因式分解法在解题中的运用技巧

江苏省如东县宾山初级中学 徐维东

“因式分解”是初中数学的重点内容，学生在八年级上学期学过“提公因式法、公式法”等因式分解方法.将一个多项式变为几个整式的乘积，各个因式的次数不会超过原有多项式的次数，这样可以达到“降次”的目的；经过分解因式，一些多项式的特点显露得更加明显，彼此间的关系就容易找到，多项式所隐含的性质也就明确化了；因式分解有利于降次、消元，以及把握多项式的特性，能够达到“化繁为简、化难为易”的目的.由于因式分解具有这些特点与优点，因此，“因式分解”作为一种数学方法，与其他一些常规的解题方法相比，显得更加简捷、灵活，独树一帜，在解题中具有极大的优越性[1].下面通过典型实例的解析，来学习和掌握因式分解法在代数、几何解题中的一些运用技巧.

1 在多项式整除中的应用

因式分解可以把一个多项式化为几个整式的乘积形式，根据这个特点，我们可以运用因式分解法，巧妙快捷地解决多项式的整除类问题.

例1已知多项式6x2+7x+k能被2x+1整除，求k的值.

解：由题意知，多项式6x2+7x+k分解后含有因式2x+1，则可设

6x2+7x+k=(2x+1)(3x+m).

由(2x+1)(3x+m)=6x2+(2m+3)x+m，得2m+3=7，m=k.故k=m=2.

方法与技巧：本题根据“多项式能被2x+1整除，就肯定含有因式2x+1”这个性质，运用待定系数法，根据恒等式的定义来求k的值，其中最关键的还是运用了因式分解的思想与方法.

例2证明:当n取任意自然数时，数2n3+3n2+n是6的倍数.

证明：2n3+3n2+n=n(2n2+3n+1)=n(n+1)·(2n+1)

因为n(n+1)是两个连续自然数的乘积，所以能被2整除，故原数能被2整除；

综上，对于任意自然数n，2n3+3n2+n是6的倍数.

方法与技巧：要证明数2n3+3n2+n是6的倍数，只需证明该数既能被2整除，又能被3整除即可，因此可采用分解因式法证明.

2 在代数式恒等变形中的应用

对于代数式的化简、求值、证明等问题，通常要进行代数式的变形，在变形过程中，因式分解法发挥着重要的作用.

例3计算

方法与技巧：本题如果直接计算，显然非常麻烦，如果运用因式分解法就会简捷多了.观察原式，首先将其变形，这时我们发现每个括号都有x2+4的形式，于是先对x2+4进行因式分解，按照x2+4=(x2+2)2-4x2=(x2-2x+2)(x2+2x+2)=[(x-1)2+1][(x+1)2+1]的形式一直分解下去，最后即可得出结果.本题的技巧实际上就是运用因式分解法逐步化简.

解：因为a是方程x2-3x+1=0的根，所以a2-3a+1=0，即a2+1=3a.

方法与技巧：按照常规的解题思路，首先想到的是解方程求出a的值，再代入分式中计算，但这样的运算十分繁琐.如果采用因式分解法，先将所求分式的分子因式分解，并注意到a2-3a+1=0这个条件，这样计算就简捷得多了.

3 在解方程中的应用

因式分解法在解方程中，尤其是在一些能够化为一元二次方程的求解中，具有极大的便捷性.

例5解方程：

解法1：将原方程进行因式分解，可化为

方法与技巧：看到这个方程，我们首先想到的就是可否对左式进行因式分解.解法1最简捷，对于因式分解法运用熟练的学生来说能够想到；解法2的思路有点新奇，爱动脑筋的同学可能会这样思考.

例6解方程：(x2+2x)2-14(x2+2x)-15=0.

解：设y=x2+2x，则原方程可变形为

y2-14y-15=0.

将其分解因式为(y-15)(y+1)=0 ，解之，得y1=15，y2=-1.

由y1=15，得x2+2x=15，即x2+2x-15=0

分解因式为(x+5)(x-3)=0，解得x1=-5，x2=3.

同理，由y2=-1 ，得x2+2x+1=0.分解因式为(x+1)2=0,解之，得x3=x4=-1.

故原方程的解为x1=-5，x2=3，x3=x4=-1.

方法与技巧：本题通过另设未知数进行代换的方法，把原来的四次方程转化为一元二次方程，然后通过两次因式分解使得一元二次方程轻松获解.

图1

4 在几何中的应用

有些几何问题，在证明及计算中经常要用到因式分解法，还有些几何问题本身就可以转化为分解因式的问题.

例7在四边形ABCD中，BN⊥AD，CQ⊥AD，BN=5，CQ=6，AQ=8，ND=10,求四边形ABCD的面积S.

方法与技巧：本题灵活地运用了因式分解法，从第二步开始先分组，再提取公因式，一步步将未知线段转化为已知线段，最后利用三角形面积公式顺利求解.

例8已知三角形的三边a，b，c满足如下关系：a2-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0.试求最大角的度数.

因为b>0，所以a>3.

所以最大边为c，于是

所以，∠C=120°为所求最大角.

方法与技巧：本题看似一个求角度的几何题，实际上是一道综合题，求解时需要运用包括因式分解法在内的几种运算技巧.要求最大角的度数，必须首先确定哪个角最大，而题设的两个条件提供了边与边之间的关系，是确定最大角的突破口.由于恰当地运用了因式分解法，因此运算过程变得简洁明快.

综上所述，运用因式分解法解题，方法灵活，实用性强，也有很强的技巧性[2].学习和熟练掌握这些方法与技巧，有助于激活学生的思维能力，拓宽解题思路，不断提高综合解题能力.