分数阶广义Birkhoff 系统的Mei 对称性及其守恒量

王 璐，张 毅

(1.苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009；2.苏州科技大学 土木工程学院，江苏 苏州 215011)

分数阶微积分的历史可追溯到Newton 和Leibniz 创立微积分的时代，但第1 部关于分数阶微积分的专著直到1974 年才问世，作者是Oldham 和Spanier[1].由于在描述自然现象时所体现出的历史依赖性和空间全域性特征，分数阶微积分为描述具有能量耗散的、涉及记忆性和全局相关性的、复杂物理和力学过程提供了新颖的数学工具.自20 世纪90 年代以来，分数阶微积分已被广泛应用于物理学、力学和工程等诸多领域[2-6].Riewe[7-8]将分数阶微积分引入非保守耗散问题的动力学建模.随后Agrawal[9]、Baleanu[10-11]、Atanacković[12-13]和Cresson[14]等从不同角度研究了分数阶变分问题及其Noether 对称性.张毅等[15-18]提出并研究了分数阶Pfaff 变分问题和分数阶Birkhoff 系统的Noether 对称性和Lie 对称性.广义Birkhoff 方程是一类带有附加项的Birkhoff 方程[19].由于附加项的调节作用，广义Birkhoff 系统更易于建构.例如，著名的Van der Pol 方程的Birkhoff 化比较困难，但将其化成广义Birkhoff 方程就很容易[20].近年来，广义Birkhoff 系统动力学的研究已取得新的进展，如：梯度系统与运动稳定性[21-23]、变分积分子[24]、分数阶Noether 定理[25-26]、时间尺度情形[27-28]等.本文将进一步研究分数阶广义Birkhoff 系统的Mei 对称性与Mei 守恒量.Mei 对称性是指动力学函数在经历群的无限小变换后仍然满足原方程的不变性[29]，它可直接导致与经典Noether 守恒量以及Hojman 守恒量不同的Mei 守恒量[30-36].文中依据分数阶广义Pfaff-Birkhoff 原理建立分数阶广义Birkhoff 方程，给出分数阶Mei 对称性的判据，证明分数阶广义Birkhoff 系统的Mei 对称性定理并给出其若干特例.

1 分数阶导数及其基本性质

Caputo 型、Riemann-Liouville 型和Rieze 型是常见的分数阶微积分类型[37].为方便读者，这里对分数阶导数做一些简单介绍.

式中：Γ(∗)是 Euler-Gamma 函数，α是导数的阶，且 0 ≤α<1.

设f(t)和g(t) 是区间 [a,b]上的光滑函数，且f(a)=f(b)=0，则分数阶分部积分公式为

当 α →1时，分数阶导数则退化为经典导数，即

0 ≤α<1f′(a)=0

如果，且，则有

2 分数阶广义Birkhoff 系统的运动微分方程

下面研究由 2n个变量aµ=aµ(t)构成的分数阶广义Birkhoff 系统.设Birkhoff 函数为B=B(t,av)，Birkhoff 函数组为Rµ=Rµ(t,av)，附加项为 Λµ=Λµ(t,aν)，其中 µ,ν=1,2,···,2n.

设分数阶Pfaff 作用量为

分数阶Pfaff-Birkhoff 原理可表示为

原理(8)可推广到以下形式

且满足交换关系和边界条件

由原理(9)及交换关系(11)和边界条件(12)，易得

注意到积分区间 [t1,t2]的任意性以及 δaµ(µ=1,2,···,2n)的独立性，得

称方程(14)为Caputo 导数下分数阶广义Birkhoff 方程，当 α →1时，方程(14)退化为整数阶广义Birkhoff方程

3 分数阶广义Birkhoff 系统的Mei 对称性

引入时间t和变量aµ的无限小变换

其展开式为

由式(16)和式(17)得到

式中：

定义1对于分数阶广义Birkhoff 系统(14)，若

成立，则变换(16)称为Mei 对称性的.于是有：

判据1如果变换(16)满足如下判据方程

则变换(16)相应于分数阶广义Birkhoff 系统(14)的Mei 对称性.

4 分数阶广义Birkhoff 系统的Mei 对称性定理

下面给出Caputo 导数下分数阶广义Birkhoff 系统的Mei 对称性定理.

定理1对于分数阶广义Birkhoff 系统（14），如果存在规范函数G=G(t,av)使无限小生成元ξ0,ξµ满足如下结构方程

则该系统存在如下形式的Mei 守恒量

证明

根据判据方程(22)和结构方程(23)得到

证毕.

式(24)可称为分数阶广义Birkhoff 系统(14)的Mei 守恒量，它是由Mei 对称性导致的.

5 讨论

由判据1 和定理1 可分别得到整数阶广义Birkhoff 系统、分数阶Birkhoff 系统和分数阶Hamilton 系统的Mei 对称性的判据和Mei 对称性定理.

5.1 整数阶广义Birkhoff 系统当 α →1时，判据1 和定理1 成为

判据2对于整数阶广义Birkhoff 系统(15)，假设变换(16)满足判据方程

则变换(16)相应于该系统的Mei 对称性.

定理2对于整数阶广义Birkhoff 系统(15)，假设变换(16)满足判据方程(27)，则该系统存在如下形式的Mei 守恒量

式中：规范函数G=G(t,aν)满足如下结构方程

判据2 和定理2 是整数阶广义Birkhoff 系统(15)的Mei 对称性的判据和Mei 对称性定理.

5.2 分数阶Birkhoff 系统当附加项 Λµ不存在时，方程(14)退化为

这是分数阶Birkhoff 方程.此时判据1 和定理1 成为

判据3对于分数阶Birkhoff 系统(30)，若变换(16)满足以下判据方程

则变换(16)相应于该系统的Mei 对称性.

定理3对于分数阶Birkhoff 系统(30)，若变换(16)满足判据方程(31)，则该系统存在如下形式的Mei 守恒量

5.3 分数阶Hamilton 系统Hamilton 系统可看作Birkhoff 系统的特殊情形.设广义坐标为qk，广义动量为pk，Hamilton 函数为H=H(t,qk,pk).

令

同时Birkhoff 函数组也分为相应的两组,

则分数阶Hamilton 原理为

因此，分数阶Birkhoff 系统(30)可退化为

式(38)为分数阶Hamilton 正则方程.

引入无限小变换

其中 ξ0，ξk，ηk为无限小生成元.

由判据1 和定理1，可得到

判据4对于分数阶Hamilton 系统(38)，若变换(39)满足判据方程

式中：

则变换(39)相应于该系统的Mei 对称性.

定理4若变换(39)满足判据方程(40)，则分数阶Hamilton 系统(38)存在如下形式的Mei 守恒量

定理4 是Caputo 导数下分数阶Hamilton 系统(38)的Mei 对称性定理.式(43)可称为分数阶Hamilton系统(38)的Mei 守恒量.

6 算例

例1设分数阶Birkhoff 系统的Birkhoff 函数和Birkhoff 函数组分别为

求解该系统的Mei 对称性及相应的Mei 守恒量.

首先，将式(44)和式(45)代入分数阶广义Birkhoff 方程(14)中，得到方程

将式(46)和式(47)代入判据方程(22)得到

方程(48)有解

将生成元(49)代入结构方程(23)，得

从而可以得到相应的守恒量

将 α →1时，式(51)写成

7 结论

文章将Mei 对称性方法推广到分数阶广义Birkohff 系统，给出了分数阶广义Birkohff 系统的Mei 守恒量.主要贡献在于：一是依据Mei 对称性的定义，得到了分数阶广义Birkohff 系统Mei 对称性的判据方程(22).二是建立并证明了Mei 对称性定理(定理1)，得到了Mei 守恒量(24).三是讨论了3 种特殊情形:整数阶广义Birkhoff 系统、分数阶Birkhoff 系统和分数阶Hamilton 系统.文章结果可进一步推广至其它类型的分数阶模型，如广义分数阶导数算子[38-39]等.