水准网定权方法的比较

胡圣武 杨旭锋 苗林光

(河南理工大学 测绘与国土信息工程学院 河南 焦作 454000)

0 引言

水准网平差模型包括函数模型和随机模型,其中随机模型就是高差观测量的精度,也是水准观测量的权,因此,水准测量定权对于水准测量的解算以及精度评定至关重要,是水准平差模型的重要组成部分[1-3]。常规水准测量定权方法也是目前最为广泛的水准网定权方法,视测区具体情况,如测量区域高度变化不显著,每千米测站数大致相同,则可按照水准路线的距离,取水准路线距离的倒数定权;如若测量区域高度变化显著,则按水准路线测站数定权。但对于不同的地形和不同的要求,如何定权是非常重要的,引起了很多学者的关注和研究。

王新洲提出利用信息扩散估计(按分布定权的平差)是一维参数估计中的较好方法, 但不便于直接推广到多维参数估计[4];范百兴等利用后验方差分量估计相关理论针对跨河情形下的水准测量展开应用研究[5];近年来,刘成龙等为解决工程实际问题,顾及测区地形,在薄志鹏统计研究高精度水准测量权重等理论基础上先后提出基于往返测高差较差的水准网确权方法[6-7]; 龚率等基于测区高度变化情况分类的Helmert方差分量估计的水准网确权方法[8],提升理论的严密性的同时为高程变化复杂测区的大规模水准网平差提供了定权方法。

本文结合当前水准网平差权的确定过程中出现的问题以及日益更新的信息处理模型,合理利用矩阵实验室(matrix laboratory,MATLAB)的矩阵运算、科学计算与窗体制作的便捷性[9],对水准网平差定权不准确和定权的方法进行研究。

1 权误差对平差结果的影响

随机模型误差是由定权不当造成的,从间接平差的数学模型着手,研究定权误差对水准测量平差成果的影响。

1.1 定权误差对未知参数改正数的影响

假设正确的权重矩阵P和定权有误差的权重矩阵P1存在如下关系：

(1)

则考虑定权误差的间接平差的数学模型为

(2)

一般而言,BTPB是BTP1B的核心成分,故在收敛条件下,对(NBB+ΔNBB)-1按幂级数展开为

(3)

于是,平差后考虑定权误差的参数改正数为

(4)

式中,

(5)

由式(4)、式(5)可知,考虑定权误差影响时,该误差对未知参数的改正数的影响和观测值改正数的影响均以确权误差相同量级表达,换言之,影响显著。

1.2 定权误差对参数平差值的协因数矩阵的影响

没有定权误差时,由间接平差可知,参数平差值的协因数矩阵为

(6)

考虑定权误差P1计算平差后的参数平差值的协因数矩阵为

(7)

根据式(3),则式(7)可得

(8)

由式(8)可知,考虑定权误差影响时,参数平差值的协因数矩阵计算公式中含有定权误差的一次项,因此影响同样显著。

2 水准网中权的确定方法

目前对于水准测量的定权方法主要有以下几种。

2.1 常规定权法

在水准测量中如果地势平坦,一般用水准路线长度定权;如果地势变化比较大,一般用测站数定权。具体定权方法可参阅文献 [1]和文献[10-12]。

2.2 熵权法模型

基于熵权法进行水准网定权,以期正式平差处理前合理分配测站与路线距离两种定权方法权重,达成对复杂水准测区的确权准确度提升[13]。基于熵权法的水准网确权步骤详细如下。

(1)指标矩阵列立,将指标矩阵T设置为m行2列,为对j条水准路线包含的测站数(c)及路线长度(s)两个影响因子进行记录,得

(9)

(2)标准化矩阵获取,利用均值化思想对指标矩阵进行处理,进而获取指标标准化矩阵T*,其中上述矩阵所包含子元素标准化结果用t表示,为

(10)

(3)各评价指标出现概率计算,将式(10)作为原始数据,利用式(10)对两个评价指标出现概率计算。

(11)

(4)各指标信息熵计算,令k=1/lnm,结合式(11)测站数及路线长度两指标的信息熵为

(12)

(5)各指标权重获取,利用式(12)获得的各指标信息熵数据展开计算,进一步获取各指标对应权重,如式(13)所示。

(13)

(6)确权,依据式(11)算得指标出现的概率及式(13)所得的两指标信息熵权获取基于熵权法的水准网确权值,为

(14)

2.3 变异系数法模型

依据所列指标的变异系数来衡量所列指标取值的离散水平,进而展开定权工作,从而消除所列指标的量纲不同产生的影响[14]。基于变异系数法进行水准网定权,同熵权法一般依托指标内变异程度进行定权,达成对复杂水准测区的确权准确度提升,且其计算过程相对简单。基于变异系数法的水准网确权步骤主要包括指标矩阵列立、标准化矩阵获取、各评价指标出现概率计算、各指标变异系数及权重计算、确权等五步,其中步骤1、2、3、5与上法保持一致,主要计算步骤即测站包含数与路线距离变异系数及权重计算如式(15)所示。

(15)

式中,V1与V2是测站包含数与路线距离的变异系数;W1与W2是上述两指标的权重;σ1与σ2是上述两指标,可按照式(16)进行计算。

(16)

值得一提的是上文所提及的标准离差法亦是按照变异系数法的相关步骤,变变异系数为标准差,直接由标准差的大小进行指标权重的确定及总权重的计算,即

(17)

可在基于变异系数法对水准网确权过程中,记录所使用的标准差信息,依据式(16)获取基于标准离差法的水准网确权研究信息,供给后期对比分析。

2.4 CRITIC权重法模型

基于指标相关性的指标权重确定方法(criteria importance through intercriteria correlation,CRITIC)在使用标准差指标内变异程度特点的基础上,借助相关系数ρsc间接表示指标内相关关系：当标准差一定时,相关系数愈大,对应冲突性越低,产生较小权重,并使用信息量C作为评价依据综合相关系数与标准差两大统计量,供给各指标客观权重的确定[15],其中无量纲化处理按式(10)进行,标准差计算按式(16)展开,水准路线长度值与水准路线测站包含数间的相关系数与信息量分别如式(18)与式(19)列立。

信息量愈大,指标价值愈大,权重愈高,对应指标权重的确定公式为

(20)

2.5 独立性权系数法模型

独立性权系数法确权过程中仅考虑指标间相关关系,而忽略指标内变异程度[16]。倘若某参考指标项与其他参考指标项的复相关系数R越小,则其与其他指标间的相关性较弱,越难以使用其他参考指标项通过线性组合进行表示,重复信息相对越小,因此对应参考指标项应当被赋予较大的权重,反之同样成立。

基于独立性权系数法进行水准网定权过程中,依次选取单个指标作因变量,其他指标设置为因变量,回归分析,获取R值后,取其倒数,再以复相关系数倒数确定权重。其中复相关系数计算公式与对应指标权重确定公式分别为

由于同上述客观定权法中的指标矩阵一般,为对水准路线包含的测站数(c)及路线长度(s)两个影响因子进行记录,故当指标数为两项时,则有

(23)

联立式(22)和式(23),得

(24)

3 实例分析

多种定权法的水准网平差使用MATLAB编程实现,其中实现过程主要包括定权法权值获取与水准网平差两子模块组成。定权法权值获取模块主要功能有原始观测数据导入、标准化处理、指标对应权重计算、确权成果导出等;水准网平差模块功能有水准观测文件导入、点号转变、误差方程列立、确权方法选择、中间元素及结果计算、精度评定计算等。

选择某一高程变化复杂水准测区做实际算例,水准路线如图1所示,观测数据如表1所列,除常规的按照水准路线长度值、测站包含数确权,按照五种定权法进行确权工作与对比分析,其中两种常规定权方法分别以0.48 km与10个,即水准路线1的相关数据作为先验单位权中误差,水准网观测数据常规确权结果如表2所示,水准网观测数据客观赋权法确权结果如表3所示。

图1 水准路线示意图

表1 水准网观测数据

表2 水准网观测数据常规定权结果

表3 水准网观测数据客观赋权法确权结果

通过常规确权结果与多种客观赋权法确权结果对比易知,观测数据1、2、5权重占比提升,观测数据3、4权重占比降低,再次表明在水准网平差过程中,不同确权方法的选择对平差结果产生的影响。

由表3可知,以均值化作为量纲化处理方法的双指标案例,变异系数法、标准离差法、CRITIC权重法指标权重均与权重指标赋予过程中使用的标准差统计量保持一致,即三种方法观测数据对应权值相同,故实例水准网高程点精度评定时使用变异系数法代表上述三种方法即可。

各确权方法对应单位权中误差值与未知高程点协因数矩阵获取未知高程点中误差直观表现如图2所示。

表4 水准网未知高程点中误差评定

图2 未知高程点精度评定图

通过水准网未知高程点中误差评定表易知,按路线长度值确权与测站包含数两种常规确权方法所得未知高程点中误差均值为10.436 4与10.563 1,熵权法等三种本文研究确权方法未知高程点中误差均值趋向一致,分别为9.368 7、9.371 0与9.372 0,两相比较易知,相对于常规经验定权法,本文所研究的熵权法等确权方法确权,使得未知点高程精度提高,具有一定性能优势,加之计算形式规律,符合编程逻辑,具有一定应用潜力。

4 结束语

本文对水准测量定权的方法进行了比较,主要得到了如下结论：①如果权存在误差,则对平差结果会产生影响;②不同的定权方法,其得到的权不一样,从而平差结果也不一样。因此,在水准网平差中应高度重视定权的研究。