以计数单位为核心，感悟运算的一致性

戴香华

摘  要：

小学阶段，不论整数计算、小数计算，还是分数计算，本质上都是计算出计数单位以及计数单位的个数，这与数的意义和组成也保持一致。教学《分数乘分数》一课时，引导学生在画图中直观感悟新的计数单位及个数，在说理中提取核心要素“计数单位及个数”。

关键词：小学数学；计数单位；运算一致性；《分数乘分数》

小学阶段，不论整数计算、小数计算，还是分数计算，本质上都是计算出计数单位以及计数单位的个数，这与数的意义和组成也保持一致。由此，教学《分数乘分数》一课时，笔者引导学生画图操作、说理反思，以计数单位为核心，感悟基于计数单位的数的概念与运算的一致性。

一、教学过程

（一）探究算理

1.教学12×14

师  （课件出示：工人师傅在一块长方形空地

上铺草坪，平均每小时铺这块地的12，14小时能铺这块地的几分之几？）“平均每小时铺这块地的12”是什么意思？

生  就是把这块地平均分成2份，其中的一份就是它的12。

师  我们用一张纸代表这块地，你能在这张纸上表示出一小时铺的地吗？请你折一折、画一画。

（学生折、画，教师选一种张贴在黑板上，涂色表示12，指出：为了方便看出平均分的份数，可以用水彩笔把折痕描出来。）

师  这是师傅1小时铺的面积，那么14小时能铺这块地的几分之几呢？怎么列式？

生  12×14。

师  为什么用乘法计算？

生  因为求的是工作总量，就用工作效率乘工作时间。

生  1小时铺了这块地的12，14小时铺的面积只要把1小时铺的再平均分成4份，也就是求12的14是多少，所以用乘法解决。

师  说得都很好！那12×14到底等于多少呢？请大家利用刚才的12，继续折一折、画一画，研究12的14是多少。

（学生折、画。）

师  我在大家的作品中选了几个有代表性的作品，他们的表示方法对不对？

生  对的，他们都是先表示出了12，再在12中表示出了它的14。

［说明：借助折一折、画一画、涂一涂这样的操作活动，可以让抽象的算理更为直观，也可以让算理的表述更有依据，外化学生的认知。通过研究“12的14”的操作活动，让学生感受到新计数单位的产生过程。］

师  现在你知道12×14等于多少了吗？

生  等于18。

师  这里的8是哪来的？

生  是数出来的。

生  每个12都被平均分成了4份，这里就有2个4份，也就是8份。

师  你的意思是，不数也能得到8？

生  用2×4=8。

师  这里的“2×4=8”表示什么意思？上台指着图说一说。

生  这块地先被平均分成了2份，每一份又被平均分成了4份，一共是8份。

师  经过两次平均分，这块地被平均分成了2×4也就是8份，那么每一份就变——

生  每一份变小了。

师  你知道现在的每一份是多少吗？

生  现在的每一份都表示这块地的18。

［说明：从动手画图到心中有图，根据图示思考“8是哪里来的”：不论哪种折法，都是先平均分成2份，每一份再平均分成4份，共计8份。引领学生关注到分的份数发生了改变，计数单位发生了变化，让学生初步认识分数乘分数的本质。］

2.教学12×34

师  34小时呢？会算吗？这里的12×34表示什么意思？

生  表示12的34是多少。

师  请你再折一折、画一画，研究一下12×34等于多少？

（学生在之前的纸上继续折、画。）

师  12在哪里？12的34又在哪里？结果是多少？8是怎么得到的？这里的8表示什么？还可以表示什么？

3表示什么？

生  8表示单位“1”被平均分成了8份。

生  3表示有3个18。

师  18在这里是什么？它是哪里来的？

生  18是分数单位，也就是新的计数单位。

生  是2×4得来的。

师  2×4得到的是8，18应该是——

生  是12×14得来的。

师  看来用原来12的计数单位乘34的计数单位，就会得到新的计数单位。这里新的计数单位就是——

生  18。

师  有几个这样新的计数单位？3除了数出来以外，还可以怎么得到？

生  用1×3得到。

师  这两道算式有什么相同与不同？

生  这两道算式分母相同，都是2×4=8，单位“1”被平均分成了8份，所以分数单位相同，也就是新的计数单位相同。只是分子不同，即计数单位的个数不同。

［说明：有了之前12×14的经验，学生能够算出12×34的结果，但是对其中算理的理解尚不够透彻。在之前表示12×14的图上调整，很容易得到12×34的结果。多次反复由圖到式，再由式回到图，数形结合，帮助学生透彻理解新的计数单位以及计数单位个数的含义，初步感悟运算的一致性。］

3.教学34×78

师  带着以上学习经验，我们一起来试着算一算34×78等于多少。

生  34×78应该等于2132。

师  请你利用手边的材料，折一折、画一画、涂一涂，验证一下我们的计算是否合理，并说出其中的道理。

（学生折、画。）

［说明：借助之前两次操作，学生能够感悟出34×78的算法和结果，此处的操作活动主要起到验证结果和固化算法的作用。］

师  前面并没有132，这里的132哪来的？

生  14×18=132。

师  14和18又是什么？

生  是算式中两个分数的计数单位。

师  原来两个计数单位相乘就会得到新的计数单位。分子21呢？表示什么？怎样能快速得到21呢？

生  表示有21份，即有21个这样的计数单位。

生  用3×7=21。

［说明：追问“这里的132哪来的”和“分子21表示什么”，促进学生对计数单位的认知和重视，在计数单位个数与分子之间建立联系，理解分数乘法算理的本质。］

4.归纳算法

师  现在，你能说说分数乘分数怎么计算吗？

生  用分子乘分子的积做分子，用分母乘分母的积做分母。

师  分母乘分母会得到什么？

生  会得到新的分母。

生  也就是得到了新的分数单位。

师  那分子乘分子呢？

生  表示新的计数单位的个数。

生  表示有这样的多少份。

［说明：理解分数乘分数算理的核心就是借助图形理解分母乘分母、分子乘分子所表示的含义。借助三道算式的探究，通过观察、比较、反思，从直观感知上升到理性思考，有效提升学生对算理和算法的把握。］

（二）即时运用

师  （依次出示两道算式：34×34，34+34）会算吗？为什么乘法中分数单位是116，而加法里分母不变，也就是计数单位不变，只把分子累加呢？

生  因为乘法是平均分成4份后，再把每一份平均分成4份，也就是16份，计数单位会发生改变；而加法是把单位“1”平均分成4份后，求3份加3份是多少，只分了一次，计数单位不发生变化。

师  我们还可以怎样算34+34？

生  34+34=34×2。

师  34×2是我们上节课学习的分数乘整数，今天所学的分数乘分数的知识是不是也能解释昨天学习的分数乘整数呢？

生  可以，只要把2想成21就可以了，分母4×1还等于4，分子3×2等于6。

生  也可以把分母4和分子2先约分再计算，会更加方便一些。

［说明：加入同分母分数加法，“逼迫”学生对算理的理解走向深入：同分母分数相乘的时候，分母会发生改变，也就是会产生新的计数单位；而同分母分数相加的时候，分母不变，分子相加就可以了。］

二、教學反思

（一）画图，直观感悟新的计数单位及个数

计数单位的概念比较抽象，分数乘分数的算理也很抽象。虽然多数学生在教学前已经能够正确计算，但对算理的理解多半“不知其所以然”，抓住算理的本质才是计算教学的核心所在。本课，让学生动手画一画、折一折、涂一涂，借助直观图形将抽象的算理形象化、直观化、可视化，感悟分数乘分数的算理本质上就是探寻计数单位及计数单位的个数，有效降低了算理表达的难度。

能用不同语言表述算理并相互转换是判定理解与否及理解程度的一个指标。从这个意义上说，学生会列式计算后，还应该会画图解释、会操作演示、会语言说明，将内化的思维转变成外在的表达。本课中，12×14较为简单，重在关注两次分的过程中分的份数发生了变化。12×34，不仅计数单位发生了变化，计数单位的个数也发生了变化。34×78，顺承先前的思路，让学生用不同的手段深化理解算理。

三道算式的教学，各具其义，层层进阶，充分发挥图形的直观优势，帮助学生感悟分数乘分数算理的本质。

（二）说理，提取核心要素“计数单位及个数”

只有动手操作，没有数学思考，不能在学具操作与数学理解之间建立联系，数学知识难以得到内化。学生只有对图与式的紧密联系有着较为准确的把握，才能真正理解

算理。因此，教师要做的就是在学生呈现各种不同的想法时，把握住需要突出的重点，引领学生

打通不同方法之间本质上的关联，提取出核心要素，加深对运算一致性的感悟。

从算式出发，采用问题驱动的方式，可以实现从对分数意义的认识走向对算理的深入思考。“18、132是哪里来的，表示什么意思”“21是怎么得到的”“为什么乘法中分数单位是116，而加法里计数单位不变”，这些问题直逼学生学习的“最近发展区”。此时，学生对分数乘分数的理解不再停留在直观图形上，而是走向对数与运算更为准确的认知，也就是“分母乘分母确定了新的计数单位，分子乘分子确定了分数单位的个数”，达成从初步体会到深刻理解的过渡。