数学深度教学的三个着力点

顾健，任建波

摘要：深度学习，在行为进程上，应呈现为研究知识关系与结构的理解性学习;在目标指向上，应表现为感悟数学思想和培育数学精神的层进式学习;在评价方式上，应展现为评价目标多元与评价任务多样的融合性评价。基于此，小学数学深度教学需要做到学习资源“结构化”、学习路径“思想化”、学习评价“增值化”。

关键词：小学数学；深度教学；结构化；思想化；增值化

“学”与“教”是相伴而行的，而帮助学生学会深度学习是深度教学的一个重要目标，所以，深度教学的研究与实践离不开对深度学习理论的剖析。深度学习，在行为进程上，应呈现为研究知识关系与结构的理解性学习。这就要求教师为学生提供结构化资源，创造主动观察、动手操作的机会，提供分析、思考和质疑的问题，以期实现深度卷入、沉浸式学习，此即学习资源“结构化”。在目标指向上，应表现为感悟数学思想和培育数学精神的层进式学习。这就需要教师呈现数学概念产生的本源，挖掘其背后的思想，基于数学思想，寻找课堂教学中的突破点和生长点，以期优化教学路径，此即学习路径“思想化”。在评价方式上，应展现为评价目标多元与评价任务多样的融合性评价。这就要求教师准确定位评价目标，精心设置评价任务，精准反馈学生的学习进程，以期实现教学效益的最优化，此即学习评价“增值化”。

一、学习资源“结构化”

（一）串联呈现

同一领域内的数学内容或多或少存在关联，教师可以通过前置性学习和课前调查，将学生已有知识经验和需要学习的新知识串联呈现，以把握学生学习的起点。据此，确定教学的顺序、比较学习前后的变化，对学生可能出错的情况做到心中有数。进而，在教学设计中关注哪些教学环节需要花费较多时间，哪些知识经验需要进一步扩展，哪些知识经验还需要进一步建构。

例如，教学《小数乘整数》一课，为了解学生对这一内容的已有经验，笔者设计了这样一个问题：你会计算1.6×3吗？目的是让学生通过乘法的意义，将加法计算、口算、竖式计算经验激活、串联起来。课前，对班级的48名学生做了调查。学生虽然还没有学习“小数乘整数”，计算结果却是100%正确，具体情况见表1。

从呈现的计算过程来看，学生有的利用整数、小数加减的计算方法将数位对齐迁移到小数乘法，有的借助整数乘法计算结果进行推理，有的口算，有的根据乘法的意义利用加法计算。学生会计算了，接下去该如何教学？于是，课堂教学的结构就变成了：理解不同方法的表征形态及相同之处，深度建构知识，实现理法相融。

（二）并联呈现

贴近生活的真实情境，有利于唤醒学生的经验，但这样的经验可能是非正式的经验。教学中，可以将结构相同的数学知识置于多角度的不同情境之中，通过并联的方式将已有经验与新经验比较，在“变化”中觅得“不变”，即抽象出更为一般的方法、策略应用到新的情境中。

例如，苏教版小学数学三年级下册《乘数末尾有0的乘法》一课，练习中有一道题（如图1所示）。教学中，可以引导学生在计算后比较每组两题的特点，体会3个数相乘可以从左往右依次计算，也可以把后面两个数相乘，再与第一个数相乘。

如果教学仅止于此，学生获得的经验有浮于浅表之嫌。以第二组为例，教学中可以增设两个探究问题。第一个问题：根据发现，还可以写成哪3个数相乘的积，使结果仍然相同？得出还可以写成“32×5×6”和“32×3×10”。第二个问题：可以写成4个数相乘的积，使结果仍然相同吗？得出可以写成“32×3×2×5”。学生在乘数个数的变化中，逐步抽象出乘法结合律的模型。

（三）立体呈现

数学活动经验的发展是连续的，过去经验是当下经验生发的基础，同时又指向未来经验的改造。理想状态下，根据教材螺旋上升式的设计，学生学习所获取的经验也呈现螺旋上升的样态。而事实并非如此。例如，“积的变化规律”的学习，因苏教版小学数学教材的编排跨度较大，留白较多，需要教师提供理解的支架，立体呈现学习资源进行补白。三年级下册在“两位数乘两位数”的习题（见图2）中进行渗透，五年级上册从“小数乘法”例7的竖式计算过程（见图3）开始运用，因此，四年级下册的例4（见图4）承上启下，显得尤为重要，有必要进行一定的延展。

教学中可以设计一组习题，彼此独立又相互关联，最后结构化展现（如图5所示），便于学生从横、纵两个维度提炼其中的关系：纵向看，一个乘数不变，另一个乘数乘或除（0除外）幾，积也乘或除以几；横向看，一个乘数乘或除（0除外）几，另一个乘数除（0除外）或乘几，积不变。这样，积的变化两种情况（变、不变）得以抽象，学生获取的经验有了立体感。

二、学习路径“思想化”

数学思想是学生发展数学核心素养的重要组成部分。教师可以从小学一年级开始，长期在教学中渗透数学思想。为了让数学思想的教学目标落到实处，可以挖掘教材的留白处，重现知识的发生处，让数学思想闪现理性的光芒。

（一）抽象概括，凸显概念形成过程

数学抽象是对数量关系和空间形式进行加工和提炼，以揭示其本质属性。在数学概念教学中，应尽可能多地让学生亲历概念抽象与概括的思维过程，在体验与领悟中将经验与概念、直觉与逻辑整体融通，并形成抽象思维能力。

例如，“平行与垂直”概念教学的常规路径是基于知识逻辑起点设计的：先理解“同一平面内”，再建构平行概念，最后形成垂直概念。反观教学过程，这是追求对概念要素的理解。显然，本课教学不应追求概念分化，而应在“求异”中实现“求联”，抽象出三个概念之间的关系。基于这样的认识，笔者在教学中引入魔方，让学生通过操作，判断转动前和第1次转动后两条直线的位置关系。学生在观察、操作的基础上，轻松概括出“同一平面内”这一难点。接着，通过第2次转动，直观感受同一平面内两条直线的位置关系除了平行还有相交，为概括垂直概念做铺垫。操作过程如下页图6所示。

而在本课的练习巩固阶段，笔者引导学生将魔方抽象成一个正方体：如图7，寻找与线段a相互平行、垂直的线段，抽象构造一般意义上的“同一平面”。如此，帮助学生深入理解标准图式模型，提升空间想象能力。

（二）数形结合，彰显规律直观简洁

数形结合可以使抽象的概念直观化、繁难的问题简洁化。教学中，可以利用“形”作为直观的工具实现“以形助数”，帮助学生在记住操作性程序的基础上达到“熟而生慧”，协调抽象思维和形象思维的发展。

例如，学习“3的倍数的特征”，学生凭直觉很难理解为什么有这样的规律。为了让学生更好地探索规律，教学中，组织学生以数字“123”为例，通过摆放小方块“切分”计数单位，直观感受每个计数单位，分一次就多1个一，再抽象概括出每个数位上是几，就多几个一（过程如图8所示）。学生在这样边操作、边反思的过程中，能直观地理解“各个数位上的和是3的倍数”。其实，用“位置值”的切分方法同样能解释“2和5的倍数的特征”。而这样的理解体现了倍数特征内在的一致性，从而在知识的勾连中实现深度教学。

（三）类比推理，尽显知识整体结构

同一领域的数学内容可能蕴含不同的数学思想，而类比推理可以根据这些内容某方面的相似性，捕获知识具有的相同属性，从而引发知识之间的迁移，使“闻一知十”成为可能。

例如，对“数”的相关知识，可以从系统性、结构性角度进行类比教学。学习“分数的意义”时，学生有了三年级的学习基础，对“率”的意义理解较为容易，而对“量”的意义感悟不深，两种意义的关系理解不够透彻。对此，可在这部分内容之前增设一个课时内容——理解“分数是一个数”。目的是通过类

比萃取出自然数、小数、分数的本质都是单位个数的累积，感受分数与自然数、小数的认识是一脉相承的；同时，为理解分数的大小比较与小数、整数的大小比较以及计算意义之间的一致性奠定基础，在归纳、抽象、类比中抓住“不变”，帮助学生降低记忆负荷，提升迁移解决问题的能力。

三、学习评价“增值化”

教学评价设计是一个整体，其目标、内容、形式、方法均在考虑之中。深度教学的评价，应基于学生的学习证据，作出及时的反馈，促进深度学习，实现“教—学—评”的整体一致性。这就需要考虑以下问题：如何制订深度教学的评价目标？如何设计评价任务？如何在评价中优化策略，实现教学增值？

（一）抓住数学本质，制订评价目标

深度教学评价目标是基于小学数学知识的本质和发展动态制订的，以判断学生通过主动参与和自主探究能否达成基础知识的理解和基本技能的掌握为准绳，以促进学生进一步学习和发展核心素养为要务。

例如，“面积单位”的教学，从小学阶段“测量”教学的知识结构体系出发，聚焦度量本质，沟通“长、宽”与“面积”的联系，关联图形度量的学习方法，结合SOLO分类理论，笔者制订了如表2所示的评价目标。

（二）外显思维过程，设计评价任务

不同的评价目标需要匹配不同的评价任务。学生通过语言、文字、符号等不同方式完成不同的任务，展现学习的证据，将内隐目标外显化。当学生将核心知识和技能应用于各种情境的挑战任务时，就显示了他们的理解和掌握。教师通过观察和分析学生完成任务的过程和结果，评价学生对知识内容的理解和掌握程度，同时，实现对评价目标的监控。

例如，《平年和闰年》一课的评价任务设计如下：

（1）说一说：什么是平年和闰年？

（2）算一算：举例说明，怎样判断某一年份是平年还是闰年？

（3）想一想：公历年份数除以4没有余数的一般是闰年，有没有更简便的方法进行计算？

（4）查一查：为什么公历年份是整百数时，必须除以400没有余数才是闰年？

四项评价任务的开放性和复杂性逐步提升。第（1）项属于陈述性知识的浅层理解；第（2）项是程序性知识的理解；第（3）项要结合数的位置值理解，探究出判断公历年份是否为闰年，可以用末两位除以4；第（4）项需要通过查阅资料，结合天文知识，实现深度理解。

（三）拉近始末距离，实现评价增值

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出：评价结果的呈现应更多地关注学生图9

的进步，关注学生已有的学业水平与提升空间，为后续的教学提供参考。这样的评价，可以理解为基于学生的“学习起点”与“学习结果”之差，将学习过程融合到结果之中，实现评价的增值。

例如，《认识公顷》一课，基于相邻长度、面积单位的进率这一“学习起点”，学生很难理解“学习结果”——1公顷=10000平方米。

为化解这一难点，笔者设计了这样一个问题：“为什么之前所了解的相邻面积单位的进率都是100，学习公顷时就不适用了？”通过这一问题评价学生对面积单位的理解程度，实际指向三种水平：水平1，熟知平方厘米、平方分米、平方米這三种常见的面积单位及进率；水平2，对1公顷等于多少平方米的推导过程有清晰的认知；水平3，能判断公顷和平方米不是相邻的两个面积单位，还应有“平方十米”。水平1、水平2的评价目标指向概念理解，体现了学生的理解和掌握；水平3的评价目标涵盖理解和掌握、感悟和运用，甚至是内化和创生。

基于以上认识，通过问题设疑，在平方米和平方百米之间增加“平方十米”（如图9所示），由平方十米过渡到平方百米（也就是公顷），通过面积单位系统的构建，呈现长度单位与面积单位的关系，回归到相邻长度单位进率为10、相邻面积单位进率是100的经验性理解，促进学生对面积单位系统的深度认识，拉近“学习起点”与“学习结果”之间的距离。这样，通过教学内容的补充，实现学业评价的增值。

参考文献：

［1］ 郑毓信.数学深度教学的理论与实践［M］.南京：江苏凤凰教育出版社，2020.

［2］ 郭元祥.论学科育人的逻辑起点、内在条件与实践诉求［J］.教育研究，2020（4）.

［3］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［4］ 吴宏.小学数学深度教学研究［D］.武汉：华中师范大学，2018.

［5］ 王钦敏，余明芳.数学思维素养深度涵育：教学的进路与方略［J］.数学教育学报，2020（6）.

［6］ 李如密.实践智慧的评价和评价实践的智慧——教师教学评价重心的迁升及智慧的追求［J］.江苏教育，2021（91）.