有向拓扑下多无人机系统编队跟踪控制

王 琳， 张庆杰， 陈宏伟

(空军航空大学，长春 130000)

0 引言

传统的多无人机编队控制方法存在着通信条件苛刻、数学模型复杂、容易因单机失控导致整体无法完成任务等缺点。多无人机技术的进步和一致性理论的出现，为多无人机编队控制问题[1-4]提供了新的解决思路。文献[5]较早运用一致性理论解决多无人机编队控制问题,并且有效弥补了传统控制方法的不足；文献[6-7]研究了低阶积分特性的多智能体系统模型，其控制方法应用于编队跟踪控制问题，取得了较好的控制效果，但模型条件十分严苛；为了解决有向拓扑条件下的编队控制问题，文献[8-9]研究了二阶积分特性模型，文献[8]的控制协议采用了领导者跟随者的结构，且要满足领导者必须作为根节点的条件，文献[9]的控制协议采用了完全分布式的结构，控制输入中不含有自身反馈控制输入；文献[10-11]研究了高阶积分特性模型，运用一致性方法解决了编队控制问题，其中，文献[10]研究的是编队形成问题，而对编队中心是否跟踪特定轨迹的问题未进行深入研究；针对无向拓扑条件，文献[12]将一致性方法运用于多无人机的编队控制，但拓扑条件过于苛刻；文献[13]利用分布式控制结构设计时变编队跟踪协议，给出了群系统实现时变编队跟踪的可行性条件的证明，虽考虑了编队中心跟踪轨迹的问题，但跟踪轨迹的约束性强，其动态特性表达式要满足特定条件，不具有普遍性。综上所述，有向拓扑条件下，对多无人机系统编队跟踪问题的研究，具有一定的参考价值和意义。

本文主要研究了一种有向拓扑条件下的编队控制方法。本文主要针对多无人机系统的编队跟踪问题，建立了数学描述，利用一致性方法设计跟踪控制协议框架；通过变量代换，将跟踪控制问题转化为闭环系统的稳定性问题，并利用李雅普诺夫方法，分析系统的稳定性；通过求解线性矩阵不等式，设计控制增益矩阵。

1 相关引理

引理1[14]有向图含有向生成树，则0是拉普拉斯矩阵L的单个特征值，且L1=0，其他非0特征值均具有正实部。

引理2[15]如果矩阵W∈RN×N，每一特征根均有正的实部，则存在正定矩阵Q>0，使WTQ+QW>0。

2 问题描述

2.1 编队跟踪问题

考虑N架无人机构成的群系统，其中，无人机被视为质点，满足如下动态特性

(1)

式中：xi(t)表示第i架无人机的位置；vi(t)表示第i架无人机的速度；ui(t)表示第i架无人机的控制输入。

式(1)用状态空间描述为

(2)

ξi(t)=[xix(t),vix(t),xiy(t),viy(t),xiz(t),viz(t)]T

(3)

其中,下标x，y，z表示x，y，z轴方向。

假设1 通信拓扑图G包含有向生成树。

考虑

hi(t)=[hixx(t),hivx(t),hixy(t)hivy(t),hixz(t),hivz(t)]T

(4)

r(t)=[rixx(t),rivx(t),rixy(t),rivy(t),rixz(t),rivz(t)]T

(5)

定义1在控制输入ui(t)下，多无人机系统式(2)的主体能够满足

(6)

式中,r(t)为给定的轨迹，则称多无人机系统能够形成时变编队h(t)，同时可以跟踪轨迹r(t)。

2.2 控制协议框架

基于一致性理论，考虑如下编队跟踪控制协议

ui(t)=ui1(t)+ui2(t)+ui3(t)i=1,2,…，N

(7)

式中：ui1(t)为自身反馈控制输入；ui2(t)为辅助函数输入；ui3(t)为邻居反馈控制输入。其具体表达式为

(8)

式中：Ni为拓扑图G第i个节点的邻居集合；K1和K2均为待设计的增益矩阵；wi j为节点i与节点j的连接权重；Δwi j(t)为拓扑的不确定性对应的连接权重；fi(t)为辅助函数。

3 协议设计

将式(7)代入式(2)，并令

(9)

(10)

(11)

得到群系统的闭环方程为

(12)

式中：IN表示N维单位矩阵；L为通信拓扑图G的拉普拉斯矩阵；ΔL表示通信拓扑的不确定形式ΔL=l′sintL，为了保证wi j+Δwi j(t)>0，l′的取值应在(-1,1)之间。令

(13)

(14)

则式(12)可以转换为

(15)

由式(15)可知，当轨迹r(t)满足

(16)

且闭环系统

(17)

是渐近稳定的，则多无人机系统式(2)能够形成时变编队h(t)，同时可以跟踪轨迹r(t)。

定理1在假设1成立的条件下，通过选取K1将A+BK1配置在复平面的左半平面，设计增益矩阵K2=BTP，如果存在参数δ>0和可行的正定解P满足关系式

STP+PS+δPBBTP≤0

(18)

式中，S=A+BK1，则多无人机系统式(2)在编队跟踪控制协议式(7)下能够实现时变编队并跟踪轨迹。

证明 考虑分段连续的Lyapunov函数

(19)

式中：Q为合适维数的正定阵；V是连续的。对式(19)求导并将式(17)和K2=BTP均代入式(19)可得

(20)

由引理2，存在合适维数矩阵Q，使得

(21)

式中，I表示单位矩阵。

由式(21)，式(20)可转换为

(22)

式中，S=A+BK1。由

STP+PS+δPBBTP≤0

(23)

通过分析上述编队跟踪控制问题，设计控制器算法如下。

对于多无人机系统式(1)，编队控制协议式(7)中K1，K2及辅助函数f(t)可以按照如下步骤计算得到：

1) 选取轨迹r(t)和时变编队h(t)，由式(16)可以求解辅助函数f(t)；

2) 选取K1使得A+BK1配置在复平面的左半平面，设计增益矩阵K2=BTP，其中，P是可行的正定解，且满足关系式STP+PS+δPBBTP≤0，其中，S=A+BK1。

4 仿真验证

仿真条件设置8架无人机组成的群系统，图1为各无人机之间的通信拓扑图。

图1 无人机之间的通信拓扑图

设置各无人机初始状态分别为ξ1(0)=[-1,0,-3,0,-2,0]T，ξ2(0)=[-3,0,3,0,-1,0]T,ξ3(0)=[2,0,0,0,-3,0]T，ξ4(0)=[1,0,2,0,3,0]T,ξ5(0)=[5,0,-4,0,4,0]T，ξ6(0)=[0,0,-1,0,7,0]T,ξ7(0)=[-2,0,-5,0,2,0]T，ξ8(0)=[3 0,4,0,5,0]T。

图2给出了8架无人机在仿真时间内的运动轨迹。图3是8架无人机的编队跟踪轨迹在3个平面上的投影，其中，方框表示无人机的起点，五角星表示无人机的终点。图4给出了8架无人机分别在1 s，10 s，50 s和70 s时的状态演化过程和编队构型。在初始阶段，8架无人机的构型为不规则图形，随着时间的推移，8架无人机形成了时变编队并可以保持对轨迹的跟踪，当轨迹发生变化时，编队的构型并没有受到影响。

图2 无人机的运动轨迹

图3 无人机的轨迹侧视图Fig.3 Lateral view of the trajectories of the UAVs

图4 不同时刻无人机状态演化过程

Fig.4 State evolution process of the UAVs at different moments

图5(a)～5(c)分别给出了无人机的编队跟踪位置误差在3个不同方向上的差值曲线。

图5 3个不同方向上的编队跟踪位置误差

从图5中不难看出，不同方向上，编队跟踪位置误差都可以趋于零，说明各无人机的3个不同方向上的位置状态与编队和轨迹相应位置状态的差值趋于零，这也说明多无人机系统形成了指定的时变编队，并可以跟踪预先设定的轨迹。编队跟踪位置误差在30 s时会出现小的波动，是由于轨迹r(t)在30 s时发生改变，但随着时间的推移，z方向上的编队跟踪位置误差又会趋于零。

5 结束语

运用一致性方法，给出了控制增益矩阵的设计方法，解决了有向拓扑条件下的多无人机系统编队跟踪问题，结论为：1) 通过在控制协议中引入辅助函数，将多无人机系统转化为自治系统，接着利用李雅普诺夫方法分析自治系统的稳定性；2) 通过求解线性矩阵不等式，构造设计增益矩阵，形式简单，且得到了较好的控制效果。