非自治记忆型强阻尼波方程的拉回指数吸引子

任丽宇，姜金平，刘生清，罗轩怡

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

近年来，许多学者关于拉回指数吸引子的研究已有一定的成果［1-5］，其中LI［4］通过新的构造，对于离散过程缺乏平滑性或连续过程不满足连续的演化过程，建立了拉回指数吸引子的抽象结果。后来，LI等［5］利用简化的非自治系统的紧性条件以及利用拉回ω-极限紧，证明了非自治系统的拉回指数吸引子的存在性。MIRANVILLE 等［6-7］给出了一种研究具有记忆的演化方程解的长期行为的方法，并获得了带记忆的弱阻尼波动方程和带记忆的半线性热方程的轨道和全局吸引子。WANG 等［8］研究了具有记忆的非经典扩散方程的轨道和全局吸引子。孟凤娟等［9］研究了带记忆项的强阻尼波方程解的长时间行为。吴晓霞等［10］研究了无界域上带有线性记忆的波方程解的长时间行为。

在记忆型强阻尼波方程中轨道吸引子和全局吸引子存在的基础上，本文将文献［4］中使用的方法应用到记忆型强阻尼波方程，得到该方程的拉回指数吸引子的存在性。

本文考虑下列记忆型强阻尼波方程的拉回指数吸引子的存在性：

其中，Ω是在Rn上的有界光滑区域，n≥3，g(x，t) ∈非线性项满足

假设f∈C'(R)，f(0)=0，满足如下耗散条件：

μ满足以下假设：

1 预备知识

插值结果如下：给定s＞r＞q，对于任意δ＞0，存在Cδ=Cδ(s，r，q)，使得

定义1［5］令{U(t，τ)|t≥τ}是度量空间X中的一个过程，称非空有界集族M={M(t)|t∈R}为U(t，τ)的一个拉回指数吸引子，如果

1）对于∀t∈R，集合M(t)∈B(X)在X中是紧的；

2）M(t) ∈B(X)关于U(t，τ)是正向半不变的。也就是说∀t≥τ，U(t，τ)M(τ) ⊂M(t)；

3）M(t)的分形维数在X 中是一致有界的，也就是说存在F＞0，∀t∈R，使得dimfM(t) ≤F。

4）集合{M(t)|t∈R}拉回吸引X 中的任意有界子集。也就是说存在一个常数l＞0，对于任意有界子 集B∈B(X)，当t∈R 时，存在k＞0，使得

dist(U(t，τ)B，M(t)) ≤ke-l(t-τ)，

其中，dist 为集合间的非对称Hausdorff 半度量，即

dist(A，B)=supa∈Ainfb∈Bd(a，b)。

定义2［4］设H是可分Hilbert 空间且B⊆H，如果存在秩N的正交投影PN，则称映射族{U(n)}n∈Z：U(n)：B→B，∀n∈Z 是满足B上的（离散）均匀压缩性质，该正交投影PN与n无关，使得在B上的每一个u和v有

引理1［4］令y(t)在[0，+∞)上一致连续，满足y'(t)+γy(t)≤h(t)，其中γ＞0，∀t≥0，h(t)≥0。假设则y(t)≤y(0)e-γt+C(1+γ-1)。

设H是Hilbert 空间，过程{U(t，τ)}在其上作用。假设过程{U(t，τ)}在H上是连续的，即对于所有τ∈R，t≥τ，映射U(t，τ)：H→H是连续的。设B⊂H是过程{U(t，τ)}的有界一致吸收集，即对于任何有界集B⊂H，存在一个t0=t0(B) ＞0，不依赖于τ，使得U(t，τ)B⊂B，∀t≥t0+τ，τ∈R。

令T=T(B) ＞0使得

假设存在CB＞0，使得

由式（6）可得，对于任何固定的τ∈R，在B上定义具有离散时间的过程：

推论1［4］假设作用于可分Hilbert 空间H中的过程{U(t，τ)}满足以下条件：

1）H中存在一致有界吸收集；

2）{U(t，τ)}是拉回ω-极限紧的；

3）{U(t，τ)}满足‖U(t，t-s)u-U(t，t-s)v‖≤CB‖u-v‖，∀u，v∈B，0 ≤s≤T；

4）由式（7）定义的{U(n，l)}对应的{U(n)}n∈Z满足B上的离散均匀压缩性质。

则H中{U(t，τ)}存在一个拉回指数吸引子。

2 拉回指数吸引子的存在性

由式（5）可得

证明证明过程类似于文献［16］中用标准的Fadeo-Galerkin方法证明解的适定性。

由定理1，可以定义在H0上的过程：

其中，z(t)=(u(t)，ut(t))是方程（1）的解且初值为zτ=(uτ(x)，vτ(x))。

引理2假设f满足式（2）～（4）和g(x，t)∈，与方程（1）相关的过程{U(t，τ)}在H0上有一个一致吸收集。

证明对方程（1）两边乘以ut+αu，并在Ω上积分得

由式（8）、（9）和Poincare不等式，可得

因此，可以从式（13）得到在H0上存在一个一致吸收集。证毕。

令B0是过程{U(t，τ)}上的一致吸收集，当T0＞0时，对于∀τ∈R，有U(τ+T0，τ)B0⊂B0。

证明令ϖ(t)=u1(t) -u2(t)，ui(t)是方程（1）的解，初值为ziτ，i=1，2，则

将式（15）乘以ϖt并在Ω上积分得

即得出H0上存在有界集。证毕。

故由引理2和引理3可得推论1的条件1）。

下面用分解方法证明过程{U(t，τ)}拉回ω-极限紧。类似于文献［17］中的引理1.2，函数f∈C1(R)满足式（2）、（3）有一个分解f=f0+f1，f0，f∈C(R)，满足

将方程（1）的解u(t)和初值zτ=(uτ，vτ) ∈H0分解为u(t)=h(t) +w(t)，h(t)和w(t)分别是下面方程（23）和（24）的解。

证明给方程（23）两边乘以ht+αh，并在Ω上积分得

即证得过程{U(t，τ)}是拉回ω-极限紧的。

为了估计带有临界非线性项式（2）的解，需要以下结果：

其中，C'是正常数，对式（44）利用Gronwall 引理，结合引理6，得

其中，γ2，C是正常数，℘为不依赖于t、τ和zτ的单调递增函数。

由引理2、引理4、引理7和引理8知，在Hσ上存在有界子集Bσ使得在H0上的任一有界集B有

令方程（1）的两个解u1(t)和u2(t)，初值为z1τ，z2τ∈B1，那么ϖ(t)=u1(t) -u2(t)满足

式（60）可得当式（59）成立时，有

即证得{U(n)}n∈Z满足B1上的离散均匀压缩性质。

结合以上分析证明，可得过程{U(t，τ)}对应于方程（1）具有一个拉回指数吸引子。