以“三维五步”促进小学计算深度学习——基于思维可视化的计算学习模式探究

文∣张慧

刘月霞、郭华等人在《深度学习：走向核心素养(理论普及本)》中提出：所谓深度学习，就是指在教师引领下学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。[1]深度学习强调学生参与学习过程，要在学习过程中掌握学科核心知识，理解学习过程，把握学科本质及思想方法。小学计算深度学习教学过程中，教师要把握学生现阶段的学习情况，在重视学生对于算法的掌握和对算理理解的基础上，有针对性地引导学生以计数单位为主线构建计算的知识结构体系，引导学生从更深层次的角度理解和掌握计算。

一、小学计算学习的现状

当前小学计算学习仍然存在重法轻理的现状，教师、学生都过于重视计算的准确度和速度，却忽视对计算的深度理解，不注重计算思维能力的提升。

(一)由法到理，思维层次需提升

计算是小学数学的学习重点，在小学计算的学习中，大部分教师重视计算方法的学习，而忽视了算理的学习，更加没有关注到计算思维。这就导致学生的数学学习不够深入，对计算的理解不够深刻，只会算却不懂为什么这样计算。因此在计算学习中，学生要在掌握算法的基础上深入算理，提升计算思维层次。

(二)由浅入深，学习深度需加强

小学数学学习要讲求有一定的深度。目前，在小学数学学习中，教师常常过于关注学生对知识的浅层理解、掌握和运用，而忽视了知识的深层次结构与关联。小学数学计算学习中学生不仅要掌握外显的计算本领，还要加深对数学知识的深层次思考、内化，提升思维能力。

(三)由算至能，运算能力需培养

《义务教育数学课程标准(2022年版)》中指出，“运算能力”是学生数学核心素养之一，强调学生对于算理的理解，体验计算的合理性。在计算的学习中，教师大多重视学生的计算是否准确，认为算对了就是运算能力的体现，实际上却忽视了学生真正的运算能力，不能够促进学生理解算理和算法之间的关系，缺乏对数学推理能力的发展。

综上所述，促进小学计算学习深度发生的教学活动一定不能缺少学生数学思维能力的提升。在思维能力提升的过程中，教师可以借助思维可视化策略，引导学生经历具体的、表象的计算思维和抽象的计算思维，逐步提升学生的计算思维品质，促进学生计算能力的提升。

图1

二、计算思维可视化的三个维度

从认知过程角度出发，对于计算思维的可视化可以分为三个层次：动作思维可视化、形象思维可视化和抽象思维可视化(如图1)。这三个维度不仅是对学生计算思维的三种体现，也体现了思维层次的提升。在动作思维可视化的阶段中，学生计算思维的体现较为具体和直观，而形象思维阶段的体现稍有抽象，最后在抽象思维中完成计算思维的抽象过程。

(一)动作思维可视化

动作思维是直观思维，是指学生通过肢体动作、动手操作以及画图等直观手段来进行思考。在动作思维的过程中，学生动手操作的活动与思维活动是相联系的。

动作思维的最初阶段是借助肢体来表征计算。小学二年级的学生初步认识乘法，学习“5的乘法口诀”，教师经常借助的表象是手指，这是最自然、最容易想到的5的原型。

动作思维还体现在操作几何直观来表征计算。学生在计算学习中经历的动手操作主要集中于操作实物、小棒、点子图、格子图和计数器等。从实物到小棒是几何直观的第一次抽象，通过10根一捆小棒的捆与拆，清晰表征“凑十法”“破十法”等计算方法的道理。点子图和格子图是更加结构化的几何直观，而计数器的抽象程度最高。

稍复杂的动作思维不容易借助肢体或者操作等形式来体现，教师可以借助多媒体课件来演示，以演示过程替代学生操作思考的过程。

(二)形象思维可视化

形象思维是运用已有表象进行的思维活动，它要解决的问题是把问题形象化，或者建立一个新的形象体系。从学生的认知过程来看，形象思维是指学生在学习过程中对计算的描述、举例和分类过程。在计算学习过程中，学生经历了用直观手段表征计算的学习过程后要借助语言来描述和解释计算。如“两位数乘两位数”教学中，学生借助点子图理解乘法竖式中的“拆分”过程，在头脑中形成了乘法竖式的表象。但是仍然不能够脱离直观讲道理，因此学生还需要用语言归纳出拆分后的两步乘法分别表示多少个“1”与多少个“10”。解释计算的过程是学生深入理解新知的过程，学生在解释计算的过程中形成计算的形象，分析每一步计算的意义，从而理解计算就是计算计数单位的个数。

图2

除解释计算外，学生学习计算的过程还要根据计算的特点进行举例，或根据计算的特点对计算进行分类。解释、举例和分类是学生对计算的形象表征，本阶段的计算思维比动作思维更加深刻，但是还没有到达最后抽象的阶段。

(三)抽象思维可视化

数学教育的最终结果，必须使认识和运算脱离实际背景，这就是数学抽象的本质，也是数学具有一般性的具体体现。[2]小学计算学习包含整数、分数和小数的加、减、乘、除运算，小学数学教材编排中，这四种运算呈螺旋式上升。学生在学习中要经历对计算算理的深入分析，比较同种或不同计算，通过类比来进行计算推理，概括计算方法的学习过程。如在二年级下册的“除法竖式”中，教师就设计了多次对比，让学生在对比中构建除法竖式的模型，进一步理解除法的意义。除法竖式与加、减、乘法的竖式形式不同，包含了加、减、乘三种运算，因此除法计算较难。在“除法竖式”中，教师共设计了四处对比来突破难点：横式和竖式的对比，迁移原有知识理解竖式；竖式和图形的对比，明晰竖式算理；有无余数的对比，理解余数含义；正误竖式形式的对比，深化竖式模型。抽象思维层次较高，难度较大，教师要在学生的计算学习中给予学生充分时间来思考、辨析、交流和总结。

动作思维、形象思维与抽象思维可视化是思维可视化的三种方式。这三种可视化的方式在学生学习的过程中常常不能清晰地分开，学生在动作思维的过程中也能够逐渐形成形象思维和抽象思维，而形象思维可视化的过程中也是在逐渐建立抽象思维，三者之间无法完全割裂。

三、促进小学计算深度学习的五步骤

从思维可视化的三个维度出发，计算学习要经历五个步骤来理解计算(如图3)。其中“动作思维表征计算”属于动作思维可视化的范畴；“形象思维表达算法”是初步建立计算表象，是形象思维可视化的过程；“横向对比概括计算”“纵向对比深化计算”“构建知识结构体系”属于抽象思维可视化的过程。

图3

(一)动作思维表征计算

数学是研究数量关系与空间形式的科学，对于小学生来说脱离了生活原型的数量关系和空间形式是十分抽象的，教师可以引导学生借助肢体动作来表征。低年级的小学生学数学大多处于具象思维阶段，通过肢体动作来理解抽象的数学知识。例如在学习数数的过程中，学生要通过点数、数手指等肢体动作与抽象的数一一对应起来；学习用“凑十法”计算加法时，学生要借助圆片、小棒来理解“满十进一”；学习“平均分”，学生在分草莓中感悟平均分。在具象思维过程中，学生经历了通过肢体动作进行计算的过程，积累了丰富的计算活动经验。

(二)形象思维表达算法

小学生思维大多处于具体运算阶段，对他们来说，计算是十分抽象的，他们通常要硬性记忆计算方法。记住方法的学生看似会算，实则只是记住了程序，稍有变换就无法做到迁移算法。在计算学习中，教师要借助直观表象来促进学生对计算的理解，建立形象思维掌握算法。如在教学“两位数乘两位数”中，学生难于理解乘法竖式的“先分后和”的分乘计算过程，对“个位上的数与第一个因数的乘积写在第一层，末尾与个位对齐；十位上的数与第一个因数的乘积写在第二层，末尾与十位对齐”的方法难于掌握。教师需要为学生提供直观“点子图”“方格图”(如图4)来帮助学生经历分步乘的过程。借助直观图象，学生描述计算的过程，将抽象的计算过程具体化、形象化，让计算过程可视化，从而突破难点。

图4

(三)横向对比概括计算

对比是一种很常见的数学学习方法，在小学数学计算学习中包括新旧计算的对比，同种计算的不同形式对比等。小学稍复杂的计算通常都要写成横式和竖式两种形式，如上述的“两位数乘两位数”学习中，学生不仅要写出13×12的竖式，也要写出横式(如图5)，竖式记录了计算方法，而横式表达计算道理。

学生迁移已有的学习经验能够列横式来计算13×12，将13×12分解为13×2和13×10，采用先分后合的办法来计算，其实也就是竖式计算的算理。而竖式计算清晰呈现了计算的过程，即把个位上的数与第一个因数的乘积写在第一行，末尾与个位对齐；十位上的数与第一个因数的乘积写在第二行，末尾与十位对齐，体现出两位数乘两位数的计算方法。学生要经历同一题目的不同解答方法的对比，借助横式将抽象的竖式道理可视化，从而深入理解计算的原理。

图5

(四)纵向对比深化计算

迁移和保持是教学的重要目标，任何的计算学习中，学生都要迁移生活和学习中的原有经验来构建新的计算，从而改变原有计算知识结构。《义务教育数学课程标准(2022年版)》在课程理念中指出：课程内容的组织重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。因此，数学教师不仅要让学生掌握各种数学知识，还要引导学生对不同的知识进行结构化的整合，建立前后知识之间的关联。如在“三位数乘两位数”一课的学习中，学生要迁移多位数乘一位数、两位数乘两位数的算理和算法来学习多位数乘两位数，再总结乘法竖式的通法，并迁移至更多位数的乘法，进行乘法知识的纵向延伸。此外，加、减和除法的学习也仍然需要在纵向对比中关联知识。例如在“除数是一位数的除法”中，学生要在对比被除数数位不同的竖式中发现除法就是平均分计数单位，对比整数、小数和分数的加减运算外在形式不同，在对比中发现相同计数单位才能相加减。

(五)构建知识结构体系

2022年版课标提到，同类数学知识之间存在非常紧密的关联，在教学中重视对教学内容的整体分析，能帮助学生建立体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化数学知识体系。教师要把握知识之间的关联，引导学生总结和概括这一类知识的经验，形成知识结构体系。小学计算内容是以“计数单位”为核心主线，加法、减法、乘法是计数单位的累加和减少，除法是计数单位的等分；因此，把握小学计算的意义要理解整数、小数、分数基于计数单位表达的一致性。在小学计算学习过程中，借助计数单位描述计算是学生从具体形象思维走向抽象思维的标志。

四、计算深度学习五步骤的特征

三维五步是实现计算思维可视化的有效策略和途径，其从认知角度提出了动作思维、形象思维和抽象思维的可视化。教师根据具体的教学内容从五步骤中选择部分或全部步骤，设计教学流程。这五步骤之间应具有层次性、反复性和交互性。

(一)层次性

计算课堂学习过程中，学生大体经历“动作思维表征计算”“形象思维理解计算”“横向对比概括计算”“纵向对比深化计算”“构建知识结构体系”五个步骤。从抽象程度思考，这五个步骤有一定的层次性，动作思维和形象思维可视化的抽象程度较低，横纵对比与构建体系的抽象程度较高，因此在低年级学生计算学习中，具体的思维可视化手段使用偏多，例如数手指、摆小棒、画图等。而高年级的学生抽象能力较强，能够更加抽象地从数意义的角度来理解计算、关联计算，完成更高层次的思维活动，例如辨析、对比、关联等。一般情况下，一节计算课中，学生能够经历“直观—抽象—直观”或“抽象—直观—抽象”的思维过程，前者适用于低年级学生计算学习，而后者多用于中高年级学生计算学习。如二年级“有余数的除法”教学中，教师一般先让学生动手分一分，建立除法的直观表象，而后再抽象出有余数的除法算式，最后又将除法算式应用到具体情境——分小棒，解决问题，让学生经历“直观—抽象—直观”的计算学习过程。而中高年级学生计算学习中，教师可以让其迁移已有计算经验尝试计算，而后结合直观来验证和解析计算，最后总结出计算的通理、通法，让学生经历“抽象—直观—抽象”的计算过程。

(二)反复性

根据学生的年龄特点和学习内容，有些年级的课例包含全部五个步骤，而有些年级的课例只涉及其中几个步骤。如在小学低年级计算教学中，一定要让学生有动作思维的过程，不能够脱离直观理解抽象计算。但到了高年级计算教学中，直观内容越来越少，很多新知学习跨过了动作思维，只保留形象和抽象思维的可视化。

根据不同课例和学生的前概念水平，新知的学习起点有所不同。有些课例是从直观手段开始，而有些课例则是从抽象的计算开始，算出得数才借助直观方式进行验证。无论采用何种方式，深度计算的五个步骤是可以反复的，如在教学进行到第四步时，还可以回到第一步。在“除数是一位数的除法”教学中，教师在新知教学部分可以设计表1几个环节。

表1 “两位数除以一位数”学习环节

(续表)

在表1教学环节中，学生连续两次经历从形象思维到动作思维，而后借助动作思维表征计算，最后将两次计算进行对比，发现异同，建立除法竖式的同类经验，从而初步形成除法竖式的知识结构体系。

(三)交互性

动作思维、形象思维和抽象思维无法分开，它们之间是相融的。在教学一种计算的过程中，教师可借助形象思维来将抽象计算具体化，为学生解释计算、举例和分类提供脚手架，辅助学生从数的意义的角度对计算进行抽象。随着课程改革的不断深入，越来越多的测试中，单纯考查计算越来越少，而关于计算思维的考查越来越多，考查深度逐渐提升。部分计算测试是在具体的情境中考查学生对计算的理解，也有部分测试是在动作思维过程中考查学生对计算的理解。基于以上观念的变革，教师的计算教学要关注学生计算思维的培养。例如在“两位数乘两位数”中，教师首先让学生尝试计算13×12，学生给出的答案如图6所示，由此引发学生认知冲突。而后，教师引导学生借助操作结合点子图(如图7)，在验证得数过程中理解算理。

图6

图7

在13×12的计算过程中，学生将形象思维与抽象思维相结合，在正误对比中理解计算，深入乘法计算的意义，明晰乘法就是计算“几个几”的运算。在计算学习中，根据内容与学习程度不同，学生要将动作思维、形象思维、横纵向对比和构建知识结构中的两种或两种以上过程相结合，例如可以借助动作思维建立形象思维，解析算理；在横向对比中概括计算，深入以理驭法过程；横向或纵向对比中建立迁移知识结构体系，推理同类计算的通理、通法。

总之，计算思维是计算学习的魂，学生计算思维的发展是计算深度学习的核心。借助思维可视化，让教师真正从促进学生思维发展的角度出发设计教学，让学生将抽象的计算思维可视化、具体化。计算方法易掌握，计算道理难理解，借助思维可视化手段来学习计算，能够帮助学生克服理解抽象计算的困难，使得抽象的计算更容易被理解，提升学生的学习兴趣，让学生爱上原本枯燥的计算，学会思考，从而提升思维品质，促进其深度学习。