基于改进粒子群优化极限学习机的弹丸参数辨识

夏悠然, 管 军,2,*, 易文俊

(1. 南京理工大学瞬态物理国家重点实验室, 江苏 南京 210094; 2. 江苏科技大学电子信息学院, 江苏 镇江 212100)

0 引 言

准确获得弹丸气动参数是无控弹丸减少落点散布、实现精确打击的关键[1]。在靶场进行射击试验,利用雷达、弹载记录仪等设备采集弹丸实际飞行数据,利用参数辨识技术从实测数据中间接提取的弹丸气动参数,能够比理论计算法和风洞实验法更好地反映弹丸实际运动状态[2]。弹丸气动参数辨识技术是飞行器气动参数辨识的重要分支,研究弹丸气动参数辨识方法,可以有效提高无控弹射表的编制精度,提高打击精度[3],具有重要的理论研究意义和工程应用价值。Warner和Norton为气动参数辨识的研究奠定了基础[4]。随着现代统计学理论、控制理论与计算机技术的飞速发展,参数辨识技术蓬勃发展[5]。目前较为成熟的参数辨识方法有最小二乘法[6-9]、极大似然法[10-13]、Kalman滤波法[14-17],以及智能算法[18-21]等。极限学习机(extreme learning machine, ELM)[22]是黄广斌等人提出的一种用于训练单隐含层前馈神经网络(single hidden layer feedforward neural networks, SLFNs)的算法。ELM随机产生输入权重和隐含层神经元的阈值,随机生成的输入权重和阈值彼此独立,无需迭代调整,通过求解隐含层输出矩阵的Moor-Penrose广义逆矩阵即可得到隐含层与输出层之间的连接权值。与其他传统的前馈神经网络(feedforward neural network, FNN)学习算法相比,ELM具有全局泛化能力良好、实时性高以及需要手动调节的参数少等优点,在云计算、数据可视化以及随机投影等方面得到了广泛应用[23-25]。当运用ELM解决预测问题时,输入权重和隐含层神经元阈值直接决定了预测结果的精度,合适的输入权重和阈值能够有效提高预测精度。但是，ELM随机产生输入权重和隐含层神经元阈值的方式容易导致预测结果产生发散现象。针对这一现象,许多研究人员进行了相关研究[26-30]。其中,经典的思路为利用群智能算法寻优产生ELM输入权重和隐含层神经元阈值,将求解ELM输入权重和隐含层神经元阈值问题转化为最优解问题[31-33]。粒子群优化(particle swarm optimization, PSO)算法是由Kennedy等人[34]通过模仿鸟类觅食提出的群智能优化算法。与其他的群智能优化算法(如遗传算法[35]、蚁群算法[36]等)相比,PSO算法具有自身结构简单、易于实现、全局搜索能力强、收敛速度快[37]等优点,被广泛应用到神经网络结构[38-39]、调度问题[40-41]，以及动态优化问题[42-43]。为了克服基本PSO算法迭代收敛速度慢、易陷入局部最优的问题,在基本PSO算法中引入自适应更新策略和粒子变异策略,提出了一种自适应变异粒子群优化(adaptive mutation particle swarm optimization, AMPSO)算法以提高算法的寻优效率。最后，在标准气象条件下，应用AMPSO-ELM算法高效、精确地辨识出某型无控高速旋转弹丸的气动参数。

1 系统模型

本文采用修正质点弹道模型(简称4D模型)作为参数辨识的理论模型,4D模型建立在地面坐标系下,其具体表达式为

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

弹丸相对于空气的速度Vr为

(9)

动力平衡角αe的直接计算公式为

(10)

(11)

(12)

(13)

式(10)～式(13)中的相关参数计算如下：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Vrx=Vx-Wx

(20)

Vry=Vy

(21)

Vrz=Vz-Wz

(22)

2 先验知识

利用PSO算法及其改进算法优化ELM算法辨识弹丸气动参数,是对多种算法的综合应用。PSO算法及其改进算法负责寻优,产生ELM的输入权重和隐含层神经元阈值,ELM在此基础上实现弹丸气动参数辨识。本节将会对ELM、 PSO和AMPSO算法做出详细说明。

2.1 ELM算法

与传统的SLFNs算法不同,ELM算法随机产生输入权重和隐含层神经元阈值。随机产生的权重和阈值彼此独立且无需迭代调整,因此ELM又可看作是广义的SLFNs,其基本结构如图1所示。

图1 ELM结构Fig.1 ELM structure

给定N组训练样本(xj,tj)∈Rn×Rm,其中xj是n维输入向量,tj是m维目标向量。对于隐含层神经元个数为L、激活函数为G(ai,bi,xj)的ELM,网络输出

(23)

式中:ai,bi分别为输入权重和隐含层神经元阈值;βi为连接第i个隐含层神经元和输出神经元之间的连接权值向量。式(23)可以简化为矩阵形式:

Hβ=T

(24)

其中,

H(a1,a2,…,aN,b1,b2,…,bL,x1,x2,…,xN)=

(25)

(26)

H是ELM的隐含层输出矩阵,一旦给定训练集并且随机产生隐含层神经元的权重和阈值(ai,bi),根据式(25)进行正向计算，便可迅速求解H。

(27)

式中:H+是H的Moore-Penrose广义逆矩阵。

ELM算法可以被简单分为3个步骤,具体步骤如算法1所示。

算法 1 ELM算法输入:训练集{(xj,tj)|xj∈Rn,tj∈Rm,j=1,2,…,N};激活函数G(ai,bi,xj);隐含层神经元个数L步骤1 随机产生权重和阈值(ai,bi);步骤2 根据式(24)计算隐含层输出矩阵H;步骤3 根据式(27)计算输出连接权值矩阵β。

2.2 PSO算法

PSO算法中的每个粒子都具有记忆性且代表D维解空间内的一个可行解,通过计算每个粒子的适应度函数值,挑选出种群中的全局最优以及个体最优,并对每个粒子的速度、位置信息进行迭代更新,直至得到最优解。其基本步骤可以描述如下：

步骤1根据具体最优化问题确定相关参数。主要包括:种群规模E、粒子维数D、速度惯性权重ω、个体认知系数c1、社会认知系数c2、最大迭代次数kmax等。

步骤2初始化种群。随机产生E组D维初始粒子Xi=(xi1,xi2,…,xiD)T(i=1,2,…,E)及其对应速度Vi=(vi1,vi2,…,viD)T。

步骤3速度位置更新。根据下式更新粒子的速度和位置信息:

(28)

(29)

(30)

式中:f(·)为适应度函数。

(31)

步骤5判断是否满足迭代停止条件。若满足,则输出最优解;若不满足,则返回步骤3继续迭代,直至达到最大的迭代次数。

2.3 AMPSO算法

AMPSO算法是在基本PSO算法的基础上,引入自适应更新策略以及粒子变异策略,提高算法的收敛速度和寻优精度。自适应更新策略根据个体粒子与种群最优粒子之间的距离自适应调整速度惯性权重ω的大小,粒子变异策略则借鉴了遗传算法中的变异操作,设立早熟判别机制来判断算法是否陷入局部最优,并且通过变异算子使粒子具备跳出局部最优解的能力。

2.3.1 适应更新策略

基于上述内容,本文提出了一种全新的自适应更新策略,使得速度惯性权重能够根据迭代次数以及粒子当前位置与种群最优位置间的距离实时更新,让粒子快速进入全局最优解的区间范围,进行精确搜索。其表达式为

(32)

式中:ωmax是粒子最大速度惯性权重;ωmin是粒子最小速度惯性权重。

2.3.2 粒子变异策略

方差σ2能够反映粒子的收敛程度,σ2越小,种群状态越趋于收敛,算法陷入局部最优的概率越高。方差σ2的具体表达式为

(33)

(34)

式中:μ为高斯白噪声。

2.3.3 AMPSO 算法流程

AMPSO算法的流程如图2所示。

图2 AMPSO算法流程图Fig.2 AMPSO algorithm flowchart

2.4 算法测试

为了验证AMPSO算法的有效性,本文选取了标准测试函数Sphere函数fSp和Schaffer函数fSc进行100次独立算法测试实验。fSp和fSc的函数表达式为

(35)

(36)

100次独立测试实验中算法的相关参数设置如表1所示。

表1 相关参数设置

表2给出了100次独立测试实验后获得的平均计算结果。测试结果表明,在基本PSO算法中引入自适应更新策略以及粒子变异策略能够有效提高算法精度,降低收敛迭代次数。在粒子数相同的情况下,对于同一个测试函数,AMPSO算法的寻优结果更加接近理论值,收敛速度更快。

表2 不同测试函数的测试结果

3 弹丸气动参数辨识

3.1 数据预处理

针对某型无控高速旋转弹丸,在标准大气条件下利用4阶龙格库塔法(积分步长为0.01)求解修正质点弹道方程,得到8 000组弹道数据。表3给出了初始弹道诸元设置。弹丸飞行速度随时间变化的规律如图3所示。

表3 弹道诸元

图3 弹丸速度-时间曲线Fig.3 Projectile velocity-time curve

弹道数据包含弹丸飞行速度、位置、姿态等信息。不同信息具有不同的量纲,不同量纲会影响数据的分析结果。因此,对8 000组原始数据集进行预处理,消除不同量纲之间的影响,提高算法精度。

以输入数据为例,min-max normalization公式如下:

(37)

除了对数据进行归一化处理,为了避免连续数据之间的高度共线性对网络辨识结果产生干扰,随机打乱数据集,选取6 000组弹道数据作为训练样本,选取2 000组数据作为预测样本。

3.2 AMPSO-ELM算法气动参数辨识

3.2.1 ELM模型结构确定

ELM模型中需要手动设置的参数较少,主要包括:输入层节点数、隐含层神经元数、输出层节点数以及激活函数。

(1) 输入层节点数M

(2) 隐含层神经元数L

隐含层神经元数影响网络训练时间以及预测精度。合理设置隐含层节点数,可大幅提升预测精度。隐含层神经元数过少,模型泛化能力弱,预测精度低;隐含层神经元数过多,计算量增大,导致训练时间过长,并且最终的预测结果也可能由于过拟合而发散。由于隐含层神经元个数的理论确定方法的缺失,本文在选取隐含层神经元个数时,采用循环叠加的方式确定隐含层神经元个数。确定隐含层神经元个数的伪代码流程如下所示。

输入:E0,Lmax输出:L1 While LEL&EL

隐含层神经元个数L迭代增加,每次增加5。在每次迭代过程中，需要计算辨识误差EL,当辨识误差EL小于设定误差E0或者改变L，会导致辨识误差增大,则输出此时的L为隐含层神经元个数。

(3) 输出层节点数O

(4) 激活函数G(ai,bi,xj)

激活函数能够将非线性特性引入到网络中,提高模型的泛化能力。Sigmoid函数能够将输入的连续实值映射至[0,1]区间,这恰好与min-max normalization映射后的区间重合;此外，ELM的输入权重和阈值无需通过梯度下降进行调整,可以避免由Sigmoid函数导致的梯度消失问题。因此,本文选取Sigmoid函数作为ELM的激活函数。

3.2.2 APSO-ELM算法流程

APSO-ELM算法的流程如图4所示。

图4 AMPSO-ELM算法流程图Fig.4 AMPSO-ELM algorithm flowchart

3.3 仿真验证

图5 Cx2辨识结果Fig.5 Identification result of Cx2

图6 Cx0辨识结果Fig.6 Identification result of Cx0

图辨识结果Fig.7 Identification result of

图辨识结果Fig.8 Identification result of

图辨识结果Fig.9 Identification result of

图辨识结果Fig.10 Identification result of

图辨识结果Fig.11 Identification result of

表4给出了100次独立实验后,3种算法的模型结构、平均辨识精度以及平均辨识时间。其中,辨识精度由均方误差(mean square error, MSE)体现。MSE作为常见的网络性能评价函数,能够反映估计量和被估计量之间的差异程度。MSE的数量级越小,辨识精度越高,MSE的具体表达式为

(38)

式中:Py表示预测样本数;observedt表示第t个实际观测值;predictedt表示第t个模型预测值。

表4 3种方法辨识结果

从模型结构角度来看,利用PSO以及AMPSO算法优化ELM,可以有效减少隐含层神经元数,简化模型结构;从辨识精度角度来看,PSO以及AMPSO算法优化产生ELM的输入权重和阈值,能够使得输入权重和阈值包含更多输入样本信息,从而提高辨识精度;从辨识时间角度来看,虽然PSO算法简化了模型结构,但是由于PSO算法的寻优迭代过程增加了算法辨识时间,因此PSO-ELM算法的辨识时间约为ELM辨识时间的2.4倍,而在引入自适应更新策略和粒子变异策略后,算法寻优时间降低,AMPSO-ELM的辨识时间略高于ELM的辨识时间,仅为PSO-ELM的50%。

4 结 论

本文创新性地在PSO算法中引入自适应更新策略和粒子变异策略,改善了算法的收敛速度和寻优精度,并将改进后的算法与ELM结合提出了一种AMPSO-ELM算法，利用该算法实现了某型无控高速旋转弹丸的气动参数辨识,并基于仿真实验得到了如下结论:

(1) PSO及其改进算法优化ELM,迭代寻优产生ELM的输入权重和隐含层神经元阈值,能够有效地简化模型结构,提高辨识精度;

(2) AMPSO-ELM算法能够有效辨识某型无控高速旋转弹丸的气动参数,并且通过该方法得到的气动参数精度可以满足实际工程需要;

(3) 与ELM算法相比,PSO-ELM算法虽然提高了辨识精度,但是由于迭代收敛速度过慢,导致算法实时性降低。本文所提出的AMPSO-ELM算法由于引入了自适应更新策略以及粒子变异策略,辨识精度高且实时性好。