“双减”背景下小学数学“应教尽教”的思考

■钱中华，羊琴，钱陈俐

减轻学生过重学业负担一直受到党和国家的高度重视。2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发的“双减”意见，明确提出减轻学生过重学业负担的根本之策在于大力提升课堂教学质量，严格按课程标准零起点教学，做到应教尽教，确保学生学足学好，达到国家规定的学业质量标准。那么，课堂教学应教尽教与减轻学生过重学业负担之间的内在关联是什么？聚焦小学数学，课堂上应教什么？怎样才能实现尽教？本文拟对这些问题进行探讨。

一、应教尽教是减轻学生过重学业负担的突破口

学校教育落实“双减”政策减负提质的要求，第一要务是准确把握减轻学生过重学业负担的突破口，为设计具有针对性的破解方案提供可靠依据。

从认识论视角看，学业负担是学校、家庭及自我要求下所承担的所有学习任务，它是客观性与主观性的统一[1]。所以，学业负担不能仅等同于学习时长，还应考虑学习任务的量和对于学生来说的难度，可以看作单位时间内学习任务的量和难度。当单位时间内学习任务的量过大或难度过高，造成学生需要更长时间完成学习任务，生活时间得不到保障，处于压力过大的状态，就是学业负担过重。从这个意义说，学校教育影响学生学业负担的因素包括教师课堂教学质量及学生学习任务量、任务难度、时长及时间分配策略等。在这些影响因素中，教师课堂教学质量制约并决定着学生的学习任务量、学习任务难度、学习时间长短等，是影响学生学业负担的核心因素。

从教学论视角看，课堂教学质量是学生“学得如何”的表现，而决定“学得如何”的核心要素是“教”“学”。在教学活动中，“教”“学”辩证统一，“教”因“学”而存在，服务于“学”，没有“学”的“教”是不存在的；没有“教”的“学”只能是自学，而不是课堂意义下的“学”。“教”是教师“通过信号或符号向某人说明某事，用信号或符号引起别人对事件、人物、观察或研究的结果等作出反应”[2]。也就是说“教”有特定的内容，用于呈现并引起学生作出相关反应。“学”是教师根据教材内容、学生认知基础，围绕教学目标，在教学活动中有目的地引起学生学习。可见，“教”“学”存在的根基是教学内容，缺失了特定内容的“教”“学”根本不存在。由此，教师课堂教学教什么决定学生学什么；教师应教尽教，学生才能应学尽学。课堂上应教尽教，该教的教完、教活、教透，学生就会将该学的学足、学懂、学会，学业负担必然减轻；反之，没有应教尽教，学业负担必然加重。因此，提高课堂教学质量，减轻学生过重学业负担，突破口是课堂上应教尽教。

二、小学数学应教的基本内容

小学数学应教什么似乎不需另作思考，因为已在课程标准和教材之内了。但实际上，作为标准一般是最低或者是平均要求，还要给以标准为依据的人们留有空间。正因此，现行不同版本教材各有优势，极力表现出非常看重的要求；同时，由于内容、课时等也难免有顾及不够的地方，并且教师的数学观对应教什么也会产生严重影响和制约。那么，小学数学到底应教什么？从动态的、经验的、拟经验的数学观，以及数学课程目标和学生数学学习来分析，小学数学应教数学知识本质、数学基本结构、数学思维等内容。

（一）应教数学知识本质

数学知识是构成数学大厦的“硬料”，数学知识本质是数学知识的灵魂。学生的数学学习不仅要记住数学知识，认识表示的数学符号，更为重要的是真正理解掌握知识本质。只有深刻理解知识本质，在了解其产生、发展的过程中结合自己的已知和思维理解，才能深入浅出地表达其形成过程、内在联系等，在实际应用中才能根据不同情境找到适合、可用的部分。这就意味着，小学数学教学应该关注和强调知识本质，帮助学生深刻理解知识的本源意义。

譬如北师版五年级下册“折纸”，内容是异分母分数加减法，本质属性是分数单位相同才能实施加减法运算。教学应突出异分母分数加减法运算通分的必要性，帮助学生深刻理解异分母分数加减法只有在分数单位相同时才能运算的本源意义。

（二）应教数学基本结构

数学学习的深刻理解包含“深度、宽度和贯通度”。“‘深刻地理解一个专题’就是将这个专题与该学科的更多的概念上很强大的思想联系起来……‘广泛地理解一个专题’就是与那些相似的或概念性较弱的专题相联系……然而，深度和宽度依赖于完整度——贯穿某一领域所有部分的能力——把它们编织起来。”[3]也就是说学生的数学学习要理解内容的基本结构，即数学知识结构和逻辑结构。学生受认知程度的影响，接受材料能力必定有限。要在有限的接受中产生对以后思考的价值，必然选择是使之在接受所学材料的过程中理解学科基本结构。可见，数学基本结构对学生数学学习发展的重要价值。从这个意义上讲，小学数学应教基本结构包括逻辑结构和数学知识结构。

教师应以课程标准、教材为依据，具体、明确地确立应教课时或单元的基本结构。如“折纸”应教逻辑结构：同分母分数加减法则→异分母分数加减法则；应教课时知识结构（图1），即教师应该引导学生学习的相应数学内容或学习路径。该课所在单元“分数加减法”应教逻辑结构：同分母分数加减法则→异分母分数加减法则→分数加减四则混合运算顺序→分数加减运算性质和加法运算律。应教知识结构（图2），也就是教师应该引导学生学习的相应数学内容或学习路径，为学生数学学习建立知识体系，实现触类旁通、举一反三提供可靠保障。

图1

图2

（三）应教数学思维

数学是“思维的科学”[4]，“在形成人的理性思维、科学精神和促进人智力发展中发挥着不可替代的作用”[5]。数学表达人类的思想，反映人们的意志、缜密的推理、对完美的追求，其基本要素是逻辑和直觉、分析和构造、一般性和个性。“随着社会进步，人类思想、对完美的追求等也随之改变，所以作为反映形式的数学也不是静态的、绝对的，而是动态的、经验的与拟经验的；是人类的一种创造性活动，即是一种包含有猜测、错误和尝试、证明与反驳、检验和改进的复杂过程”[6]。基于以上立场，数学不等同于具体的数学知识（包括概念、命题、法则等），不是无可怀疑的真理，而是人类的一种思维方式[7]。

数学课程要培养学生的核心素养，即通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步养成“三会”。在此过程中能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的“四基”；体会数学内部知识之间、数学与外部世界的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中发展“四能”[5]。“四基”“四能”是“三会”的有效载体，“三会”是“四基”“四能”的更高要求。因此，从根本上说，数学教学中培养学生的“四基”“四能”就是在培养学生的数学核心素养。在学生的数学核心素养形成过程中，学生应当从数学学习中学会数学思维，并逐步学会思考得更清晰、更全面、更深、更合理。从这个意义上说，学生通过数学学习获得“四基”、发展“四能”，形成和发展数学核心素养，本质是发展数学思维。

学生学习数学，以数学知识为载体，以数学问题为对象，按照一定形式和方法进行数学思考的过程中，理解把握不同数学思维形式和方法发生的机理、应用的范围及遵守的规则，改进、完善、发展数学思维，提升灵活性、深刻性、批判性、创造性、辩证性等数学思维品质[8]。

因此，数学教学应是一种创造性的数学思维活动，根本目的是改变、发展学生的数学思维；小学数学不仅应教数学思维形式、方法，还应培养、发展学生的数学思维品质。

总之，小学数学应教数学知识本质、基本结构和数学思维；这样，学生才有可能实现富有深度的学习，想得透、学得多、学得足，闻一知十，从而减轻学业负担。

三、小学数学尽教的基本思路

那么，小学数学如何才能实现该教的教尽、教活、教懂呢？下面结合北师版三上“什么是周长”的教学进行阐释。

（一）提供数学变式，学生通过比较、判断、推理、解释，深度理解知识本质

数学变式是在保持知识本质特征不变的前提下，从多角度、多侧面呈现数学对象或数学问题。在教学中，教师设计的教学材料应提供水平变式、垂直变式，推动学生的数学学习在比较与辨别中对其情况、类别、事理进行分析、推理、判断，发现数学变式中的变化与差异，分类、评估、解释“变”与“不变”，深度理解数学知识本质。

在“什么是周长”教学中，教师提供如下教学材料：

第一组教学材料：

（1）请用彩笔描出你桌上那片树叶的边线。

（2）谁来演示一下是怎样描的？要用笔指着，说清楚描的过程和需要注意的地方。

（3）三只蚂蚁急不可待地想表演应怎样描，请看。

（4）动画展示。三只蚂蚁表演爬树叶的路线如图3所示，哪只蚂蚁是沿着边线爬的？理由是什么？

图3

（5）像蚂蚁A这样，爬过一周的长度就是树叶表面的周长。同学们描的树叶边线的长度是树叶表面的周长。

（6）除了树叶表面有周长外，我们身边还有许多物体表面也有周长，请找一找；同桌交流时指着说“一周的边线”“起点、终点及其关系”“方向”。

第二组教学材料：

（1）用彩笔在A4纸上描出教科书封面的边线，将书拿走得到什么图形？它有周长吗？为什么？

（2）下面这些图形有周长吗？为什么？

图4

第三组教学材料：

（1）既然周长有长度，你有哪些方法得到树叶表面的周长？

（2）如何测量树叶表面的周长？

（3）如何测量在A4纸上描出的长方形的周长？

（4）测量树叶表面周长和测量长方形周长有哪些相同和不同？

第四组教学材料：

（1）不用测量，你能求出下面各图形的周长分别是多少厘米吗？需要注意什么？

图5

（2）两只蜗牛赛跑，他们的跑道一样长吗？

图6

（3）一片长方形草地被分成A、B两部分，鼹鼠和大象分别绕A、B边线跑一圈，跑的路一样长吗？

图7

分析上述教学材料，水平变式有四组：一是物体表面周长。学生在学习过程中，通过描树叶边线、说描的过程及注意事项和对三只蚂蚁的判断，发现蚂蚁想要通过爬行得到树叶表面周长，“变”的是起点和终点，“不变”的是起点与终点重合、物体表面“一周的长度”，了解了周长能“度量”；后通过列举身边实例，在相互交流中加深理解“周长”。二是规则与不规则图形的周长。从描教科书边线得到长方形入手，经分析、比较、类比、概括出长方形一周的长度是长方形周长；在对六个规则及不规则图形的观察、分析、比较、分类、概括、解释中，发现图形（1）（3）（4）（5）都有周长，与形状无关。三是测量周长。通过测量树叶表面、长方形的周长，体会根据物体表面或图形的形状，选择适合的方法测量，理解周长可“度量”。四是解决与周长相关的问题。通过解决数图形的周长、蜗牛赛跑跑道长、鼹鼠和大象跑路长，加深理解周长的意义和度量的可能性。四组水平变式构成垂直变式，即物体表面→图形→测量周长→求周长，学生通过学习不仅分析发现“变”与“不变”，理解周长概念“物体表面或图形一周的长度”的描述性表述，更为重要的是逐步深入、层层递进，深刻理解周长的本质“度量”。

（二）提供根植知识演进的教学材料，学生学习简约地经历人类认识过程，建立数学基本结构

教学材料是学生数学学习的对象，既是思维的载体，也是知识的载体，还是数学基本结构的载体。在教学中，教师提供的教学材料，根植数学知识演进的历史流变。学生学习典型地、简约地经历数学知识产生、形成、发展的人类认识过程，深刻地“去理解知识最初发现时人们面临的问题、解决问题的思路，采用的思维方式、思考过程，理解知识发现者可能有的情感，判断评价知识的价值”[6]，建立起包括逻辑结构、数学知识结构在内的基本结构，感悟蕴含在知识背后的数学基本思想。

“周长”起源于古代人们发现树叶、兽皮等物体表面的边线有长度，人们所画的长方形、平行四边形等图形一圈有长度；先贤们不断努力发现“周长”；后探索测量周长的方法及运用。教师以此为依据，结合教材设计提供了以上四组教学材料：第一组描树叶边线，旨在通过学生“描、指、说、判断、举例”等，理解“物体表面一周的长度就是物体表面的周长”，把握周长的特征。第二组材料旨在通过学习，理解“图形一周的长度就是图形的周长”，把握图形周长的特征。第三组材料通过探索测量周长的方法，理解“一周的长度”，把握周长本质。第四组材料应用拓展，意图通过数图形的周长、赛跑跑道、跑草地一圈等三个问题，进一步理解周长是“一周的长度”，可“度量”，与形状无关，为后续学习“长方形的周长”做好铺垫。由此帮助学生建立起“周长”的基本结构，逻辑结构是：前概念（边线）→物体表面的周长→封闭图形的周长→测量周长→求周长→衔接长方形的周长。本课知识结构如图8所示。在这个过程中，感悟抽象（分类、概括、数形结合、变中不变、符号化等）、推理（归纳、演绎、化归、特殊与一般等）、模型（简化、量化、优化）等基本思想[6]；帮助学生形成发展量感、空间观念、几何直观等核心素养。

图8

（三）提供引发深度思考的问题，学生在解决问题过程中，改进、完善、发展数学思维

问题是思维的灵魂和起点，是学生数学思维发展的关键。在小学数学教学中，教师根据教学任务、教学目标，设计提供引发深度思考的问题。学生在教师的指导下，运用概念、判断、推理等基本思维形式和观察、比较、分类、分析、综合、归纳、概括等思维操作方法，展开对问题的全面、细致、深刻探索。在这个过程中，学生不仅运用数学思维基本形式、方法进行数学思考，解决数学问题；更为重要的是通过解决问题，理解把握不同数学思维形式、方法遵守的规则及适用范围，改进、完善、发展数学思维，提升数学思维品质[6]。

本课教学教师提供的四组教学材料，实质是四组问题，旨在开启学生的思维操作。学生在解决问题过程中，根据问题指向，基于客观事实和数学理性，对思维材料严格评估；调动并运用已有生活、认知经验进行数学思考，采用操作、观察、分析、比较、分类、判断、推理、归纳、概括等思维方法，对问题进行解释或说明，在深刻理解“什么是周长”的同时，把握周长的本质“度量”，改进、完善已有思维形式、方法，从而使思维活动更有广度、深度，数学思维和思维品质获得发展。

总之，学校教育减轻学生过重学业负担的突破口是课堂上应教尽教。小学数学应教数学知识本质、数学基本结构、数学思维。教师通过提供数学变式、根植数学知识演进的教学材料、开启学生思维操作的问题，将该教的教活、教透、教深，学生将该学的学足、学深，掌握数学知识本质，建立数学基本结构，发展数学思维，从而实现课堂教学“减负提质”。