观［2］。

一、课程思政教学整体设计思路

以课堂教学为主，结合自学、课堂讨论、团队合作训练活动，充分利用线上优势，线上线下融合。通过传统课堂教学，进行知识传授，使学生熟练掌握单变量及多变量微积分中的有关概念、定理以及思想。

将数学历史文化融入课程，在课上有意识地讲解世界数学发展史，渗透古代数学辉煌的历史和成就，让学生在学习数学知识的同时，充分感受古人努力钻研的奋斗精神。通过学习数学文化，不仅可以培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和形象思维能力，还可以激发学生学习数学知识的信心和求知探索的欲望。

以“数学建模”为引导，拓展课程思政渠道。教师在传授数学理论与思想方法的同时，还可以结合学生专业课程的培养目标，积极拓展课程渠道，引导学生认识数学在科学技术中的重要作用，挖掘实际生活中的数学元素，探索数学理论与实际问题的密切联系。

用科学家的奋斗经历激励学生坚定信念、勤奋学习。在授课过程中结合讲述历史上在微积分学科做出重大贡献的数学家的故事。比如，作为微积分创始人的数学家牛顿和莱布尼茨兹凭着坚定的信念、百折不挠和顽强的奋斗精神，为伟大的科研事业勤勤恳恳、兢兢业业，奉献了毕生精力。世纪优秀的数学家欧拉则拓展了微积分领域，为微分几何及分析学重要分支（如无穷级数、微分方程）的产生和发展奠定了重要的基础。欧拉即使在经历了双目失明的重创之后，仍然凭着不屈不挠的奋斗精神坚持不懈地进行研究。在“微积分”教学过程中，通过和留学生分享这些伟大数学家的励志事迹，激励留学生树立目标，以顽强的毅力和昂扬的斗志脚踏实地地学好专业技能并不断完善自我和超越自我［3］。

对于课堂中的难题，鼓励学生在已有提示的基础上逐步尝试独立完成。教师可对这类问题多设置一些提示环节。在培养留学生抗挫折能力的同时，也可以培养其乐观的精神和面对困难战胜挫折的决心。

二、留学生“微积分”课程案例举例

本课程中，教师除了讲授专业知识，还要围绕理想信念、科学精神和奋斗精神等方面开展课程思政，引导学生对数学的内在含义、规律以及现实应用展开深度思考，将德育融入课程。

微积分中蕴含着关于世界观的丰富哲理，例如普遍联系、对立统一、量变到质变、否定之否定等马克思主义哲学观点原理［4］。在描绘正弦三角函数图像时，可以引导学生抓住主要矛盾和矛盾的主要方面，将复杂的问题简单化，根据五个关键点描绘正弦函数图像与横坐标轴的交点及图像的最低点和最高点，直观形象地体现正弦函数图像的特点和本质，以此增强学生对马克思主义哲学关于矛盾主要观点的理解。讲解三角函数的导数公式时，可以引导学生发现6种三角函数中，正弦、正切、正割的导数都是正的，而余弦、余切、余割的导数都是负的，找出记忆规律的同时，发现数学公式的对称美。

基本初等函数是后续构建复杂函数的基本原件，只有对基本初等函数有了充分的认识后，才可以融会贯通，应用不同的变换法则，构造出更为复杂的函数。让学生通过这一点认识到，高楼大厦起于一砖一瓦，要从小事做起，方能成就大事。

在研究二次函数图像时，可以引导学生抓住主要矛盾和矛盾的主要方面，将复杂的问题简单化，根据顶点信息来得到对称轴、值域等其他信息，直观形象地体现二次函数图像的特点和本质，以此增强学生对马克思主义哲学关于矛盾的主要观点的理解。

定积分的数学思想可以概括为“分割（化整为小）、作积（局部近似）、求和（化小为整）、取极限（精确化）”。除了纯粹的数学解释，这一思想不管是对学生学习还是教师教学都有很大的启发。比如，教师在课上可以将大问题尽可能切分成许多小问题，深入浅出地解释给学生听，使其有更加深入的理解。

切平面上的切点可以选择的方向是无数的，但朝向极值点的方向只有一个，这就强调了众多选择中方向的重要性。在求偏导数时，要假定其他变量不变、视其为常数。这是分析问题的一种方式，即在分析某一个因素对整个事情的影响时，固定地只看一个因素。如果在众多选择中找到自己想要的，那么在那个方向上的二元的选择就不再是问题。所以从二元函数到多元函数的变化，让我们看到方向的重要性。

注重理论与实际相联系是本课程教学的一大特点，通过不同学科的例子抽象概括某个概念的定义，让学生经历比较分析抽象概括等思维过程，感受数学来源于现实，服务于现实，同时学生能从情境中体会数学概念的形成过程，并能更深刻地理解概念，能更好地应用概念。例如，介绍利率的概念单利和复利时，通过具体的例子让学生切身感受复利状态下利息增长的速度。讲述高利贷等生活中能遇到的实例，让学生了解利滚利最后陷入的困境，帮助学生形成正确的价值观。在课堂教学中，向学生阐述很多事物的变化都是连续的，比如植物的生长、气温的变换、知识的积累等，不能急于求成，必须遵循其原本的规律。注重知识的总结和巩固是本课程教学的又一特点。在教学过程中，教师除了向学生灌输新的知识，还要带领学生对学过的知识进行阶段性的总结。使学生学会总结，并认识到善于总结可以使自己在遇到类似问题时选择最合理的处理方式，可以锻炼自己的逻辑思维能力和判断能力。学会做一个善于总结的人，可以避免自己犯同样的错误，并在反思中迅速成长进步。“学而不思则罔，思而不学则殆。”总结是一个整理提炼的过程，也是一个思想转变、不断成熟的过程。

课程中，教师除了讲授专业知识，还围绕理想信念、科学精神和奋斗精神等方面开展课程思政。极限的符号诠释的是永远运动、无限接近的过程。极限就如同我们最起初的理想，不忘初心，砥砺前行，精益求精，无限接近，方得始终。极限的精确定义，也蕴含了辞海精神，一丝不苟，字斟句酌，作风严谨。微积分基本定理的发现是数学历史上的一个公案，课上我们通过介绍牛顿和莱布尼兹茨争夺微积分基本定理发现权的故事，帮助学生提高对数学以及科学的兴趣，并帮助学生树立诚实守信的正确价值观。通过引入芝诺悖论之一：阿喀琉斯悖论（芝诺采用无限分割的做法，体现极限的思想，体现无穷和极限的问题），让学生体会辩证唯物主义的对立统一规律在数学领域中的应用，培养学生用辩证唯物主义的方法思考问题。通过讲述微积分发明权之争的历史事实，向学生传递文明因交流而多彩，文明因互鉴而丰富，历史证明盲目排外的做法是错误的。

在课程设计上，不忘将学生所学知识与前沿科学以及实时热点相联系。例如，简单阐述复合函数、链式法则与深度学习中多层神经网络及其求导的联系，并进一步引申到当今前沿的机器学习、人工智能，紧密结合科技现状，激发学生的学习兴趣和热情。简单阐述复合函数、链式法则与深度学习中多层神经网络及其求导的联系，帮助学生了解当今前沿的技术，鼓励学生奋发向上，努力学习最新技术。

将函数的极值引申到人生中，数学上有函数的极值，人生中也有，将数学与人生联系起来，让学生感悟，人生就像连绵不断的曲面，起起落落是必经之路，是成长的需要，跌入低谷不气馁，甘于平淡不放任，伫立高峰不张扬，这才叫胸襟宽阔。

三、课程思政典型教学案例示范

案例名称：定积分的几何应用。

（一）案例教学目标

1.知识目标。让学生理解微元法的概念，熟练应用牛顿-莱布尼茨公式求解定积分，并掌握以下知识点与技能：（1）绘制简单的二维曲线图形；（2）能将图形的面积表示成定积分形式；（3）通过定积分的求解得到图形的面积；（4）通过对称性简化求解，通过分析所得结果，简单地判别结果的正确性。

2.能力目标。提高学生理论联系实际的能力，提高学生将复杂问题分解转化为简单问题集合再进行求解的能力，训练学生的计算能力。培养逻辑思维、抽象思维、空间想象力。增强提出问题、表达问题、分析问题、解决问题的数学应用能力。

3.价值目标。通过对微元法思想的理解，帮助学生树立大事化小、逐步求解的思维方式，培养学生理性思维和批判思维。通过对复杂问题的求解培养学生不畏困苦勇攀高峰的奋斗精神。通过一题多解，培养学生的辩证思维和求实作风。通过创新应用训练，培养学生的创新意识，进而帮助学生树立正确的价值观。

（二）案例教学实施过程

曲边梯形面积的求解在日常生活中普遍存在。针对概念理解难的问题，选择通过两个实例引入知识点。

引例一：拱桥的面积——给定一个抛物线形拱桥的跨度，并且固定其高度，求此抛物线拱形桥的横截面积。

引例二：求两条曲线所围图形的面积——怎样选择合适的分割方法将此问题转化为第一类问题求解？

教学方法：采用由“问题诱导—启发讨论—探索结果—直观观察”组成的一种研究型教育方法。过程中注重诱导、探究和练习的结合，从而引导学生转变学习方式，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。

通过情景导入、问题驱动、师生互动、实例演示和自主练习相结合的方式，引导学生发现问题、分析问题、解决问题。课上采取随堂测验以便及时检测教学效果，并及时得到平时成绩的反馈。

对于普通梯形，采用初等数学方法求解其面积和利用定积分计算其面积两种方法，比较其结果，讨论不同的方法各自的优劣之处。

（三）思政切入点

让学生了解如何对看似无从着手的问题拆解细分，循序渐进，逐个攻破，系统条理化地完成任务。让学生体会按步骤求解的理性思维方式在生活中的用处。以直代曲、化繁为简、分而治之是这一类问题能够带给我们的更深层次的思考，不仅求解数学问题如此，还可以给我们解决很多实际问题提供思路。

四、教学效果及反思

如何促使留学生“微积分”教学中课程内容和思政教育元素的有效结合是我们一直在探索的。通过课堂教学，学生对于定积分的概念和性质有了进一步的理解，知道如何利用定积分就是一种复杂和式的极限形式的性质，并利用其求解几何中的曲边梯形面积。学生反映课程收获很大，主要难点集中为二维曲线的准确绘制、被积函数略为复杂的定积分准确求解和求解过程中正负符号的判别。此处我们建议重新回顾曲线的绘制，引导学生回顾曲线绘制的多个步骤，做到心中有谱，按部就班，能够利用微积分一阶导数以及二阶导数的性质，不慌不忙地绘制好函数曲线，从而为面积求解提供保障。

结语

通过留学生“微积分”课程思政教学实践，我们获得了一些心得体会，同时也有很多不足之处，需要不断完善和改进。思政着眼点主要集中在培养理性思维、激发学习兴趣、磨炼战胜难题的毅力等方面［5］。由于课时紧张，需要讲述的内容很多，同时全英文教学中留学生的思政教育对教师的英语表达能力也有很大的挑战。因此，对微积分发展史的全方位介绍、著名的推动微积分学科发展的人物介绍等方面不够深入。这些会是我们后续线上线下融合中进一步完善线上资源的重中之重。相信学生在了解了更多的数学史和数学家的故事后，对将来的终身学习也会有更大的帮助。