新课标导向下小学生数学抽象能力培养策略研究

文∣徐周亚

《义务教育数学课程标准(2022年版)》提出，培养学生数学核心素养就是要让学生学会“三会”。“一会”是要会用数学眼光观察现实世界,在形象思维的基础上发展儿童的抽象思维。抽象是所有各门学科都具有的性质，没有抽象就没有科学。[1]从学科研究的角度来说，数学学科不同于其他学科。数学不研究具体的事物，而是研究从事物中抽象出来、不是现实存在的事物。不只是研究对象是抽象的，就连数学学科性质也是抽象的。处于前运算阶段末期和具体运算阶段前期的小学生，认知从摆脱具体动作过渡到能凭借具体事物或形象进行分类和理解逻辑关系，但运算仍脱离不了具体事物或形象的支持。抽象、推理和建模作为高中数学核心素养六要素中最重要的三个，体现了数学的抽象性、一般性、严谨性和应用性。因此，小学生抽象能力的提升得到了大多数学者的关注。本文紧扣数学课标中的数学核心素养“用数学的眼光观察现实世界”，将小学数学学科抽象能力的培养作为研究重点，让学生经历抽象过程，感悟抽象方法，形成抽象思维，继而提升抽象能力。

一、确定核心概念，经历逐级抽象过程

(一)核心概念的呈现方式

数学抽象主要包括从数量和数量关系、图形和图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体情境中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。[2]在确定核心概念时，学生通常会经历从具象的现实事物抽象出共同的性质予以表征，再将抽象出的概念应用到新具象事物的过程，即呈现出“具象→抽象→具象”的过程；亦即从具体情境，归纳概括出模型，再应用模型解决新的实际问题逐级抽象过程，“情境→模型→应用”。[3]从具象到抽象，再由抽象回归到具象，也是培养学生抽象能力的常用路径。

(二)形式多样的操作活动

教师在明晰了核心概念的逐级抽象教学方式后，再设计形式多样的操作活动，将每一级抽象活动落到实处。逐步抽象的动手操作活动既能使抽象概念形象化，复杂知识简单化，还能加深对核心概念的内涵理解。

如在教学北师大版小学数学一年级“100以内数的认识”时，对于学生来说，要认识抽象的计数单位、位值的意义是有一定难度的。教师可以在“数一数”这一课上，依次设计数小棒、数方块和拨计数器活动。拨计数器原来在教材中是属于下一节课的，目的是让学生学会“写数认数、数的构成、数的意义”。而将计数器安排在“数一数”这节课中，是想让学生经历完整的计数单位在不同模型中的表现形式。让学生经历“数花生→数小棒→数小方块→拨计数器→读数写数”活动，从具象的事物计数开始，抽象到用小棒代替事物，再抽象到按群计数的小方块，最后经历抽象程度最高的拨计数器活动，学生在经历形式多样、逐渐抽象的操作活动中体会计数单位之间的十进关系和位置概念。然后，教师再呈现数学的语言——用数字表示数量，让学生掌握符号，理解计数内涵。

在北师大版小学数学六年级“圆的认识”一课中，抽象的对象是图形和图形关系。为了让学生能够抽取数学元素，实现抽象能力的进阶，教师可设计“从生活中抽象出图形，建立圆的图形表象”“从图形中抽象出关系，加深圆的特征认识”“由方形抽象出圆形，探究圆的本质内涵”“由抽象回归具象，实现圆的生活运用”等四个环节的逐步抽象活动，让学生从具象到抽象，再回到具象(如图1所示)。

图1 “圆的认识”教学流程图

在“圆的认识”教学中，环节一通过从生活实物中抽象出圆的过程，建立圆的图形表象。环节二承接环节一的不同画圆方法，介绍圆的各部分名称，介绍圆心、半径和直径，探究影响圆大小和位置的因素。让学生经历从图形中抽象出图形关系的过程，加深学生对圆的特征认识和关系的理解。环节三是学生经历了三次抽象活动后，由抽象回归到具象，将所学数学知识用于解决生活中的实际问题，实现圆在生活中的运用。

二、紧扣知识联系，掌握关联抽象方法

(一)知识本质的纵横联系

教材的知识编排呈现出螺旋上升式发展。教师在备课时，不仅要关注教学中的学习目标和学习内容，还要思考教材为何这样编写，知识点背后呈现出怎样的逻辑结构和内在联系，学生的已有认知与将要学习的内容产生哪些勾连。数学知识本就抽象，要让学生在抽象且零散的知识点中获取知识的本质，需要建立知识之间的横向和纵向联系。学生只有对知识内容的内在联系梳理清楚了，才不会将相似的知识混淆。

(二)关联抽象的展开方式

当出现相似教学内容时，教材会用相同的数学工具或模型帮助学生理解数学知识本质。倘若把相似教学内容的模型分开，不利于学生理解模型的本质，只有找到模型之间的联系，找到运用模型的有效抓手，确定关联抽象的展开方式，才能有助于学生更好地掌握关联抽象的方法。

例如，小学阶段学生会学习不同的四边形面积计算公式，教师可由平行四边形出发，紧扣图形面积之间的联系，关联抽象面积公式的计算方法。

三、归纳通性通法，培养数学抽象思维

当学生在具体的课例中经历了抽象过程，掌握了抽象的方法后，结合自己现有的认识思维基础，倘若能归纳总结出知识的通性和通法，完善自身的数学抽象思维，抽象能力可得到提升。教师可以从简约清晰的数学表达、符号使用的数学思考和概括普适的数学模型这三方面来培养和检验学生的数学抽象能力。在“字母表示数”中，从文字表达到多种举例，最后抽象出运用符号表示数量和数量关系的数学思考。在“相遇问题”中，从等量关系入手，归纳总结出ax+bx=c的相遇问题模型，并将其应用至两人同时做一件事情，如工程问题、注水问题、购物问题等都可以运用ax+bx=c来解决。能应用普适的数学模型是学生数学抽象思维的体现。

抽象能力的培养还可以通过研究与抽象有关的数学思想来实现。如“正比例”中的变与不变思想，“分扣子”中的分类思想，找“公倍数”中的集合思想，“植树问题”中的数形结合思想，“运算律”中的符号化思想等。抽象能力的培养不是一蹴而就的，它是基于学生的形象思维和抽象思维慢慢转换的一个循序渐进的过程，在此过程中，教师一方面要深刻把握抽象的本质内涵，另一方面要在课堂实践中不断探索提升学生抽象能力的规律和策略，以实现高质量学科教学。