2016年中科大自主招生不等式试题的证明、变式及推广

刘远桃 陈明万 唐明坤

(贵州师范大学数学科学学院 550025)

1 试题呈现

分析 此题是一道分式不等式证明题，每个分式项的分子都是一个二次单项式，分母都是二项式，由整式和根式组成，各分式项结构对称.由此入手，想到将根式化为整式，再利用基本不等式、权方和不等式等进行证明．

2 试题证明

证法1由基本不等式和权方和不等式得

评注此证法利用基本不等式将式子中各项的分母代数式有理化，再利用权方和不等式进行放缩，凑出(a+b+c)项，将条件式a+b+c=3代入得到证明．

证法2由柯西不等式得

评注此证法利用柯西不等式将原不等式进行转化，得到一个新的放缩不等式，再利用三元基本不等式求出放缩值的最小值，从而得到证明．

评注此证法利用基本不等式将式子中各项的分母代数式有理化，结合条件式a+b+c=3将原不等式进行放缩，再利用函数凹凸性和琴生不等式求出放缩后的最小值，从而得到证明．

评注此证法利用基本不等式将式子中各项的分母代数式有理化，结合条件式a+b+c=3将原不等式进行放缩，再利用切线不等式求出放缩后的最小值，从而得到证明．

3 试题变式

分析变式1与变式2是将试题中不等式的分母代数式进行整体轮换得到的，其证明方法与试题的证明完全一致．此外，还可以对试题中不等式的分母代数式进行部分轮换，得到其他的轮换不等式．

4 试题改编

评注此证法利用基本不等式的推广，结合条件式(a+b)(b+c)(c+a)=1，求出a+b+c的最小值，再利用基本不等式和权方和不等式将原不等式放缩，凑出(a+b+c)项，从而得到证明．

5 试题推广

推广1 已知a,b,c,d>0，满足a+b+c+d=3，求证：

分析将试题中的三元推广到四元，推广形式不变．

推广2 已知a,b,c,d>0，满足a+b+c+d=3，求证：

分析将试题中的三元推广到四元，同时将分母代数式变成二元形式得到．注意，后面的推广仍然可以将分母代数式保持在二元形式，下面不再赘述．

分析将试题中的三元推广到n元，推广形式不变．

分析将试题中的三元推广到n元，条件式的结果从3推广到t，推广形式不变．

分析将试题中的三元推广到n元，各项式子中分子的指数从2推广到m，条件式的结果从3推广到t．

推广1～推广5的证明方法是一样的，下面给出推广5的证明，推广1～推广4的证明过程不再赘述．

由n元基本不等式和权方和不等式，待证不等式左边

推广是数学学习、数学研究和数学发展的重要手段和途径．在数学学习中，推广可以加强对观察、分析、比较、综合、概括、归纳、类比和发现能力以及创新意识等的培养；在数学研究中，推广可以加深对问题本身的认识和理解，可以产生新问题和新方法；在数学发展中，推广可以引导数学发现，可以产生新定理和新理论[1]．