具有记忆的非线性波方程解的存在唯一性及衰减率

秦娜娜,马巧珍

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

1.引言

我们考虑下面的粘弹性波方程:

假设核函数g:R+→R+是C1的且满足下列条件

其中R+={α|α ≥0}.进一步假设存在一个正值的C1函数H: R+→R+,使得对于任意的ξ ≥0,下面的条件成立:

在类似的假设下,一些学者已经对问题(1.1)进行了一些研究.例如,Kafini在文[1]和Lasiecka等人在文[2]中分别得到了问题(1.1)中没有多项式非线性项时解的全局存在性,衰减率,以及解的爆破性.对于(1.1)中g=0的情况,在文[3]中作者证明了全局解的存在性和解的渐近行为,以及解的爆破性.当(1.1)中a=1,ϕ ≡1 时,LI和HE在文[4]中研究了有界域上解的全局存在性,衰减率,以及解分别在正的初始能量和负的初始能量下的爆破性.Miyasita和Zennir在文[7]中考虑了(1.1)的局部解的存在性结论但是没有给出完整证明,此外他们还获得了全局解的存在唯一性和能量的最优衰减率,特别给出了一个由凸性计算衰减率的简化方法.我们知道,解的适定性对进一步研究解的演化性态至关重要,然而,在大部分研究解的状态的文献中,作者一般只给出解的存在性定理,但没有严格的理论证明.就我们所知,有些问题的适定性结果并不是容易能得到的,甚至在现有条件下不一定存在,正是基于这种理由,我们将对文[7]中的适定性结果进行严格的证明.我们在恰当的条件下证明了文[7]中的引理4,也就是本文中的引理3.3.对于解的存在唯一性定理的证明,分为两个过程研究,首先,利用Faedo-Galerkin逼近方法获得了具有记忆的线性非齐次微分方程解的存在唯一性,然后再应用Banach压缩映射定理证明了原方程局部解的存在唯一性.定义,其中[ ]表示空间的闭包,并赋予如下内积与范数

根据H的定义可知

对于一般的q ∈[1,+∞),的加权范数定义为

为了区分通常的Lq空间和加权的Lq空间,我们定义如下标准的Lq范数

设{(λj,ωj)}j∈N⊂R×H为特征方程

的特征值和对应的特征函数.由文[5]有下面的事实成立,即

2.预备知识

引理2.1[3]设ρ满足(1.2).则存在仅依赖于ρ和n的正常数Cs和Cp,使得对任意v ∈H,成立

引理2.2[6]设ρ满足(1.2).则对任意v ∈H,成立:

3.主要结论与证明

下面将在条件(1.2)-(1.4)下证明问题(1.1)的解的存在性.对于给定的T >0,考虑空间,并赋予它如下范数

首先给出局部解的存在性定理.

定理3.1假设条件(1.2)-(1.4)成立,且

其中λ1是算子−ϕ∆的第一特征值,则对充分小的T>0,问题(1.1)存在唯一的局部解u,并且

值得注意的是,在文[7]中,当(3.1)成立时,只要令引理2.1中的,就有下列不等式成立,即

后面的研究就是在(3.2)的基础上进行的.为了证明定理3.1,先给出下面的引理.

引理3.2假设(u(t),ut(t))∈C([0,T];H(Rn))∩C1([0,T];),则问题(1.1)的能量泛函

证用ρut和(1.1)做乘积,并在整个Rn上积分,则有

对于(3.3)式左边的最后一项,有下面的估计:

这就说明E(t)是非增的.

由(3.2)和引理2.1,即得下面的引理.

引理3.3假设条件(1.2)和(3.1)成立,则对任意的u ∈H,‖u‖∗和‖u‖H是等价的,即存在两个正常数c1和c2,使得

证对任意的u ∈H(Rn),当a>0 时,

另一方面

另一方面综上所述,对于所有的a ∈R,引理3.3成立.

引理3.4对每个T >0,设u ∈XT,假设,条件(1.2),(1.3),(1.4)成立,则问题

存在唯一解v,满足

证用Faedo-Galerkin近似方法来证明问题(3.6)解的存在性.首先构造解的近似序列

这里的CT >0且不依赖于n.由(3.11),(3.12)和下面的事实

于是,对所有的n>0有下面的结论

则(3.13)式证明了V=v1−v2=0,即问题(3.6)的解是唯一的.

对于(3.14)式的最后一项,用与(3.12)相同的讨论方法得到下面不等式,即对于所有的t ∈[0,T]有

对(3.14)式的左边取最大值,结合(3.15),则有

选择充分小的T,就可以得到,这就表明S(Z(M,T))⊂Z(M,T).接下来,证明映射S是压缩的.设u1,u2∈Z(M,T),使得v1=S(u1),v2=S(u2).令V=v1−v2,对所有的η ∈H(Rn)和t ∈[0,T]几乎处处,考虑下面的问题

由(3.16)和(3.17)得

其中θ=CTM2(p−1),当T充分小时,θ <1,这就表明S是压缩的.由压缩映射定理得(1.1)在[0,T]上有一个唯一解,定理3.1得证.根据前面已经讨论的内容,利用与文[3]和[7]相同的能量估计方法,得到与文[7]相同的解的全局存在唯一性结果和能量衰退速率.

定理3.2设定理3.1的假设成立,则对于充分小的,问题(1.1)有唯一的全局解u,并且

并且存在仅依赖于g,a,ω,λ1和H′(0)的t0>0,使得对所有的t ≥t0,E(t)的衰减满足