数形结合思想下小学生解决问题能力提升的思考与实践

李承慧

（南师附中仙林学校小学部南邮校区 江苏南京 210000）

数形结合思想既是数学中重要的数学思想，也是解决问题时有效的数学方法。在小学阶段，将数学思想与数学方法统称为数学思想方法。小学阶段的数学思想有很多，数形结合就是其中之一。数形结合指的是，借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数形结合可以使抽象的问题数学化、繁难的问题简洁化，有利于小学生抽象和形象思维的协调发展。教师利用数形结合思想可以帮助小学生利用数学概念、原理和方法，解决现实世界中与数量、图形有关的问题，不断提高自身发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

一、利用数形结合思想，加强算法算理的融合

小学阶段需要提升的解决问题能力之一就是数学计算与推理。当下的计算教学，很多老师将教学着力点放在“如何算”上，而忽略“为什么这样算”，未能准确地把握计算教学中“知其然，知其所以然”的必要性，忽视了算理的理解对于学生计算能力提升所起到的重要作用。所以，在计算教学中要加强对算理的理解。算理是比较抽象的，对于偏形象思维的小学生来讲，他们更容易接受“数”“形”相结合的算理。所以，在进行计算教学时，要努力利用数形结合的思想，将无形的数与有形的形结合起来，引导学生加强算法与算理的融合，从而不断地提高学生的理解能力和计算水平。

1.动手做

在教学苏教版二年级下册的“有余数除法”时，教师先创设情境再提出问题：把10支铅笔分给小朋友，每人分2支，可以分给几人？每人分3支、4支、5支呢？先动手分一分，再记录在表格里，并在小组里说说你的发现。学生通过摆一摆，获得了如下操作结果：

学生在动手操作后，有了对小棒图的观察和分析，很容易和下面的几道算式一一对应：

10÷2＝5（人）

10÷3＝3（人）……1（支）

10÷4＝2（人）……2（支）

10÷5＝2（人）

学生对着形象的操作结果以及几道除法算式，进一步理解了有余数除法的本质含义、算式的各部分名称以及计算方法，对于学生牢固地掌握有余数除法，并解决相关问题有着积极的意义。

2.看图说

对于苏教版三年级上册的“两、三位数乘一位数”，学生必须要牢固掌握算法及算理，才能为后续的更复杂的整数乘除法以及小数乘除法的学习打下坚实的基础。

根据图意，学生不难列出乘法算式：12×3。在学生准确说出这道乘法算式的含义后，放手让学生独立计算12×3。有的学生结合之前的操作经验，利用学具辅助对计算结果的探究：

根据这个小棒图，有的学生联系乘法意义，一下子想到12×3＝12+12+12＝36；有的学生利用数的组成来拆分计算，3个10是30，3个2是6，合起来就是36；还有的学生直接计算，3×10＝30，3×2＝6，30+6＝36。学生在数形结合的基础上充分表达了自己的算法。其实，学生在表达算法的同时，也准确地表达出了对12×3算理的理解，进一步地巩固了两位数乘一位数的算法，这也为后续的两位数乘一位数的竖式计算做好了铺垫。

利用数形结合去融合理解算法与算理，尊重了小学生形象思维为主导的学习特点，既能够帮助学生理解算理掌握算法，又能够帮助学生进一步发展数学思维，不断提高计算水平和问题解决能力。

二、利用数形结合思想，促进空间观念的形成

空间观念是2022版课程标准中小学与初中阶段的重要核心素养之一。它的形成与否决定了学生能否“会用数学的眼光观察现实世界”。空间观念的形成，有助于学生理解现实生活中空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础。但小学生以形象思维为主，而空间观念培养需要小学生具备一定的抽象思维能力，对于抽象思维能力较弱的小学生来说，在学习过程中会感到枯燥无味，且难以在讲授中获取空间概念。因此，培养小学生空间观念又是小学数学教学的难点之一。

苏教版五年级上册的“多边形的面积”，主要教学平行四边形、三角形以及梯形的面积。在实际的教学中，笔者发现学生经常会混淆面积计算公式。特别是三角形和梯形的面积计算时，学生经常会忘记除以2。不少老师认为是学生对这些平面图形的面积计算公式掌握不牢导致的。究其原因，是学生对这些平面图形的面积计算公式推导过程掌握得不扎实。所以，在教学时，我引导学生根据学习内容的推进适时地绘制脉络式平面图形面积公式的推导图，用图文结合的方式，帮助自己进一步理解平面图形的面积公式。

在一步一步地完善过程中，及时引导学生观察、分析所绘制的推导图，找到平面图形面积公式推导过程中的联系与区别、相同点与不同点。学生集思广益，能从不同的角度发现知识，总结规律。例如长方形面积公式是其他平面图形面积公式的推导基础；平行四边形、三角形、梯形面积公式推导时都利用了转化的数学思想；平行四边形的面积公式又是三角形和梯形面积公式的推导基础；三角形、梯形的面积公式推导时都是利用两个完全相同的图形拼成平行四边形进行的，所以，三角形、梯形的面积公式最后都要除以2等。有了这样的深度思维过程，学生对面积公式的本质理解更深入了，相关问题就能迎刃而解了。

可见，数形结合的方法能够“以图解形”“以形助图”，能帮助学生具体问题具体对待，灵活转变思维模式，将形象思维与抽象思维有机结合起来，力争用浅显易懂的方法解决复杂、陌生的问题，不断地优化解决问题的方式，提高思维的深度和广度，从而提高解决问题的能力。

三、利用数形结合思想，辅助数学信息的梳理。

在教学中经常会遇到这样一种情况，对于数学信息较多、较复杂、较难理解的问题，不少学生会束手无策，解决问题时思维较混乱，导致结果出错。数学是一门逻辑性很强的学科，需要学生有清晰的逻辑思维能力，能够有较强的数感去直观把握量与量之间的关系等。而对于这方面能力比较欠缺的学生而言，数学信息在其意识中是无序的、繁杂的，即便是帮助他们就题解题，遇到其他类型的问题依旧会出现类似的学习现象。所以，有条理地整理题目中较复杂的数学信息，是能够正确解决相关问题的基础，也是关键。

运用数形结合的思想，不仅可以帮学生整理数学信息，理清解题思路，找到准确的解题方法，更重要的是由于形象、抽象思维的协调运用，进一步地拓宽了解题的思维宽度，提升了思维的灵活性和创新性，也进一步提高了解决问题的能力。

四、利用数形结合思想，引导数量关系的确立。

在解决数学问题过程中，学生数感的强弱直接影响到他们能否快速、准确地利用题目中相关联的条件找出数量关系并列式解答。对于数感及抽象思维都较弱的学生而言，借助图形找出数量关系，就显得尤为重要了。

在苏教版四年级上册“解决问题的策略”单元有这样一道思考题：

变化的是倒入水的杯数和总质量，不变的是空杯的质量。但有的学生就是想不到这个不变量，导致解题时无从下手。这时，我引导孩子们画出这样的示意图：

在经历了画示意图表示数学信息的过程后，学生就能够很直观地看出其中的变化关系，也就是（980-740）克对应的是（5-3）杯水，而和空杯子本身的质量是无关的，所以就能够准确地找到解决本题的数量关系：（变化后总质量-变化前总质量）÷（变化后的杯数-变化前杯数）＝每杯水的质量，列出算式就是：（980-740）÷（5-3）＝120（克）。

还有这样一道题：甲、乙、丙三人一共有图书125本，乙比甲多10本，丙的本数是甲的3倍还多15本，请问甲、乙、丙各有多少本图书？很显然，这道题的数量关系是比较复杂的，需要学生画图整理数学信息，并从中寻找数量关系。

学生画出线段图后，进行集体交流：和之前学过的哪种类型题目像？（倍数问题）感到困难的地方在哪里？（乙和丙的本数都不是甲的整倍数）对于多出来的10本、15本，怎么解决？在这样的引导下，学生就会再次结合形象的线段图思考图形与数量之间的关系，而且积极地寻找到解题的突破口。学生很容易想到（125-10-15）本对应的是线段图中甲的本数的（1+1+3）倍，从而顺利求出甲的本数：（125-10-15）÷（1+1+3）＝甲的本数的5倍，即（125-10-15）÷（1+1+3）＝20（本），求出甲的本数后再对着线段图中所展现出来的数量关系，顺利求出乙的本数：20+10＝30（本），还有丙的本数：20×3+15＝75（本）。

可见，在解决稍复杂的数学问题时，教师引导学生把数和形结合起来思考，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，能够使复杂问题简单化，抽象问题具体化，进一步地提高学生的思维能力和解决问题的能力。

著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性，数形结合通过“以形助数”或“以数解形”，加强抽象思维与形象思维的有机融合，能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径、提高解决问题能力的目的。