基于综合难度模型的“立体几何”试题难度分析——以2017-2022年高考理科数学全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷为例

严 瑾 夏世娇 吴仁芳

一、问题的提出

随着时代的不断发展，我国高考试卷呈现出从多样化发展到统一化回归的趋势[1]。为落实高考改革总体要求，新高考试卷成为各省市教师和学者研究的重点，其中试题难度的分析又是研究中的热点。

综合难度模型是研究试卷综合难度的重要工具之一。该模型由学者Nohara 于2001 年建立，首次提出了“总体难度”的概念，将总体难度划分为“实际背景”“问题扩展”“运算水平”“推理过程”4个部分。我国学者鲍建生在总体难度的基础上构建了数学课程综合难度系数模型[2]；随后，研究者们在该模型的基础上，提出了多种课程难度模型和实验难度模型[3-5]。这些模型较好地刻画了课程难度和实验难度，但由于分析对象不同，这些难度模型无法直接适用于中高考测试。武小鹏在鲍建生等人的综合难度系数模型的基础上，分析并结合中高考特点，构建了基于测试项目的综合难度系数模型。这一模型改进了以往综合难度系数模型中权重的计算方式，由直接相加转变为利用AHP 理论进行计算，一定程度上避免了主观因素的影响，更加贴近实际情况[6]。

综观已有文献，少有针对某个知识单元进行高考数学试题难度的探讨。“立体几何”单元在高考试题中的分值比重较大，在培养学生数学学科核心素养，尤其是直观想象、逻辑推理上发挥着重要的作用，对其进行难度分析是必要的。为此，基于武小鹏改进的综合难度模型，本文对“立体几何”单元试题进行难度分析。

需要指出的是，3+3模式目前正在全国高考试点推进，2021 年新高考数学全国Ⅰ卷也正式出台。对比2020、2021、2022 年高考试卷，为便于对试题难度应用综合难度模型，研究将传统的全国Ⅰ卷对应到新高考Ⅰ卷，将传统的全国Ⅱ卷对应至全国Ⅱ卷，全国Ⅲ卷对应至全国甲卷，具体如表1所示：

表1 高考试卷省份统计表

本文将分析各卷“立体几何”试题的难度特点及差异，以期为“立体几何”知识单元的命题和教学提供参考。

二、研究设计

（一）研究对象

选取近六年全国卷高考数学理科Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷一共18 套试卷“立体几何”知识单元涉及的试题，其中解答题将1、2小问拆开成2道题分别统计，具体样本统计如表2所示：

表2 2017-2022全国高考试卷中立体几何试题统计

由表2 可见，“立体几何”试题总体数量上稳定，每种题型的波动不大。考查方式倾向于选择题和解答题，填空题出现较少。分值在17-22 分上下波动。重点围绕三视图、表面积、棱锥棱柱体积、线面之间的位置关系、线线角和线面角以及二面角的正弦/余弦值。要更深层次地了解“立体几何”试题难度，需要做进一步的难度分析。

（二）研究方法

1.“立体几何”综合难度模型的建立

武小鹏团队的综合难度模型由背景因素、参数水平、运算水平、推理能力、知识含量、解题的思维方式、认知水平7 个难度因素组成，对整张测试卷的整体难度进行分析，“立体几何”单元作为试卷的一部分，其知识结构与其他单元存在差异，因此考虑对模型的影响因素进行修改。

综观近年关于“立体几何”单元的研究，以及《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》对于试题命制的要求，初步确定增加条件含量、字符阅读量、条件是否模糊、解决方案多样性、结果开放性这5 个难度因素。根据与数学教育教学专家、一线教师的交流研讨，发现立体几何中的概念，主要包括关于位置的概念和形状的概念，要确定立体图形的位置与形状，需要学生弄清条件关系，根据已有条件从二维平面上分析三维图形特征，应当对条件因素予以保留；阅读障碍不利于学生在规定时间内提取和处理信息，增加字符阅读量这个条件是必要的；条件是否模糊、解决方案多样性、结果开放性这三个因素涉及结构不良问题，结构不良问题对于学生能力考查的层次很高，在近六年高考卷中鲜少出现，缺乏难度对比的样本，也无从比较差异性，因此不宜放入综合难度模型中。

由此，“立体几何“综合难度系数模型的影响因素确定为背景因素、参数水平、运算水平、推理能力、知识含量、解题的思维方式、认知水平、条件含量及字符阅读量9 个因素，其水平划分与内涵如表3所示：

表3 “立体几何”综合难度系数模型结构与内涵

综合难度系数模型是对九个因素和因素内各个水平进行合理加权，整合成综合指标的过程。因素的难度系数为：

（1）[7]

整套试题的总综合难度系数为：

（2）[8]

符号意义如表4所示：

表4 公式（1）符号意义

首先确定各个因素的权重。立体几何单元各个因素的数据几乎无波动性，数据间相关关系不明显，而且富有明显的数字大小的信息特征，适宜选取AHP层次分析法来确定各个因素权重。利用层次分析法确定权重的步骤如下[9]：

（1）构造判断矩阵

对9 个因素指标进行重要程度的排序，量化标准如表5所示：

表5 指标之间比较量化规定

根据以上评分标准确定判断矩阵A，aij表示第i个指标相对于第j个指标得到的量化值。

（2）计算九个因素的权重（因素内各水平的权重系数确定方法同上）

其中，λmax表示判断矩阵的最大特征值，RI为随机一致性指标，RI的取值表见表6。

表6 RI取值

当CR<0.1，可认为矩阵A具有一致性。

2. 综合难度模型中各难度系数的构建

使用专家评审法构建判断矩阵。专家组由11人组成，其中3 人是数学教育方向的硕士研究生导师，2 人是从事基础数学研究的硕士生导师，2 人是具有多年教学经验的一线高中教师，2名课程与教学论方向的硕士研究生，2名数学教育方向的硕士研究生，通过专家组的评判得到评分标度数据。

（1）各因素的权重系数计算

依据上述计算方法，通过对11 位教师计算的结果求平均找近似的方法得到如表7的数据。

表7 各因素标度值

不同因素的判断矩阵A为：

依据判断矩阵A得到向量

进一步得到9 个因素的权重系数ki=（0.23，0.40，0.73，1.37，0.95，2.18，2.03，0.81，0.32），经一致性检验，CR=0.0563<0.1，该结果具有较好的一致性。

根据专家对不同水平的评判结果，得到不同水平权重系数计算信息表，如表8所示：

表8 各因素不同水平权重系数计算信息表

因素知识含量解题的思维方式认知水平条件含量字符阅读量代码e12 e13 e23 f12 g12 g13 g23 h13 0.81 i12 0.29 0.27 0.22 0.33 0.23 0.26 0.39 0.29 0.25平均值0.65 0.72 0.38近似值1/3 1/5 1/3 1/3 1/3 1/5 i13 1/3 h23 1 1 1/3 1/5 1/5 1■1■■1 h12 1 3■1 5■■■■■1 5 1 5 1■ ■■■■1 3 A 1 3 3 1■■■■■■■■( )1 3■■■■■■■■1 1 3■■■■■■■1 3 1■■■■1 5 1 1 1 3 1 1■■■■5■■ ■i23■3 1■5 1■■5 3 1 5 1■ ■3 1 1 3 1 1■ ■Ai 1/15 15 1/5 1/25 1 2/3 1 15 1/9 3 3 1/3 1 3 0.61 0.64 0.14 0.10 0.43 0.26 0.25 0.75 0.43 0.22 0.09 0.32 ai 0.46 k52 k61 k53 k51 k62权重编码k72 k91 k92 k93 0.50 k71 5 0.30 k73 k81 0.90 1.92 0.78权重1.50 k82 0.27 1.83 1.29 0.42 1 1 k83 0.30 1.29 0.66 0.96 1.38

经一致性检验，CR1=0.0121，CR2=0.0331，CR3=0.0121，CR4=0.0331，CR5=0.0331，CR6=0.0000，CR7=0.0612，CR8=0.0000，CR9=0.0868。CRi<0.1，不同水平的权重系数之间存在较好的一致性。

（2）模型数据的收集与分析

邀请6 名数学教育硕士依据模型结构，对18 套试卷中“立体几何”题目进行分类编码，并邀请2 名一线数学教师对其分析的结果进行一致性检验。在处理解答题第二问的条件含量时，如果第一、第二小问无关联，只计算第二问和题干的条件；如果第一问的条件对第二问有影响，则加上第一问的条件。类似地，在计算第二问的字符阅读量时，如果第一、第二小问无关联，只计算第二问和题干的字符阅读量，否则加上第一问的字符阅读量。以例1为例，编码如下：

例题 1：（2022 新高考 I 卷选择题第 4 题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为

A.1.0×109m3B.1.2×109m3

C.1.4×109m3D.1.6×109m3

此题难度水平如下：生活背景（以南水北调工程为背景）；没有参数；复杂数值计算（运算水平相对提高）；简单推理（要求简单分析海拔变化和增加的水量之间的体积关系）；少量知识含量；顺向思维；运用识记水平（要求学习者运用棱台体积公式）；三个以及以上条件含量（本题可以使用的条件有：水库水位的海拔高度、水面的面积、海拔高度变化）；大量字符阅读量。

（3）统计结果

统计编码结果得表9：

表9 近六年高考数学（理科）全国卷“立体几何”试题综合统计

依据9 个因素的权重系数，即（0.23，0.40，0，73，1.37，0.95，2.18，2.03，0.81，0.32），以及上述表格结果，利用公式2计算每套试卷的综合难度系数。

三、研究结果

（一）各因素不同水平对比

图1 各因素不同水平对比折线图

（二）综合难度对比

将所收集数据代入模型计算，得出各因素综合难度系数di，汇总为下表：

进一步计算得到全国Ⅰ卷的综合难度系数为8.17，全国Ⅱ卷的综合难度系数为7.80，全国Ⅲ卷的综合难度系数为7.34。全国Ⅰ卷难度最大，全国Ⅱ卷次之，全国Ⅲ卷难度最小，这符合全国高考试卷以往的命题难度。

根据表10绘制雷达图，如图2所示：

表10 2017-2022高考数学（理科）全国卷“立体几何”试题各因素的难度系数

图2 2017-2022年高考数学（理科）全国卷“立体几何”试题综合难度系数雷达图

观察雷达图可知：

（1）影响“立体几何”试题难度的9 个因素中，背景因素和参数水平的难度系数最小，而知识含量、解题的思维方式、字符阅读量比背景因素和参数水平略大一些，难度系数最高的是运算水平、推理能力、条件含量和认知水平；

（2）在运算水平、知识含量2 个因素上，全国Ⅰ卷的难度与全国Ⅱ卷基本持平，高于全国Ⅲ卷；在对推理能力的考查中，全国Ⅰ、Ⅲ卷要高于Ⅱ卷；而在解题的思维方式、条件含量、参数水平这3 个因素中，全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷无明显差异，难度水平基本持平；

（3）计算全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ“立体几何”试题9 个因素难度系数值的极差R=xmax-xmin，发现全国Ⅰ卷“立体几何”试题各因素难度系数的极差为R1=1.18，全国Ⅱ卷的极差为R2=1.15，全国Ⅲ卷的极差为R3=0.98，说明全国Ⅲ卷“立体几何”试题在九个因素难度上的平衡性略强于全国Ⅰ、Ⅱ卷。

四、结论及建议

（一）研究结论

1.“立体几何”单元难度差异不显著

从综合难度系数上看，全国Ⅰ卷难度最大，全国Ⅱ卷次之，全国Ⅲ卷难度最小，符合全国高考试卷以往的命题难度，彼此间差异不明显。从各因素难度水平上看，对比折线图可知，九个难度因素各水平占比相似，难度重合度较高，但三种类型试卷所适用的地区有所不同，难度因素水平差异不明显，不利于学生的发展。

2.“立体几何”单元在难度上存在较为稳定的层次性

在选择题中，若立体几何为第1-6 的试题，基本涉及九个难度因素中较低的水平，若题号为7-10，则涉及九个难度因素中较高的水平，若题号为11-12的试题，其综合性和技巧性明显高于其他试题。在填空题中，若出现在13-14 题，一般为较低水平试题，题号15 为中等水平试题，题号为16 的试题则一般综合性和技巧性较强。在解答题中，每一道立体几何大题都设有两问，第一问一般设置难度水平较低的试题，而第二问则会相应地增加难度。

3.“立体几何”单元在难度上强调学习的过程性

《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》强调处理好过程与结果的关系，引导学生在背景和过程中主动探究、认识建构、理解结论[10]。这一点可以从简单数值运算水平试题较少，而推理能力、认知水平这两个难度因素的水平相对较高上得到印证。除此之外，字符阅读量和条件含量较高说明高考试题强调学生在解决相关问题时不仅要注意相关条件的含义，而且还要对试题中的信息进行分析、筛选、加工，进而解决相关问题，体现出数学学习的过程性。

（二）命题及教学建议

1. 对高考命题的建议

基于研究结果，对照《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“高中课标2020年修订版”）相关要求，提出以下建议。

（1）增加背景因素，注重问题情境的设置

近六年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷高考理科数学试卷“立体几何”单元试题中设置了少量含有不同背景因素的试题，但大部分试题仍然脱离情境，不利于学生应用意识的培养，也不符合高中课标2020 年修订版对现阶段高中生数学学习的要求。应当注重在不同题型中设置含有问题情境的试题，激励学生应用学科知识探索实际生活，这对学生处理问题的能力提出了更高的要求，有利于发挥数学高考的选拔功能。

（2）适当降低运算水平和解题技巧，注重难度的均衡

近六年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷高考理科数学试卷“立体几何”单元试题对运算水平和推理能力的要求明显高于其他因素，过高强度的运算和高难度的推理，影响学生对整张试卷的时间安排，根据高中课标2020年修订版的要求，应当均衡各因素难度，处理好考试时间和题目难度的关系，给学生充足的思考时间[10]。

（3）适当改变题型结构与数量，增加试题灵活性

近六年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷高考理科数学试卷“立体几何”单元试题在总数量上完全相同，而且每种题型的题目在数量上甚至题号上都无显著差距，尽管新高考卷与以往不同，新设置了多选题，在思维量上有所增加，但仍然接近传统的知识考查方式。囿于命题定势，降低了试题的灵活性，容易导致学生机械的训练。根据高中课标2020 年修订版的要求，可以设置一定数量的应用问题，还应包括开放性问题和探究性问题，从而考查学生灵活应变的能力。

2. 对高中数学教学的建议

（1）注重基础教学，重视数学本质，培养学生“四基”

高中课标2020 年修订版重视数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（“四基”）的教学，通过对近六年高考理科数学试卷“立体几何”部分的研究发现，运算水平、推理能力、知识含量等因素的难度系数均较高，即无论是哪种类型的试卷，都重视对学生“四基”的考查，由此可以推测“四基”仍将是高考试卷考查的核心，因此高中教师在“立体几何”的日常教学中，不宜让学生把过多的时间放在解决难题、怪题上，而应当注重基础知识的教学，使学生更加深刻地理解和掌握基础知识，让学生在学习活动中锻炼基本技能，获得基本活动经验，并通过教学设计让学生体验立体几何的基本思想，体会数学的本质。要提高分析能力，理解、抽象试题中的数学关系。采取治本的策略，从根本上解决问题[11]。

（2）注重情境教学，重视数学应用，培养学生“四能”

近年来，新课程改革和相应课程标准都强调重视数学的应用，从近六年高考“立体几何”试题中也可以看到，包含背景因素的应用型试题在逐渐增加，这有助于考查学生发现、提出问题的能力和分析、解决问题的能力（四能）。因此教师在“立体几何”单元的教学中，应该创设一些符合生活实际的问题情境，通过教师的引导让学生参与到情境教学中，既引发学生的学习兴趣，也能发展学生的思维过程，提高学生对数学知识的应用意识。此外，还应该注意将“立体几何”单元的知识与其他版块知识相结合，引导学生梳理数学知识间的紧密联系，将这些知识共同用于解决问题。

（3）注重过程教学，重视学习特点，培养学生“六大核心素养”

立体几何内容重在对直观想象、逻辑推理和数学运算素养的考查，突出对数学转化、推理论证和运算求解等关键能力的考查[12]。而在近六年高考试卷“立体几何”单元的试题中，仅需记住公式代入数字计算的题目也在逐渐减少，实行新高考后更是微乎其微，因此硬背公式已不再符合新高考的要求。由于学生学习数学知识具有过程性，其对于数学知识从认识到理解、掌握、应用不能一蹴而就，而是一个循序渐进的过程，因此切不可直接将知识呈现在学生面前让其记住，而应让学生在思考的过程中实现对定义、定理以及公式的理解与应用，同时获得核心素养的发展。