复变函数与积分变换教学改革探索

张雯莹 黄贺艳 周 延

上海应用技术大学理学院 上海 201418

一、概述

党的二十大报告中强调“必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力，深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势。”[1]复变函数与积分变换，是工科数学系列的公共基础课，既有较高的理论基础要求，又有工程实践强大的背景，同时是后续电气、信号和图像处理、流体力学、密码学等相关多门理论课的基础。

基于国家战略发展新需求与我国工程教育改革方向[2]，本课程遵循学校“创新爱科技”的人才培养模式与“应用型人才核心素养总体框架”，结合近几年理学院教改实践的经验和工科部分课程内容改革的要求，以应对变化、塑造未来为建设理念，形成价值引领，知识传授，能力提升三位一体的教学培养体系。在二十大报告明确指出，“把马克思主义思想精髓同中华优秀传统文化精华贯通起来、同人民群众日用而不觉的共同价值观念融通起来”“让马克思主义在中国牢牢扎根”。课题组成员此前已对上海应用技术大学工科学生的复变函数与积分变换成绩与后续课程的成绩关联性展开调研[3-5]，在意识到全国的线上精品教学课程与本校的课程之间的差距，针对复变课程性质以及工科专业学生特点，将案例教学法引入复变函数与积分变换的教学中，结合应用型人才培养对数学教学提出的总体要求：体现应用办学定位、服务应用培养方案和加强应用能力培养。根据这些要求，我们确定了“以理施教、以情优教、以用为范”的复变课程教学改革的基本思路。

二、复变函数与积分变换案例教学设计目标

复变函数与积分变换内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复变函数级数、留数计算及应用、共形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换等。作为后续课程的桥梁，先要降维，还要代入式地、共情式地考量与分担学生的挑战和困境，设身处地站在对方的维度去理解。

(一)以理施教，针对应用型本科专业学生特点，精选经典与热点案例

加强应用元素开发，建设典型的课程实践案例库。与线上超星课堂平台相结合，通过强化特定知识点的应用价值，增强学生的创新意识，解决一个个开放性问题，实质上就是一次次创新演练。

挖掘知识传授深度，用思辨的观点看待数学知识点的转化与融合，有利于提高如信息与系统、傅里叶光学、光学信息处理、密码学、概率与统计和数学物理方程等后续课程的知识储备，同时也培养了学生运用数学理论与实践相结合的思维惯性，以及对具体案例进行探索与研究能力。如构建傅氏变换理解具有叠加性质的系统即线性系统，启迪利用傅里叶分析求解微分方程问题等；讲解复球面与无穷大时，通过构造复平面，使研究的抽象数学符号问题转化为可以看到的具体数学表达式，完成浮球面与复平面的“对立统一”；把实积分转换为复积分来计算实积分的值，由“实”到“虚”本身就带有启发的方法，类似于一直以来数学家所用的归纳法。

挖掘丰富素材的同时，兼容德育资源与哲学内涵一体，复变函数系统与类比思想和特殊思想等教育思想紧密相连。首先，宏观上认识高等数学和复变函数分别在实数域和复数域研究函数的性质，进而整体把控复变函数的教学内容。其次，针对高等数学中函数极限连续和可导的定义及性质，第一型和第二型曲线积分的定义和性质，泰勒级数与幂级数的相关性质等，运用类比的思想，将其平移到复变函数的极限、导数、复积分的定义和计算，复变函数的泰勒级数和幂级数的相关性质等，从而将实数域函数的结果有序地扩充到复数域，提高了学生解决问题和创新认识的意识螺旋上升。最后，复数域作为实数域的扩充，在保留实数域内高等数学的函数部分性质的基础上，借用特殊思想，系统介绍复变函数的解析定义、性质和判别方法、罗朗级数的性质和计算、留数的定义计算方法及其应用。通过特殊到一般的数学思想方法，培养学生理解由局部到整体、由个体到集体等辩证关系。

(二)以情优教，应用模型从教学设计等多角度进行线上线下创新教育渗透

从“注意、关联、信心和满足”四个维度出发，设计并改进教学，增强学生学好复变函数的信心。从学生日常学习生活、教学内容、教学设计和教学过程四个方面，基本实现全员育人、全程育人和全方位育人的高校思想政治教育新格局。

围绕时政性主题，设置“拓展创新”专项主题案例，加强学生对中国国情与科技立项的认识以及对新时代中国特色社会主义思想的政治认同。用傅里叶变换描述和证明海森堡量子不确定性原理时，介绍我国在量子通信和量子计算机上的成就：科学家潘建伟团队成功研制“墨子号”量子科学实验卫星、“祖冲之号”超导量子计算原型机；在学习复变函数部分，引入我国数学家张广厚和杨乐证明的关于值分布中的贡献“张—杨”定理。

事实上，复变函数作为实变函数的自然延伸，由于其优良的性质决定了它们对信号和图像处理、流体力学、密码学、人工智能等工程领域问题的重要作用。神经网络是复多值分析领域中一个重要研究方向，主要研究对象为具有非线性动力学行为的神经元网络模型，以及利用复多值函数逼近模型。随着人工智能的发展，机器学习方法已成为研究热点，其中最具代表性的方法是基于复变函数的自回归模型，它能根据输入值预测输出值并进行学习和回归预测。同时它还是解决光学成像、图像处理等问题的有力工具[7-9]等。例如，拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系，在电路分析中被广泛应用。在图1所示的RLC串联电路中，可以利用拉普拉斯变换计算电路中的电流i(t)。电路起始状态为0，在t=0时刻开关S闭合。首先，我们依据基尔霍夫电压定律可以列出图2电路所对应的微分方程：

(1)

然后，我们对该方程左右两边同时取拉普拉斯变换，可得：

(2)

随后，我们整理I(s)的表达式，可得：

(3)

等式(3)中的p1和p2是I(s)表达式中分母的两个根。最后再对等式(3)的左右两边同时取拉普拉斯逆变换，就可得到电流i(t)。需要注意的是，由于p1和p2可能为实数，也可能为复数，所以要分几种情况讨论，才能给出i(t)的最终表达式。

图1 RLC串联电路

在教学过程中穿插在线教学，“重理论、重逻辑思维能力”转变为“重方法、重实践应用能力”，提高学生政治思想与觉悟，提升课堂参与度和课后的实践应用能力。

(三)以用为范，在教学评价方面引入过程管理理念，开展成效考核

利用线上交流平台、坐班答疑等考察在课程中的渗透度、与知识的融合度以及学生的参与度，在复变函数教学中坐实课程改革工作。利用现代科学计算手段，对案例实际问题进行模拟，设计分组任务PBL。在课程过程管理中，应用成效考核，注意培养学生的发散思维能力，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，不断追求新知、发现、提出、分析并创造性地解决问题。

比如考核分组任务，组队探索目前光学领域的研究热点之一——傅里叶单像素成像技术，就是用傅里叶分析来同时获得高成像质量和高成像效率的成像结果，解决了传统成像无法实现复杂环境和全天候成像以及在非可见光波段成像的难题；在图像处理中，利用傅里叶变换得到图像的频域信息，在变换域上对图像进行处理能够有效地改进量子成像的质量，获得满意的成像结果。经过学生自主探索之后，在课堂教学中，我们可以进一步向同学展示当前傅里叶单像素成像技术得到的结果图[6](如图2所示)。图2分别展示了全采样下和50%采样下傅里叶单像素成像结果，在只采样图像像素一半的情况下，还能够近似完整地重建出图像。可以测量实况和生成的图像之间的差异使用均方误差(MSE)作为图像之间的差IGT和重建图像I，定义为：

在课堂教学活动中通过引入现代科技发展中的实际案例，通过直观、形象地展示傅里叶分析的实际应用，能够让学生切实感受到所学知识的重要性并吸引学生的关注，激发学生学习复变函数课程的求知欲，让学生清楚了解深入学习复变函数是解决一些实际问题的关键，要学好这门课才有可能找到更多工程难题、科学难题的突破口。通过讲授基于傅里叶分析的光学成像问题知识点，提升学生科学素养和科学思维方法，激发学生勇攀科学研究高峰的责任感和使命感。

(a) (b) (c) (d)(a)全采样下的傅里叶频谱；(b)全采样下成像结果；(c)50%采样下的傅里叶频谱；(d)50%采样下的成像结果图2 傅里叶单像素成像结果

分析运用复变函数论应用于流体力学和航空相关场景时，介绍茹柯夫斯基在设计飞机的时候，以复变的理论解决了飞机机翼的结构问题。解决交通运输规划中的路线选择问题时，复变函数能通过对交通参数(道路断面、车辆流量或车速)的分析得到优化方案。通过这些引入复变函数在现代科技发展中的实际案例，从多维度给学生展现了一个丰富多彩的世界，培养了学生的创新精神和创新能力，为学生后续实践及应用能力的提高等打下扎实的基础，并使其意识到只有增强知识储备才能迎接全球化的机遇和挑战。