也谈“平面向量的除法”

周宁 林新建

在旧教材必修4平面向量（以下简称向量）运算法则的教学中，笔者对“向量是否有除法”总感觉有些道不明说不清．虽然文[1]、[2]从逆运算的角度分别剖析向量的数乘、数量积、向量积这三种运算在数学上不存在逆运算，以此说明向量不存在除法，但是无法解释为什么可以用向量的加减说明复数加减的几何意义，也无法用向量的乘除说明复数乘除的几何意义．向量与复数不是一一对应吗？笔者试从2019年人教A版必修2教材（以下简称必修2）的学习和理解出发，谈谈对“向量是否有除法”的想法和体会，以期抛砖引玉．

3 为什么没有定义向量的除法？

从上述的讨论看出，向量除法是可以定义，自洽的．那么中学为什么不介绍这个内容？笔者认为有以下两个原因：（1）向量是由物理学科延伸发展过来的数学概念，在物理的发展史上没有出现要定义本文向量乘除法的需求；（2）本文之所以可以类比复数乘除的三角表示定义向量的乘除法，是因为复数域与二维向量空间同构，但是无法推广到高维向量空间，因为实数域上有限维可除代数的维数只有1维、2维、4维，而4维可除代数中的乘法不满足交换律，因此在数学上也没有定义的价值．

参考文献

[1]李祎．中小学数学中的“为什么”[M]．福州：福建教育出版社，2012

[2]范素杰，郜舒竹．向量為什么不存在除法[J]．中小学数学（高中版），2012（4）：9-11

[3]刘春艳．聚焦核心素养的单元教学设计——以高中“平面向量的运算”单元为例[J]．数学通报，2020（7）：49-53

[4]章建跃．利用几何图形建立直观通过代数运算刻画规律——“平面向量及其应用”内容分析与教学思考[J]．数学通报，2020（12）：4-13，29

[5]章建跃．加强知识的综合联系，发展学生的理性思维——复数的内容分析与教学思考[J]．数学通报，2021（1）：11-17