应用题审题三部曲——以一道有理数加法应用题为例

⦿江苏省如皋市白蒲镇初级中学 骆建华

题目小亮用50元钱购买了10支钢笔，准备以一定的价格出售．如果每支钢笔以6元的价格为标准，超出的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下：0.5，0.7，-1，-1.5，0.8，1，-1.5，-2.1，0.9，0.9.

(1)这10支钢笔中售价最高的和售价最低的各是多少元？

(2)当小亮卖完钢笔后是盈利了，还是亏本了？

分析:这是一道与正负数意义有关的问题，是学生在学习了有理数加法后呈现的一道例题．由于本题处于人教版教材七年级上学期的第一单元中，是学生进入第三学段后接触到的第一类通过数学运算解决的应用题，因而，我们可以把此题的探索作为发展学生应用题审题能力的开端，引导学生经历条件分析、思路探索和模型建构的全过程，并从最初就形成审题的基本套路，为后面解决更复杂的应用问题夯实基础．基于这种想法，笔者建议按照如下步骤进行审题教学．

1 通读全题，分析内涵结构

审题教学，培养学生通读全题的习惯是第一步．从小学到初中，学段跨越对学生的认知水平和数学素养发展要求大幅度提升．大量丰富的生活情境涌入学生的数学认知活动中，学生面对的数学问题不再只是几十个字的单一文本陈述，百字以上的题目比比皆是．在这些大容量文本信息之外，题目有时还会配上丰富的图形、符号及表格以承载更多的数学信息．这么多的信息，显然不是简单地看看就能准确获取的，更不要谈一目十行快速浏览了．这需要学生学会分步审题，让题目信息在“通读到精读”中逐步显露出来．通读，不是泛泛而读，而是要结合题目有针对性地阅读，在厘清题目内涵的同时，也要分析出题目的基本架构．以本文中的例题为例，通读该题，我们至少要理清：(1)这是一个商品销售问题，涉及到了商品的进价、标价、售价、总价、单价、利润等数量信息.(2)本题的条件部分，呈现了(1)中的所有信息，问题部分包含求钢笔的最高售价和最低售价，以及判断钢笔卖完后的盈利情况．这样带有目的性的通读，能保证学生在两个维度上获取有益信息：一是本题是哪一类数学问题，这让学生对接下来解题中可能会用到哪些数量关系有个初步了解，以保证对解题思路分析和解题模型选择有一个大致方向；二是题目的条件与问题分布，也就是条件在何处，“问题”在哪儿，这对下一步精读是很有意义的．初中学段中，不少数学问题的条件和所要求的结论是混在一起的，像本文中例题这样分得开的，还是比较少.因此，读题时若不能集中精力分析“给了什么”和“要求什么”，则会很容易晕头转向．通读数学题，分清条件和结论的“方位”，将有利于学生集中注意力获取关键信息，这虽是后话，此时介绍，将更有利于大家理解通读的价值．通读时，我们还应厘清问题的具体内涵及架构，这不仅是下一步精读的方向，也是我们找寻问题解决思路的方向．所以，在通读的过程中，要重点分析题目的结论(或问题)，并尝试把这些结论(或问题)与已有知识网络中的知识点产生联系，看看与谁有关，比如本题第(1)问中的最高售价就与标准售价及差额有关.这样将问题与关联知识结合进行分析，对下面的阅读非常有利．

2 细读题干，找出核心数量关系

应用题教学，绝不能脱离数量关系来谈思路分析与问题解决．不管是本文中用有理数加法解决的数学问题，还是后面用方程、不等式、函数解决的数学问题，其教学内核都是数量关系．因此，引导学生分析题中的数量关系，应成为应用题教学的核心．那么，数量关系又在何处呢？笔者以为，在通读全题后，我们应从题目给定的条件中挖掘所有数量，探寻其中的相互关系，进而挖掘出与所要解决的问题高度相关的数量关系．如本文例题中，50元是总进价，10支是钢笔的数量，每支6元是标准售价，而给出的0.5，0.7，-1，-0.9(单位：元)等是实际售价与标准售价间的差额．在这些量之间存在着“总售价=总进价+利润”“单价×数量=总价”“实际售价-标准售价=差额”“每支钢笔的售价之和=全部售价”等数量关系．这些数量关系中，究竟哪个最重要，哪些数量关系在问题解决中能发挥作用，这还要取决于题目的“问题”．这是后话，这里只说说如何从题干中搜寻核心数量．在通读环节，我们已经摸清了题目的类型，对题中可能存在的各种量和相互关系有一个初步的认识，而题目中是否真的存在这些数量，以及这些数量间的关系是否真如预想中的那样，还需要进一步深挖条件．比如，一般商品销售问题中，会有“单价×数量=总价”，而细细分析本题的题干中，除“进价50元，数量10支”间或许会存在这样的关系外，其余的数量之间并无此关系，也就是说这一关系在本题并非核心数量关系.而题中给出的那些“用正负数表示的标准售价与实际售价间差额”的一组数据则显示，近期所学的正负数的意义或许是本题应用的重点．因而对差额获得式子的变形及形成差额的过程则应成为本题核心数量关系．所以教学时，必须引导学生理解“0.5，0.7，-1，……0.9”这组数据的真正含义．学生只有明确知晓“是如何获得这组数据的”，才有可能把“实际售价”“标准售价”“售价差额”三个量及其关系式“售价差额=实际售价-标准售价”挖掘出来，并运用到下面的析题解题中去．

3 解读问题，找寻解题模型

对于一道数学题，问题是不可缺少的．明晰问题的含义，仅是解决问题的开端，无论是“通读”，还是“细读”都会兼顾到对题目问题的分析．但这种分析的深度尚不足以形成解决问题的思路，只有专门对问题进行解读，学生才能努力把脑海中与问题解决相关的知识关联起来，也才有可能形成问题解决的思路．所以，在剖析题中数量关系，并找寻到核心的数量关系后，对问题的深度解读就特别重要了．我们要反复研读问题，多角度分析：要求什么？我们需要什么？题目给了什么？求出什么就可以解决问题？在这些小问题的反复思量与解决中，题目的内涵、架构及其蕴涵的数量关系将进一步明确，进而问题解决的思路也将得到确认．比如本题第(1)问的最高售价、最低售价，就涉及到了标准售价和实际售价两个知识点，而所求的就是实际售价的最大值与最小值．自然应用标准售价与实际售价、差额之间的关系式解决问题，即“实际售价=标准售价+差额”.而由于标准售价是固定的6元/支，因此最大值就应取差额的最大值代入上述模型计算，而最小值则同样应取差额最小值代入模型进行求值．再如第(2)小问：盈利了，还是亏本了？这显然是商品销售中的利润问题．利润的求法有两个常用模型：利润=售价-进价(下称“模型1”)，利润=进价×利润率．从题目给出的条件看，并没有出现利润率，显然问题解决与第二个模型没有太大的关系．所以接下来便是围绕模型1的自我思辨．题中的售价有两个：一个是标准售价6元/支，另一个是实际售价，它等于“标准售价+差额”．所以问题的解决还是集中到标准售价与差额上来．如何求？有了上面的分析，显而易见有两个方法：一是把每支钢笔的实际售价求出来，再去求“总售价-总进价”的结果；二是整体考量，求出标准总售价与总差额之和即可得实际总售价，再去套用模型1求利润即可．显然方法二比方法一计算量小了不少，出错的可能性自然也会随之减小.以上方法实际上是我们在数学问题解决中常用的方法，从条件出发思考问题，在问题分析中回看条件：有什么？能得到什么？还需要什么？一步步走来，解题模型自然也就出来了．

应用题一直是数学教学的难点．多样的问题情境，烦杂的数量关系，对学生获取有用的解题信息形成了极大的干扰．如何排除干扰，让思维行走在问题解决的正确道路上呢？笔者以为，培养学生的审题习惯是非常重要且十分有效的手段．阶段性审题，将有利于学生集中注意力攻克时坚，把问题解决的路径分支化，在不断充实、丰富中逐步形成完整的思路，达成解题目标．所以，培养学生的审题习惯，应从学生进入初中后立即着手展开．要借助每一次数学问题的求解探索培养学生分步审题的习惯，让学生在反复历练中形成审题思维的范式，逐步形成个性化的分析问题和解决问题的策略．本文中，笔者所呈现的应用题审题三部曲就是引玉之砖，仅供广大师生参考，不当之处，敬请批评指正．