自回归模型在变形监测中的应用

胡圣武 杨旭锋 苗林光

(河南理工大学 测绘与国土信息工程学院, 河南 焦作 454000)

0 引言

在自然界中随处可见的变形现象,都会用到变形监测。变形监测就是通过对变形体的周期性观测,以判断其位置随时间的变化[1-2]。在一定的变形限度内,变形对变形体没有太大影响,但是超过这个限度,就会对变形体造成损害,甚至发生灾难。由于变形造成的变形破坏,造成的财产损失数不胜数,因此,变形监测工作的质量直接影响着工程的质量以及人民财产的安全。自回归模型被引入变形监测以来,很多学者对其进行了研究。

自回归模型作为分析时间观测序列的一种重要模型,英国数学家于1927年首次引入了AR模型。还有一些学者提出了MA模式和ARMA模式[2]。之后,大量学者不断对该方法进行丰富和完善。在测绘领域中,国内对自回归模型的建模方法和应用进行了大量的探索。徐培亮运用时间序列分析法为大坝做变形预报[3]。陆立将自回归模型用于建筑物变形监测数据分析[4]。朱海国等将曲线拟合与自回归模型结合应用在地铁变形监测中,使得预测精度更高[5]。王铁生等建立基于卡尔曼滤波的自回归模型,并验证了该模型的可行性[6]。余凯将GAAA算法应用于自回归模型中,进一步提高了自回归模型的预测精度[7]。徐伟、何金平将多尺度小波分析与自回归模型有机地结合起来[8]。孙志鹏将时空自回归模型应用到大型桥梁变形监测分析与预报,验证了其实用意义[9]。朱少林等对变形监测数据引入了半参数自回归模型[10]。杨小虎等将GM模型与AR模型结合,预测精度明显提高[11]。李彬彬等利用无人机和三维激光扫描技术对厂矿进行地表监测,并结合小波神经网络方法,取得了较好的监测结果[12]。李振河等利用合成孔径雷达干涉测量(interferometric synthetic aperture radar,InSAR)技术对沉降观测区进行监测研究,提高了监测精度[13]。

本文结合最小二乘估计和自回归模型对变形监测数据进行处理,并研究自回归模型的阶数问题。本文的研究特点主要有：①充分考虑到变形监测数据存在着误差,利用最小二乘估计削弱和控制误差;②确定自回归模型的阶数。

1 自回归模型

自回归模型参数的求解过程实际上就是间接平差的过程,类比间接平差的计算步骤,即可得到自回归模型的建立步骤。本文主要对误差方程的列立、模型参数的最小二乘估计、模型的精度评定进行详细阐述。

1.1 误差方程的列立

由已知观测值和未知参数、预测值改正数,根据它们之间的关系组成的方程称为自回归模型的误差方程。观测值的个数减去模型阶数等于误差方程的个数,模型参数个数等于模型阶数。

设有按时间序列排列的观测数据x1,x2,…,xn,则p阶自回归模型的误差方程为

记

得

(1)

1.2 模型参数的最小二乘估计

(2)

将式(1)和式(2)联立得

(3)

解得

(4)

从而得到自回归模型

(5)

1.3 模型的精度评定

不论采用哪一种平差模型,是否进行参数选择,对每单位权方差的估计值均为残差的平方和除其自由度。其中自回归模型观测值的权P=I[14-15]。即

(6)

自回归模型观测值的协因数矩阵Q=I,从而得到模型的中误差

(7)

2 实例分析

本文数据选用某建筑物36期沉降观测数据,如表1所示。前30期数据用于建立自回归模型,后6期数据用于验证所建自回归模型的正确性,将模型预测值与实际观测值进行比较,求出其差值是否符合限差要求。前30期沉降观测数据图如图1所示。

表1 沉降观测数据 单位：mm

图1 前30期实测数据图

2.1 自回归模型程序解算

对于不同的变形监测数据,选取较为合适的模型阶数建立自回归模型至关重要,因此本文先对不同阶数的自回归模型进行比较,选取最为合适的模型阶数进行模型预测。将观测数据期数、模型阶数、预测数据期数等参数输入自回归模型预测程序,运行程序,可直接得到所需的各种数据。依次取模型阶数为2到9,选取模型中误差最小的模型进行模型预测。

由程序输出结果可知,模型阶数取7时,模型中误差最小,如图2所示。因此将阶数为7的模型用于变形预测。用于变形预测的自回归模型为

(8)

图2 七阶自回归模型输出结果

2.2 模型预测及精度评定

由程序输出结果可知,所选阶数为7的自回归模型的中误差σ=0.78 mm。利用所得自回归模型对后6期数据进行变形预报,预测值与实测值进行比较,具体如表2所示。

表2 后6期数据预测值与实测值比较

借助矩阵实验室(matrix laboratory，MATLAB)编写的预测程序解决了自回归模型复杂的计算步骤,GUI界面设计制作了一个可以反复使用且操作简便的工具,通过绘图功能实现了数据的可视化,从而可以直接地比较自回归模型的预测数据和实测数据,具体如图3所示。

图3 后6期预测值和实测值对比图

由以上自回归模型预测程序输出结果可知,运用该实例建立的自回归模型变形预测值与实际测量值之间的绝对误差如表2所示,变形预测值与实际测量值之间的差值最大为1.07 mm,其余绝对误差均小于0.5 mm,说明自回归模型十分适合进行变形预报,进一步肯定了自回归模型应用在变形监测数据处理中的可行性。

3 结束语

本文利用自回归模型与最小二乘估计相结合,对变形监测数据进行处理,所得到的结果是科学的,但本文也存在不足的地方,例如：本文在确定模型阶数时,没有提前确定模型阶数,而是选取不同阶数进行比较,选取模型中误差最小的模型用于变形预测,这样的方法可能会导致操作步骤过于复杂;本文借助MATLAB编写的自回归模型预测程序,虽然能够正常地运行出结果,但是有些代码过于烦琐,不够简洁,希望以后可以进一步改进。

如何确定自回归模型的阶数以及如何消除观测数据的观测误差这仍然是需要研究的问题,本文只是简单进行了探讨。